Đề Thi Thử Trắc Nghiệm Online - Môn Đại Số Tuyến Tính

Đề Thi Thử Trắc Nghiệm Online – Môn Đại Số Tuyến Tính tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm chứa đựng nhiều dạng bài tập, bài thi, cũng như các câu hỏi trắc nghiệm và bài kiểm tra, trong bộ Đại Học. Nội dung trắc nghiệm nhấn mạnh phần kiến thức nền tảng và chuyên môn sâu của học phần này. Mọi bộ đề trắc nghiệm đều cung cấp câu hỏi, đáp án cùng hướng dẫn giải cặn kẽ. Mời bạn thử sức làm bài nhằm ôn luyện và làm vững chắc kiến thức cũng như đánh giá năng lực bản thân!

Đề 01

Đề 02

Đề 03

Đề 04

Đề 05

Đề 06

Đề 07

Đề 08

Đề 09

Đề 10

Đề 11

Đề 12

Đề 13

Đề 14

Đề 15

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 01

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 1: Cho ma trận A vuông cấp 3 có định thức det(A) = 5. Tính định thức của ma trận 2A.

100

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tính chất của định thức khi nhân một ma trận với một hằng số. det(kA) = k^n det(A) với ma trận A cấp n. Ở đây, k=2 và n=3, nên det(2A) = 2^3 * det(A) = 8 * 5 = 40.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 2: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 luôn có nghiệm. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Hệ vô nghiệm khi det(A) = 0.

Hệ luôn có ít nhất một nghiệm.

Hệ chỉ có nghiệm khi ma trận A khả nghịch.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Hệ AX=0 luôn có ít nhất một nghiệm là nghiệm tầm thường (vector 0). Nếu hạng của ma trận A nhỏ hơn số ẩn, hệ sẽ có vô số nghiệm.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 3: Cho hai vectơ u = (1, -2, 3) và v = (2, 1, -1) trong không gian R^3. Tính tích vô hướng của u và v.

-5

-3

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích vô hướng của hai vectơ. Tích vô hướng u.v = (1*2) + (-2*1) + (3*(-1)) = 2 - 2 - 3 = -3.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 4: Ma trận nào sau đây là ma trận khả nghịch?

[[1, 2], [2, 1]]

[[1, 2], [2, 4]]

[[0, 0], [1, 1]]

[[1, 1], [1, 1]]

Câu hỏi yêu cầu nhận biết ma trận khả nghịch. Ma trận khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. Ta tính định thức của từng ma trận. Ma trận ở đáp án 1 có det = 1*1 - 2*2 = -3 khác 0.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 5: Cho không gian vectơ V là không gian các đa thức bậc không quá 2. Xét tập hợp con W = {p(x) ∈ V | p(1) = 0}. Hỏi W có phải là không gian con của V không?

Có, W là không gian con của V.

Không, W không phải là không gian con của V vì không đóng với phép cộng.

Không, W không phải là không gian con của V vì không đóng với phép nhân với số vô hướng.

Không, W không phải là không gian con của V vì không chứa vectơ không.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm không gian con. Để W là không gian con của V, W phải đóng với phép cộng và phép nhân với số vô hướng, và chứa vectơ không. Kiểm tra tính đóng với phép cộng: Nếu p(1)=0 và q(1)=0 thì (p+q)(1) = p(1)+q(1) = 0. Kiểm tra tính đóng với phép nhân: Nếu p(1)=0 và c là số vô hướng, thì (cp)(1) = c*p(1) = 0. Vectơ không trong V là đa thức 0, và đa thức 0 có giá trị bằng 0 tại x=1.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 6: Cho ma trận A = [[2, -1], [4, k]]. Tìm giá trị của k để hạng của ma trận A bằng 1.

k = 2

k = 4

k = -2

k = -4

Câu hỏi kiểm tra khái niệm hạng của ma trận. Hạng của ma trận bằng 1 khi các dòng (hoặc cột) tỉ lệ với nhau và có ít nhất một phần tử khác 0. Để hạng(A) = 1, dòng 2 phải tỉ lệ với dòng 1. Vậy 4/2 = k/(-1) => k = -2.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 7: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^2 -> R^2 xác định bởi f(x, y) = (2x + y, x - y). Tìm ma trận biểu diễn của f đối với cơ sở chính tắc E = {(1, 0), (0, 1)} của R^2.

[[2, 1], [1, 1]]

[[2, 1], [1, -1]]

[[1, 2], [-1, 1]]

[[1, 1], [2, -1]]

Câu hỏi kiểm tra cách tìm ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính. Ta tính f(1, 0) = (2, 1) và f(0, 1) = (1, -1). Ma trận biểu diễn được tạo bởi các cột là tọa độ của f(1, 0) và f(0, 1) trong cơ sở chính tắc.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 8: Cho hệ vectơ S = {u = (1, 2, 1), v = (2, 1, -1), w = (1, -1, -2)}. Hệ vectơ S có độc lập tuyến tính không?

Độc lập tuyến tính.

Phụ thuộc tuyến tính.

Không thể xác định.

Chỉ phụ thuộc tuyến tính khi xét trong không gian R^4.

Câu hỏi kiểm tra tính độc lập tuyến tính của hệ vectơ. Ta lập ma trận có các vectơ là cột và tính định thức. Ma trận A = [[1, 2, 1], [2, 1, -1], [1, -1, -2]]. det(A) = 1*(1*(-2) - (-1)*(-1)) - 2*(2*(-2) - (-1)*1) + 1*(2*(-1) - 1*1) = 1*(-3) - 2*(-3) + 1*(-3) = -3 + 6 - 3 = 0. Vì định thức bằng 0, hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 9: Tìm giá trị riêng của ma trận A = [[3, 0], [2, 1]].

λ = 2

λ = 4

λ = 0 và λ = 4

λ = 1 và λ = 3

Câu hỏi kiểm tra cách tìm giá trị riêng của ma trận. Giá trị riêng là nghiệm của phương trình đặc trưng det(A - λI) = 0. A - λI = [[3-λ, 0], [2, 1-λ]]. det(A - λI) = (3-λ)(1-λ) - 0*2 = (3-λ)(1-λ) = 0. Vậy λ1 = 3, λ2 = 1.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 10: Cho ma trận A = [[1, 2], [0, 1]]. Tính A^2.

[[1, 4], [0, 2]]

[[2, 4], [0, 2]]

[[1, 4], [0, 1]]

[[2, 2], [0, 2]]

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng nhân ma trận. A^2 = A * A = [[1, 2], [0, 1]] * [[1, 2], [0, 1]] = [[1*1+2*0, 1*2+2*1], [0*1+1*0, 0*2+1*1]] = [[1, 4], [0, 1]].

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 11: Cho không gian vectơ R^3. Tìm một cơ sở của không gian con W = {(x, y, z) ∈ R^3 | x + y - z = 0}.

{ (1, 0, 1), (0, 1, 1) }

{ (1, -1, 0), (0, 1, 1) }

{ (1, 1, 2), (2, 2, 4) }

{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) }

Câu hỏi kiểm tra cách tìm cơ sở của không gian con. Từ phương trình x + y - z = 0, ta có z = x + y. Vậy vectơ (x, y, z) = (x, y, x + y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1). Cơ sở của W là {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 12: Cho ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở C là P_(B->C) = [[2, 1], [1, 1]]. Nếu tọa độ của vectơ v trong cơ sở B là [v]_B = [3, -1]^T, tìm tọa độ của v trong cơ sở C, [v]_C.

[2, 3]^T

[5, 2]^T

[7, 4]^T

[4, 1]^T

Câu hỏi kiểm tra công thức chuyển tọa độ giữa các cơ sở. [v]_C = P_(B->C) * [v]_B = [[2, 1], [1, 1]] * [3, -1]^T = [2*3 + 1*(-1), 1*3 + 1*(-1)]^T = [5, 2]^T.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 13: Cho hệ phương trình tuyến tính: x + y = 3; x - y = 1. Giải hệ phương trình này.

(1, 2)

(2, 2)

(2, 1)

(1, 1)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng giải hệ phương trình tuyến tính đơn giản. Cộng hai phương trình: (x+y) + (x-y) = 3 + 1 => 2x = 4 => x = 2. Thay x = 2 vào phương trình thứ nhất: 2 + y = 3 => y = 1. Nghiệm là (x, y) = (2, 1).

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 14: Cho không gian vectơ R^3 với tích vô hướng Euclid. Tìm hình chiếu vuông góc của vectơ u = (1, 2, 3) lên không gian con sinh bởi vectơ v = (1, 1, 0).

(1, 1, 0)

(3, 3, 0)

(1/2, 1/2, 0)

(3/2, 3/2, 0)

Câu hỏi kiểm tra cách tìm hình chiếu vuông góc. Hình chiếu của u lên v là proj_v(u) = ((u.v) / (v.v)) * v. u.v = (1*1) + (2*1) + (3*0) = 3. v.v = (1*1) + (1*1) + (0*0) = 2. proj_v(u) = (3/2) * (1, 1, 0) = (3/2, 3/2, 0).

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 15: Cho ma trận A = [[1, -1], [2, 4]]. Tìm ma trận nghịch đảo A^(-1).

[[1/6, 1/6], [-1/3, 2/3]]

[[2/3, -1/3], [1/6, 1/6]]

[[2/3, 1/6], [-1/3, 1/6]]

[[4, 1], [-2, 1]]

Câu hỏi kiểm tra cách tìm ma trận nghịch đảo cho ma trận 2x2. det(A) = (1*4) - (-1*2) = 6. A^(-1) = (1/det(A)) * [[d, -b], [-c, a]] = (1/6) * [[4, 1], [-2, 1]] = [[4/6, 1/6], [-2/6, 1/6]] = [[2/3, 1/6], [-1/3, 1/6]].

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 16: Cho không gian vectơ V có chiều là 4. Xét không gian con W của V có chiều là 2. Tìm chiều của không gian thương V/W.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về chiều của không gian thương. dim(V/W) = dim(V) - dim(W) = 4 - 2 = 2.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 17: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^3 -> R^2 xác định bởi f(x, y, z) = (x + y, y - z). Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính f.

Câu hỏi kiểm tra cách tìm hạng của ánh xạ tuyến tính. Hạng của f là chiều của ảnh Im(f). Ma trận biểu diễn của f đối với cơ sở chính tắc là A = [[1, 1, 0], [0, 1, -1]]. Hạng của f bằng hạng của ma trận A. Ma trận A có 2 dòng độc lập tuyến tính (không tỉ lệ), nên hạng(A) = 2.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 18: Cho ma trận A = [[2, 0], [0, -1]]. Ma trận A có chéo hóa được không?

Có, ma trận A chéo hóa được.

Không, ma trận A không chéo hóa được vì có giá trị riêng âm.

Không, ma trận A không chéo hóa được vì là ma trận đường chéo.

Chỉ chéo hóa được trên trường số phức.

Câu hỏi kiểm tra điều kiện chéo hóa được của ma trận. Ma trận đường chéo luôn chéo hóa được. Ma trận A đã là ma trận đường chéo.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 19: Cho dạng toàn phương q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2. Ma trận của dạng toàn phương này là ma trận nào?

[[1, 4], [4, 1]]

[[1, 2], [2, 1]]

[[1, 0], [0, 1]]

[[2, 1], [1, 2]]

Câu hỏi kiểm tra cách tìm ma trận của dạng toàn phương. Ma trận của dạng toàn phương q(x, y) = ax^2 + 2bxy + cy^2 là [[a, b], [b, c]]. Trong trường hợp này, a=1, 2b=4 => b=2, c=1. Vậy ma trận là [[1, 2], [2, 1]].

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 20: Cho không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 có chiều là 2, với A là ma trận vuông cấp 4. Tìm hạng của ma trận A.

Câu hỏi kiểm tra định lý hạng - chiều không. dim(Ker(A)) + rank(A) = n, với n là cấp của ma trận A. Ở đây, dim(Ker(A)) = 2 (chiều không gian nghiệm), n = 4. Vậy rank(A) = 4 - 2 = 2.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 21: Trong không gian R^3, xét tích có hướng của hai vectơ u = (1, 0, 0) và v = (0, 1, 0). Tính u x v.

(1, 1, 0)

(0, 1, 1)

(1, 0, 1)

(0, 0, 1)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích có hướng của hai vectơ. u x v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1) = (0*0 - 0*1, 0*0 - 1*0, 1*1 - 0*0) = (0, 0, 1).

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 22: Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận A về dạng bậc thang.

[[1, 2], [0, -2]]

[[1, 0], [0, 1]]

[[3, 4], [1, 2]]

[[0, -2], [1, 2]]

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng sử dụng phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận về dạng bậc thang. R2 -> R2 - 3R1. [[1, 2], [3, 4]] -> [[1, 2], [3-3*1, 4-3*2]] = [[1, 2], [0, -2]]. Đây là dạng bậc thang.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 23: Cho không gian vectơ V = R^3. Xét các vectơ u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6). Tìm số chiều của không gian sinh bởi {u, v}.

Không xác định

Câu hỏi kiểm tra cách tìm chiều của không gian sinh bởi một tập hợp vectơ. Ta kiểm tra tính độc lập tuyến tính của {u, v}. Hai vectơ không tỉ lệ nên độc lập tuyến tính. Vậy chiều của không gian sinh bởi {u, v} là 2.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 24: Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là tương đương với việc A khả nghịch?

det(A) = 0

Hệ AX = 0 có vô số nghiệm.

det(A) ≠ 0

Hạng của ma trận A nhỏ hơn n.

Câu hỏi kiểm tra các điều kiện tương đương với tính khả nghịch của ma trận. Ma trận khả nghịch khi và chỉ khi định thức khác 0.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 25: Cho hệ phương trình tuyến tính AX = b. Nếu hệ có nghiệm duy nhất, thì hạng của ma trận hệ số mở rộng [A|b] so với hạng của ma trận hệ số A như thế nào?

Hạng bằng nhau và bằng số ẩn.

Hạng của [A|b] lớn hơn hạng của A.

Hạng của A lớn hơn hạng của [A|b].

Không có mối quan hệ nhất định.

Câu hỏi kiểm tra điều kiện có nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính. Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hạng(A) = hạng([A|b]) = số ẩn.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 26: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^2 -> R^3 xác định bởi f(x, y) = (x + y, x - y, 2x). Tìm hạt nhân Ker(f) của ánh xạ f.

{(x, y) ∈ R^2 | x + y = 0}

{(x, y) ∈ R^2 | x - y = 0}

{(x, y) ∈ R^2 | 2x = 0}

{(0, 0)}

Câu hỏi kiểm tra cách tìm hạt nhân của ánh xạ tuyến tính. Ker(f) = {v ∈ R^2 | f(v) = 0}. f(x, y) = (x + y, x - y, 2x) = (0, 0, 0). Ta có hệ: x + y = 0; x - y = 0; 2x = 0. Từ 2x = 0 => x = 0. Thay x = 0 vào x + y = 0 => y = 0. Vậy Ker(f) = {(0, 0)}.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 27: Cho ma trận A = [[3, -2], [4, -3]]. Tính tổng các giá trị riêng của ma trận A.

-1

Câu hỏi kiểm tra tính chất về tổng các giá trị riêng. Tổng các giá trị riêng của ma trận bằng vết của ma trận (trace). Trace(A) = 3 + (-3) = 0.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 28: Cho ma trận A vuông cấp 3 và vectơ riêng v ứng với giá trị riêng λ. Khi đó A^2 * v bằng vectơ nào?

λv

2λv

λ^2 * v

Không xác định

Câu hỏi kiểm tra tính chất của vectơ riêng và giá trị riêng. Av = λv. A^2 * v = A * (Av) = A * (λv) = λ * (Av) = λ * (λv) = λ^2 * v.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 29: Cho không gian vectơ R^2 với cơ sở B = {u = (1, 1), v = (1, -1)}. Tìm tọa độ của vectơ w = (3, 1) trong cơ sở B.

[1, 2]^T

[-1, 2]^T

[2, -1]^T

[2, 1]^T

Câu hỏi kiểm tra cách tìm tọa độ của vectơ trong cơ sở khác. Ta cần tìm a, b sao cho w = au + bv. (3, 1) = a(1, 1) + b(1, -1) = (a+b, a-b). Hệ phương trình: a + b = 3; a - b = 1. Cộng hai phương trình: 2a = 4 => a = 2. Thay a = 2 vào a + b = 3 => 2 + b = 3 => b = 1. Tọa độ [w]_B = [2, 1]^T.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 01

Câu 30: Cho ma trận A là ma trận vuông cấp n có các cột là cơ sở của R^n. Định thức của ma trận A có thể bằng 0 không?

Có thể bằng 0 tùy trường hợp.

Không thể bằng 0.

Luôn luôn bằng 0.

Chỉ bằng 0 khi n chẵn.

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra mối liên hệ giữa cơ sở và định thức. Nếu các cột của ma trận A là cơ sở của R^n, thì các cột độc lập tuyến tính, ma trận A khả nghịch, và định thức khác 0.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 02

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 1: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 2 & -1 3 & 4 end{pmatrix}$. Tính định thức của ma trận $B = 2A^T - 3I$, với $I$ là ma trận đơn vị cấp 2 và $A^T$ là ma trận chuyển vị của $A$.

-5

-13

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính toán định thức của ma trận và các phép biến đổi ma trận (chuyển vị, nhân vô hướng, trừ ma trận đơn vị). Cần tính $A^T$, sau đó $2A^T - 3I$, rồi cuối cùng tính định thức của ma trận kết quả.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 2: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $AX = 0$ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi nào về định thức của ma trận $A$?

det(A) > 0

det(A) = 0

det(A) ≠ 0

det(A) < 0

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về mối liên hệ giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và định thức của ma trận hệ số. Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 3: Cho không gian vectơ $V = mathbb{R}^3$. Xét tập hợp $W = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid x - 2y + z = 0 ext{ và } x + y - z = 0}$. Khẳng định nào sau đây đúng về $W$?

$W$ là một không gian con của $V$ có số chiều là 1.

$W$ là một không gian con của $V$ có số chiều là 2.

$W$ là một không gian con của $V$ có số chiều là 0.

$W$ không phải là không gian con của $V$.

Câu hỏi kiểm tra khả năng xác định một tập hợp con có phải là không gian con hay không. $W$ là giao của hai không gian con (mỗi phương trình tuyến tính thuần nhất định nghĩa một không gian con), nên $W$ cũng là không gian con. Cần tìm cơ sở và số chiều của $W$.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 4: Cho biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ được xác định bởi $T(x, y) = (2x + y, x - y)$. Ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc của $mathbb{R}^2$ là ma trận nào?

$begin{pmatrix} 1 & -1 2 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 2 & 1 1 & -1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 2 -1 & 1 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm ma trận biểu diễn của một biến đổi tuyến tính trong cơ sở chính tắc. Cần áp dụng biến đổi $T$ lên các vectơ cơ sở chính tắc $e_1 = (1, 0)$ và $e_2 = (0, 1)$, sau đó viết các vectơ kết quả dưới dạng cột của ma trận.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 5: Giá trị riêng của ma trận $A = begin{pmatrix} 3 & -1 -1 & 3 end{pmatrix}$ là:

2, 2

2, 4

3, 3

0, 6

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm giá trị riêng của ma trận. Cần giải phương trình đặc trưng det$(A - lambda I) = 0$.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 6: Cho hệ phương trình tuyến tính $begin{cases} x + y + z = 3 2x - y + z = 2 x + 2y - z = 1 end{cases}$. Hệ phương trình này có bao nhiêu nghiệm?

Một nghiệm duy nhất.

Vô số nghiệm.

Vô nghiệm.

Hai nghiệm.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng giải hệ phương trình tuyến tính và xác định số nghiệm. Có thể sử dụng phương pháp Gauss hoặc tính định thức để xét.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 7: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3 end{pmatrix}$. Ma trận $A$ có khả nghịch không? Nếu có, định thức của ma trận nghịch đảo $A^{-1}$ là bao nhiêu?

Không khả nghịch.

Khả nghịch và det($A^{-1}$) = 1/6.

Khả nghịch và det($A^{-1}$) = 6.

Khả nghịch và det($A^{-1}$) = -6.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về ma trận khả nghịch và định thức của ma trận nghịch đảo. Ma trận tam giác trên khả nghịch khi và chỉ khi các phần tử trên đường chéo chính khác 0. Định thức của ma trận nghịch đảo là nghịch đảo của định thức ma trận ban đầu.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 8: Trong không gian vectơ $mathbb{R}^3$, cho hai vectơ $u = (1, -1, 2)$ và $v = (2, 1, -1)$. Tính tích có hướng $u imes v$.

$(−1, 5, 3)$

$(−1, −5, 3)$

$(−1, 5, 3)$

$(−1, −5, −3)$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích có hướng của hai vectơ trong $mathbb{R}^3$. Sử dụng công thức tính tích có hướng.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 9: Cho không gian vectơ $V$ có cơ sở $B = {v_1, v_2, v_3}$. Xét hệ vectơ $S = {2v_1 + v_2, v_2 - v_3, v_1 + v_3}$. Hệ $S$ có là cơ sở của $V$ không? Vì sao?

Không, vì hệ $S$ có ít hơn 3 vectơ.

Có, vì hệ $S$ có đủ 3 vectơ.

Có, vì các vectơ trong $S$ khác 0.

Có, vì hệ $S$ độc lập tuyến tính.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về cơ sở của không gian vectơ và tính độc lập tuyến tính, sinh không gian. Vì $V$ có số chiều 3, hệ $S$ có 3 vectơ, nên $S$ là cơ sở khi và chỉ khi nó độc lập tuyến tính.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 10: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 0 & 1 & 1 1 & 0 & 3 end{pmatrix}$. Tính hạng của ma trận $A$ (rank($A$)).

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính hạng của ma trận. Có thể sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận về dạng bậc thang và đếm số dòng khác không.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 11: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^3$ với tích vô hướng Euclid. Tìm hình chiếu trực giao của vectơ $u = (1, 2, 3)$ lên không gian con sinh bởi vectơ $v = (1, 1, 0)$.

$(2, 2, 0)$

$(3/2, 3/2, 0)$

$(1/2, 1/2, 0)$

$(0, 0, 0)$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm hình chiếu trực giao của một vectơ lên một không gian con. Sử dụng công thức hình chiếu trực giao.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 12: Cho biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^2$ xác định bởi $T(x, y, z) = (x - y + z, 2x + y - z)$. Tìm số chiều của hạt nhân (ker($T$)) và ảnh (im($T$)) của $T$.

dim(ker($T$)) = 1, dim(im($T$)) = 2

dim(ker($T$)) = 2, dim(im($T$)) = 1

dim(ker($T$)) = 0, dim(im($T$)) = 3

dim(ker($T$)) = 3, dim(im($T$)) = 0

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về hạt nhân và ảnh của biến đổi tuyến tính, định lý hạng - số chiều. Tìm ma trận biểu diễn của $T$, sau đó tìm hạng và số chiều hạt nhân.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 13: Ma trận nào sau đây là ma trận đối xứng?

$begin{pmatrix} 1 & 2 3 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 2 2 & -1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 2 2 & 3 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & -2 2 & 1 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra định nghĩa ma trận đối xứng ($A = A^T$).

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 14: Cho không gian vectơ $V = mathbb{P}_2[x]$ (không gian các đa thức bậc không quá 2). Xét các đa thức $p_1(x) = 1 + x$, $p_2(x) = x - x^2$, $p_3(x) = 1 + x^2$. Hệ ${p_1, p_2, p_3}$ có độc lập tuyến tính không?

Độc lập tuyến tính.

Phụ thuộc tuyến tính, và $p_3 = p_1 + p_2$.

Phụ thuộc tuyến tính, và $p_1 = p_2 + p_3$.

Phụ thuộc tuyến tính, và $p_3 = p_1 + p_2$.

Câu hỏi kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ (đa thức) trong không gian vectơ đa thức. Xét tổ hợp tuyến tính bằng 0 và kiểm tra hệ số.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 15: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}$. Tìm ma trận $P$ khả nghịch và ma trận đường chéo $D$ sao cho $A = PDP^{-1}$.

$P = begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 end{pmatrix}$, $D = begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 3 end{pmatrix}$

$P = begin{pmatrix} 1 & -1 1 & 1 end{pmatrix}$, $D = begin{pmatrix} 3 & 0 0 & 1 end{pmatrix}$

$P = begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 end{pmatrix}$, $D = begin{pmatrix} 3 & 0 0 & 1 end{pmatrix}$

$P = begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix}$, $D = begin{pmatrix} 2 & 0 0 & 2 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng chéo hóa ma trận. Tìm giá trị riêng, vectơ riêng, sau đó lập ma trận $P$ và $D$.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 16: Cho tích vô hướng trên $mathbb{R}^2$ xác định bởi $langle u, v rangle = 2x_1y_1 + x_2y_2$, với $u = (x_1, x_2)$ và $v = (y_1, y_2)$. Tính $langle u, v rangle$ khi $u = (2, -1)$ và $v = (1, 3)$.

−1

−2

−4

Câu hỏi kiểm tra việc áp dụng định nghĩa tích vô hướng không chính tắc.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 17: Cho không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $AX = 0$ là $W$. Nếu hạng của ma trận $A$ cấp $m imes n$ là $r$, thì số chiều của $W$ là bao nhiêu?

n - r

m - r

m + n - r

Câu hỏi kiểm tra định lý hạng - số chiều cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 18: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & 2 0 & 1 end{pmatrix}$. Tính $A^{100}$.

$begin{pmatrix} 100 & 200 0 & 100 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 200 0 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 100 & 2 0 & 100 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính lũy thừa của ma trận, đặc biệt với ma trận có cấu trúc đặc biệt (gần ma trận đơn vị).

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 19: Cho ánh xạ $F: mathbb{R}^2 o mathbb{R}$ xác định bởi $F(x, y) = x^2 + y$. Ánh xạ $F$ có phải là tuyến tính không? Vì sao?

Tuyến tính, vì $F(u+v) = F(u) + F(v)$ và $F(cu) = cF(u)$.

Tuyến tính, vì $F(0, 0) = 0$.

Tuyến tính, vì $F$ liên tục.

"Không tuyến tính, vì không thỏa mãn tính thuần nhất (ví dụ $F(2u)

Câu hỏi kiểm tra định nghĩa biến đổi tuyến tính (tính cộng tính và thuần nhất).

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 20: Cho không gian vectơ $V$ và $W$ là không gian con của $V$. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Giao của $W_1 cap W_2$ luôn là không gian con của $V$.

Hợp của $W_1 cup W_2$ luôn là không gian con của $V$.

Hiệu của $W_1 setminus W_2$ luôn là không gian con của $V$.

Phần bù của $W$ trong $V$ luôn là không gian con của $V$.

Câu hỏi kiểm tra các tính chất cơ bản của không gian con và các phép toán trên không gian con (giao, hợp, tổng).

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 21: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Nếu $lambda$ là giá trị riêng của $A$, thì $lambda^2$ là giá trị riêng của ma trận nào?

$2A$

$A^2$

$A + I$

$A - I$

Câu hỏi kiểm tra tính chất của giá trị riêng liên quan đến phép toán ma trận (lũy thừa).

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 22: Trong mô hình Input-Output Leontief, ma trận hệ số kỹ thuật $A$ có các phần tử $a_{ij}$ thể hiện điều gì?

Tổng sản lượng của ngành $i$.

Nhu cầu cuối cùng của ngành $i$.

Lượng đầu vào của ngành $i$ cần thiết để sản xuất 1 đơn vị sản lượng của ngành $j$.

Tổng giá trị gia tăng của ngành $j$.

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng của đại số tuyến tính trong kinh tế, cụ thể là mô hình Input-Output. Yêu cầu hiểu ý nghĩa của ma trận hệ số kỹ thuật.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 23: Cho không gian vectơ $V$ hữu hạn chiều. Nếu $T: V o V$ là biến đổi tuyến tính và $lambda = 0$ là giá trị riêng của $T$, thì khẳng định nào sau đây đúng?

$T$ là đẳng cấu.

$T$ là đơn ánh.

$T$ là toàn ánh.

$T$ không khả nghịch.

Câu hỏi kiểm tra mối liên hệ giữa giá trị riêng bằng 0 và tính khả nghịch của biến đổi tuyến tính.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 24: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & 2 2 & 4 end{pmatrix}$. Tìm không gian cột của $A$ (Col($A$)).

span${(1, 0)^T, (0, 1)^T}$

span${(1, 2)^T}$

span${(2, 4)^T}$

${(0, 0)^T}$

Câu hỏi kiểm tra khái niệm không gian cột của ma trận và cách tìm cơ sở của không gian cột.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 25: Cho dạng toàn phương $Q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$. Dạng toàn phương này là dạng gì?

Xác định dương.

Xác định âm.

Không xác định.

Bán xác định dương.

Câu hỏi kiểm tra phân loại dạng toàn phương (xác định dương, xác định âm, bán xác định, không xác định). Xét định thức con chính.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 26: Cho ma trận vuông $A$ cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là tương đương với việc $A$ khả nghịch?

Hệ phương trình $AX = 0$ chỉ có nghiệm tầm thường.

Hạng của $A$ nhỏ hơn $n$.

Định thức của $A$ bằng 0.

Các cột của $A$ phụ thuộc tuyến tính.

Câu hỏi kiểm tra các điều kiện tương đương của ma trận khả nghịch.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 27: Cho không gian vectơ $V = mathbb{R}^3$ và cơ sở $B = {e_1, e_2, e_3}$ chính tắc. Xét vectơ $v = 2e_1 - e_2 + 3e_3$. Tọa độ của $v$ đối với cơ sở $B$ là:

$(1, 1, 1)$

$(2, -1, 3)$

$(3, -1, 2)$

$(2, 1, 3)$

Câu hỏi kiểm tra khái niệm tọa độ của vectơ đối với một cơ sở.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 28: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Nếu ma trận $A$ có giá trị riêng thực, thì vectơ riêng tương ứng có tọa độ là số gì?

Số phức.

Số ảo.

Số nguyên.

Số thực.

Câu hỏi kiểm tra tính chất của vectơ riêng và giá trị riêng.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 29: Cho biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ là phép quay quanh gốc tọa độ một góc $ heta$. Ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc là ma trận nào?

"$begin{pmatrix} sin

heta & cos

heta -cos

heta & sin

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về ma trận biểu diễn của phép quay trong $mathbb{R}^2$.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 02

Câu 30: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^3$. Xét tích vô hướng chuẩn Euclid. Tìm một cơ sở trực giao cho không gian con $W = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid x + y + z = 0}$.

${(1, -1, 0), (1, 1, -2)}$

${(1, 0, -1), (0, 1, -1)}$

${(1, 1, 1), (-1, 1, 0)}$

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm cơ sở trực giao cho một không gian con cho trước. Có thể sử dụng quá trình Gram-Schmidt sau khi tìm cơ sở cho $W$.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 03

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 1: Cho ma trận . Định thức của ma trận A là bao nhiêu?

-12

Câu hỏi này kiểm tra kỹ năng tính định thức của ma trận vuông cấp 3. Để tính định thức, ta có thể sử dụng quy tắc Sarrus hoặc khai triển theo dòng/cột.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 2: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 có vô số nghiệm khi nào?

Khi hạng của ma trận A bằng số ẩn.

Khi hạng của ma trận A lớn hơn số ẩn.

Khi hạng của ma trận A nhỏ hơn số ẩn.

Hệ phương trình thuần nhất luôn có nghiệm duy nhất.

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về điều kiện để hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm, liên quan đến hạng của ma trận hệ số A.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 3: Cho hai vectơ và . Tính tích vô hướng của hai vectơ này.

-1

Câu hỏi này kiểm tra kỹ năng tính tích vô hướng (tích скаляр) của hai vectơ trong không gian 3 chiều.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 4: Ma trận vuông A được gọi là khả ngh??ch khi nào?

Khi định thức của ma trận A khác 0.

Khi định thức của ma trận A bằng 0.

Khi tất cả các phần tử của ma trận A khác 0.

Khi ma trận A là ma trận đơn vị.

Câu hỏi này kiểm tra định nghĩa và điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông là khả nghịch.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 5: Cho không gian vectơ V là tập hợp tất cả các đa thức bậc không quá 2. Tìm một cơ sở của không gian vectơ V.

{1, x}

{1, x, x^2}

{x, x^2, x^3}

{1, x, x^2, x^3}

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về không gian vectơ đa thức và cách xác định một cơ sở cho không gian đó.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 6: Phép biến đổi tuyến tính T: R^2 → R^2 được cho bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Tìm ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc.

Câu hỏi này kiểm tra kỹ năng tìm ma trận biểu diễn của một phép biến đổi tuyến tính đối với cơ sở chính tắc.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 7: Cho ma trận . Tìm hạng của ma trận A.

Câu hỏi này kiểm tra kỹ năng tìm hạng của ma trận, có thể sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận về dạng bậc thang.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 8: Cho không gian con W của R^3 sinh bởi các vectơ {(1, 2, 1), (2, 4, 2)}. Tìm số chiều của không gian con W.

Không xác định

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về không gian con sinh bởi một tập vectơ và cách xác định số chiều của không gian con đó.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 9: Cho ma trận A vuông cấp 2 có các giá trị riêng là λ1 = 2 và λ2 = -1. Tính định thức của ma trận A.

-2

-3

Câu hỏi này kiểm tra mối quan hệ giữa định thức của ma trận và các giá trị riêng của nó. Định thức của ma trận bằng tích các giá trị riêng.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 10: Cho vectơ . Chuẩn (norm) Euclid của vectơ v là bao nhiêu?

Câu hỏi này kiểm tra kỹ năng tính chuẩn Euclid (chuẩn 2) của một vectơ.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 11: Trong không gian R^3, xét mặt phẳng P: x + 2y - z = 0. Mặt phẳng P có phải là không gian con của R^3 không? Vì sao?

Có, vì nó chứa vectơ 0 và đóng kín với phép cộng và phép nhân với số vô hướng.

Không, vì nó không chứa vectơ 0.

Có, vì nó là một mặt phẳng trong R^3.

Không, vì nó không đóng kín với phép cộng vectơ.

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về không gian con và điều kiện để một tập hợp con là không gian con (chứa vectơ 0, đóng kín với phép cộng và phép nhân với số vô hướng).

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 12: Cho hệ phương trình tuyến tính . Hệ phương trình này có bao nhiêu nghiệm?

Vô nghiệm

Có nghiệm duy nhất

Có vô số nghiệm

Không xác định

Câu hỏi này yêu cầu phân tích số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, có thể dựa vào hạng của ma trận hệ số và ma trận bổ sung.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 13: Cho ma trận A và B cùng cấp sao cho AB = BA. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?

det(A + B) = det(A) + det(B)

(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2

(A + B)(A - B) = A^2 - B^2

(AB)^T = A^T B^T

Câu hỏi này kiểm tra tính chất giao hoán của phép nhân ma trận và các hệ quả của nó.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 14: Cho ma trận . Tìm ma trận nghịch đảo A^(-1), nếu có.

Câu hỏi này kiểm tra kỹ năng tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 2, sử dụng công thức hoặc phép biến đổi sơ cấp.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 15: Cho phép biến đ??i tuyến tính T: R^3 → R^3 là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng xy. Tìm ảnh của vectơ v = (1, 2, 3) qua phép biến đổi T.

(1, 2, 0)

(0, 0, 3)

(1, 2, 3)

(0, 0, 0)

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về phép chiếu vuông góc và cách áp dụng phép chiếu lên một vectơ.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 16: Cho không gian vectơ V và W. Khi nào thì ánh xạ f: V → W được gọi là đơn cấu tuyến tính?

Khi f là toàn ánh và tuyến tính.

Khi f là tuyến tính và ker(f) = {0}.

Khi f là tuyến tính và im(f) = W.

Khi f là song ánh và tuyến tính.

Câu hỏi này kiểm tra định nghĩa của đơn cấu tuyến tính (phép nhúng tuyến tính) và điều kiện liên quan đến hạt nhân (kernel) của ánh xạ.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 17: Cho ma trận vuông A cấp n. Phát biểu nào sau đây là tương đương với việc A không khả nghịch?

Hệ AX = 0 có nghiệm duy nhất.

Hạng của ma trận A bằng n.

0 là một giá trị riêng của ma trận A.

Các cột của ma trận A độc lập tuyến tính.

Câu hỏi này kiểm tra các điều kiện tương đương với tính khả nghịch và không khả nghịch của ma trận vuông.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 18: Cho không gian vectơ R^3 với tích vô hướng Euclid. Tìm một vectơ trực giao với cả hai vectơ u = (1, 0, 1) và v = (0, 1, 1).

(1, 1, 0)

(1, -1, 0)

(0, 1, -1)

(1, -1, -1)

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về trực giao và cách tìm vectơ trực giao với hai vectơ cho trước (ví dụ: sử dụng tích có hướng).

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 19: Cho λ là một giá trị riêng của ma trận A. Khi đó λ^2 là giá trị riêng của ma trận nào?

A^2

A + I

A^(-1)

Câu hỏi này kiểm tra tính chất của giá trị riêng liên quan đến các phép toán trên ma trận.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 20: Cho hệ phương trình tuyến tính AX = b. Nếu hệ phương trình này có nghiệm, thì nghiệm tổng quát của hệ có dạng như thế nào?

Chỉ là một nghiệm riêng.

Nghiệm riêng cộng với nghiệm tổng quát của hệ AX = 0.

Chỉ là nghiệm tổng quát của hệ AX = 0.

Không xác định được dạng nghiệm tổng quát.

Câu hỏi này kiểm tra cấu trúc của nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất, liên quan đến nghiệm riêng và không gian nghiệm của hệ thuần nhất.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 21: Cho ma trận A là ma trận vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây về định thức của ma trận là đúng?

det(A + B) = det(A) + det(B)

det(cA) = c det(A), với c là hằng số.

det(AB) = det(A)det(B)

det(A^T) = -det(A)

Câu hỏi này kiểm tra các tính chất cơ bản của định thức ma trận.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 22: Cho không gian vectơ V có số chiều là n. Số vectơ tối thiểu cần thiết để sinh ra không gian V là bao nhiêu?

n + 1

n - 1

Ít nhất 2n

Không có số lượng tối thiểu cố định, nhưng cần ít nhất n vectơ độc lập tuyến tính để tạo thành cơ sở.

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về không gian sinh và số chiều của không gian vectơ.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 23: Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu các cột của A phụ thuộc tuyến tính, thì định thức của A bằng bao nhiêu?

-1

Không xác định

Câu hỏi này liên kết giữa tính phụ thuộc tuyến tính của cột ma trận và giá trị định thức.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 24: Cho phép biến đổi tuyến tính T: V → W. Tập hợp tất cả các vectơ v ∈ V sao cho T(v) = 0 được gọi là gì?

Ảnh của T (Im(T))

Không gian đích W

Hạt nhân của T (Ker(T))

Không gian nguồn V

Câu hỏi này kiểm tra định nghĩa của hạt nhân (kernel) của phép biến đổi tuyến tính.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 25: Cho ma trận A vuông cấp n có các giá trị riêng λ1, λ2, ..., λn. Tổng các giá trị riêng này bằng gì?

Vết của ma trận A (tr(A))

Định thức của ma trận A (det(A))

Hạng của ma trận A (rank(A))

Số chiều của không gian vectơ

Câu hỏi này kiểm tra mối quan hệ giữa tổng các giá trị riêng và vết (trace) của ma trận.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 26: Cho hệ vectơ S = {v1, v2, ..., vk} trong không gian vectơ V. Khi nào hệ S được gọi là độc lập tuyến tính?

Khi tồn tại các hệ số ci không đồng thời bằng 0 sao cho c1v1 + c2v2 + ... + ckvk = 0.

Khi phương trình c1v1 + c2v2 + ... + ckvk = 0 chỉ có nghiệm tầm thường c1 = c2 = ... = ck = 0.

Khi k lớn hơn số chiều của V.

Khi tất cả các vectơ trong S khác vectơ 0.

Câu hỏi này kiểm tra định nghĩa của hệ vectơ độc lập tuyến tính.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 27: Cho ma trận A vuông. Điều gì xảy ra với định thức của A khi ta đổi chỗ hai hàng của ma trận?

Định thức không thay đổi.

Định thức tăng gấp đôi.

Định thức đổi dấu.

Định thức trở thành 0.

Câu hỏi này kiểm tra tính chất của định thức khi thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 28: Cho không gian con W = span{u, v} trong R^3, với u = (1, 1, 0) và v = (0, 1, 1). Tìm một vectơ thuộc W.

(1, 0, 0)

(0, 0, 1)

(1, -1, 0)

(1, 2, 1)

Câu hỏi này kiểm tra hiểu biết về không gian sinh và cách xác định một vectơ thuộc không gian sinh bởi một tập vectơ.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 29: Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu ma trận A có một hàng (hoặc cột) toàn số 0, thì định thức của A bằng bao nhiêu?

-1

Không xác định

Câu hỏi này kiểm tra một tính chất đặc biệt của định thức ma trận.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 03

Câu 30: Cho phép biến đổi tuyến tính T: R^n → R^m. Định lý Hạng-Số chiều (Rank-Nullity Theorem) phát biểu mối quan hệ giữa số chiều của không gian nguồn, hạng của T và số chiều của hạt nhân của T như thế nào?

dim(R^n) = rank(T) - dim(Ker(T))

rank(T) = dim(R^n) + dim(Ker(T))

dim(R^n) = rank(T) + dim(Ker(T))

dim(Ker(T)) = rank(T) + dim(R^n)

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về Định lý Hạng-Số chiều, một định lý cơ bản trong đại số tuyến tính.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 04

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 1: Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây về định thức của ma trận là **sai**?

det(A^T) = det(A)

det(kA) = k^n det(A) với k là hằng số

Nếu A khả nghịch thì det(A) ≠ 0

det(A + B) = det(A) + det(B) với B là ma trận vuông cấp n

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tính chất định thức. Phương án sai là phương án đảo ngược một tính chất đúng của định thức.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0. Điều kiện nào sau đây **không** đảm bảo hệ có nghiệm duy nhất?

Ma trận A là ma trận vuông và khả nghịch.

Định thức của ma trận A khác 0.

Hạng của ma trận A nhỏ hơn số ẩn.

Các cột của ma trận A độc lập tuyến tính.

Câu hỏi về nghiệm của hệ thuần nhất và điều kiện nghiệm duy nhất. Nghiệm duy nhất của hệ thuần nhất luôn là nghiệm tầm thường. Điều kiện không đảm bảo nghiệm duy nhất là điều kiện cho phép có vô số nghiệm.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 3: Xét không gian vectơ R^3. Tập hợp các vectơ V = {(x, y, z) ∈ R^3 | x - 2y + z = 0} là:

Một không gian con của R^3.

Một tập hợp rỗng.

Không phải là không gian con vì không chứa vectơ không.

Không phải là không gian con vì không đóng kín với phép cộng vectơ.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm không gian con. Tập V được cho bởi một phương trình tuyến tính thuần nhất, biểu diễn một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ trong R^3, do đó là một không gian con.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính T: R^2 → R^2 xác định bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc của R^2 là:

[[1, -1], [2, 1]]

[[2, 1], [1, -1]]

[[2, -1], [1, 1]]

[[-1, 1], [1, 2]]

Câu hỏi về ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính. Cần tìm ảnh của các vectơ cơ sở chính tắc (1, 0) và (0, 1) qua T, sau đó viết chúng thành cột của ma trận.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 5: Cho ma trận A = [[2, -1], [4, k]]. Tìm giá trị của k để các vectơ cột của A phụ thuộc tuyến tính.

k = 4

k = -2

k = 2

Câu hỏi về sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ cột. Các cột phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi định thức của ma trận bằng 0.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 6: Trong không gian vectơ P2[x] (không gian đa thức bậc không quá 2), xét cơ sở B = {1, x, x^2}. Tìm tọa độ của đa thức p(x) = 2 - x + 3x^2 đối với cơ sở B.

(2, -1, 3)

(3, -1, 2)

(-1, 2, 3)

(2, 3, -1)

Câu hỏi về tọa độ của vectơ trong một cơ sở. Tọa độ của đa thức p(x) đối với cơ sở B chính là các hệ số của đa thức khi biểu diễn qua cơ sở B.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 7: Cho ma trận A = [[1, 2], [2, 1]]. Tìm ma trận nghịch đảo A^(-1).

[[1, -2], [-2, 1]]

[[1/3, -2/3], [-2/3, 1/3]]

[[-1/3, 2/3], [2/3, -1/3]]

Câu hỏi về tìm ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 2. Sử dụng công thức nghịch đảo ma trận cấp 2 hoặc phương pháp Gauss-Jordan.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 8: Giá trị riêng của ma trận A = [[3, 0], [2, 1]] là:

λ = 2, λ = 2

λ = 3, λ = 1

λ = 3, λ = 2

λ = 1, λ = -1

Câu hỏi về giá trị riêng của ma trận. Giá trị riêng là nghiệm của phương trình đặc trưng det(A - λI) = 0. Với ma trận tam giác, giá trị riêng là các phần tử trên đường chéo chính.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 9: Cho không gian vectơ V và W. Ánh xạ tuyến tính T: V → W là đơn ánh khi và chỉ khi:

Ảnh của T (Im(T)) bằng W.

T là toàn ánh.

Hạt nhân của T (ker(T)) chỉ chứa vectơ không.

Số chiều của V bằng số chiều của W.

Câu hỏi về điều kiện để ánh xạ tuyến tính là đơn ánh. Ánh xạ tuyến tính đơn ánh khi và chỉ khi hạt nhân (ker(T)) chỉ chứa vectơ không.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 10: Cho tích vô hướng trong R^2 là tích vô hướng Euclid. Tìm hình chiếu trực giao của vectơ u = (3, 4) lên vectơ v = (1, 1).

(7/2, 0)

(7/2, 7/2)

(0, 7/2)

(7, 7)

Câu hỏi về hình chiếu trực giao. Sử dụng công thức hình chiếu trực giao của u lên v: proj_v(u) = ((u.v) / (v.v)) * v.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 11: Cho ma trận A cấp 3x3 có định thức det(A) = 5. Tính định thức của ma trận 2A.

Câu hỏi về tính chất định thức khi nhân ma trận với một hằng số. det(kA) = k^n det(A) với n là cấp của ma trận.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 12: Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B. Hệ có nghiệm khi và chỉ khi:

det(A) ≠ 0

A là ma trận vuông.

B là vectơ không.

Hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung [A|B].

Câu hỏi về điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số A bằng hạng của ma trận bổ sung [A|B].

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 13: Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là tương đương với việc A khả nghịch?

Hệ phương trình AX = 0 chỉ có nghiệm tầm thường.

Các dòng của ma trận A phụ thuộc tuyến tính.

Định thức của ma trận A bằng 0.

Hạng của ma trận A nhỏ hơn n.

Câu hỏi về các điều kiện tương đương với tính khả nghịch của ma trận. Nhiều điều kiện tương đương tồn tại, cần chọn một điều kiện đúng trong các phương án.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 14: Cho không gian vectơ con W = span{v1, v2} trong R^3, với v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1). Tìm một vectơ trực giao với cả v1 và v2.

(1, 1, 0)

(1, -1, 0)

(1, 1, -1)

(-1, -1, 1)

Câu hỏi về tìm vectơ trực giao với một không gian con sinh bởi hai vectơ. Có thể sử dụng tích có hướng hoặc giải hệ phương trình tích vô hướng bằng 0.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 15: Cho ánh xạ tuyến tính T: R^3 → R^2 xác định bởi T(x, y, z) = (x + y, y - z). Tìm số chiều của hạt nhân của T (dim(ker(T))).

Câu hỏi về số chiều hạt nhân của ánh xạ tuyến tính. Hạt nhân ker(T) là tập hợp các vectơ (x, y, z) sao cho T(x, y, z) = (0, 0). Giải hệ phương trình để tìm ker(T) và số chiều của nó.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 16: Cho ma trận A = [[1, -1], [2, 3]]. Tính tổng các giá trị riêng của A.

Câu hỏi về tổng các giá trị riêng. Tổng các giá trị riêng của ma trận bằng vết của ma trận (tổng các phần tử trên đường chéo chính).

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 17: Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu λ là một giá trị riêng của A, thì λ^2 là giá trị riêng của ma trận nào sau đây?

A^2

A + I

A - I

Câu hỏi về tính chất giá trị riêng của lũy thừa ma trận. Nếu λ là giá trị riêng của A thì λ^k là giá trị riêng của A^k.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 18: Trong không gian R^3, xét cơ sở B = {v1, v2, v3} với v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1). Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang cơ sở B.

[[1, 1, 1], [0, 1, 1], [0, 0, 1]]^-1

[[1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1]]^-1

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

[[1, 1, 1], [0, 1, 1], [0, 0, 1]]

Câu hỏi về ma trận chuyển cơ sở. Ma trận chuyển cơ sở từ E sang B có các vectơ cơ sở B làm cột.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 19: Cho hệ phương trình tuyến tính có ma trận bổ sung [A|B] sau khi khử Gauss thu được dạng bậc thang rút gọn. Nếu số ẩn tự do là 2, và hệ có 5 ẩn, thì hạng của ma trận A là:

Câu hỏi về hạng của ma trận và số ẩn tự do. Số ẩn tự do = số ẩn - hạng của ma trận hệ số A.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 20: Cho không gian vectơ V có số chiều là n. Nếu S là một tập hợp sinh của V chứa m vectơ, thì điều nào sau đây luôn đúng?

m < n

m = n

m ≥ n

m ≤ n

Câu hỏi về tập sinh và số chiều không gian vectơ. Số vectơ trong tập sinh phải lớn hơn hoặc bằng số chiều của không gian vectơ.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 21: Cho ma trận A = [[1, 2], [2, 4]]. Tìm một vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 0 của A.

(1, 2)

(2, 1)

(1, -1)

(2, -1)

Câu hỏi về vectơ riêng ứng với giá trị riêng cho trước. Vectơ riêng v ứng với giá trị riêng λ thỏa mãn (A - λI)v = 0. Với λ = 0, ta có Av = 0. Tìm nghiệm của hệ AX = 0.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 22: Cho ánh xạ tuyến tính T: R^n → R^m có ma trận biểu diễn A (m x n). Số chiều của ảnh của T (dim(Im(T))) bằng:

Hạng của ma trận A (rank(A))

n - rank(A)

Câu hỏi về số chiều ảnh của ánh xạ tuyến tính. Số chiều ảnh của T bằng hạng của ma trận biểu diễn A.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 23: Cho không gian vectơ V với tích vô hướng <,>. Hai vectơ u, v ∈ V được gọi là trực giao khi:

<u, v> = 0

<u, v> = 1

u = -v

u = kv với k là hằng số

Câu hỏi về định nghĩa vectơ trực giao trong không gian tích vô hướng. Hai vectơ trực giao khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 24: Cho ma trận A = [[2, 1], [1, 2]]. Ma trận A có chéo hóa được không?

Có, vì A là ma trận đối xứng.

Không, vì A không phải ma trận vuông.

Có, vì định thức của A khác 0.

Không, vì A có giá trị riêng bội.

Câu hỏi về tính chéo hóa của ma trận. Ma trận vuông cấp n chéo hóa được nếu có đủ n vectơ riêng độc lập tuyến tính. Ma trận đối xứng luôn chéo hóa được.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 25: Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu các cột của A độc lập tuyến tính, thì định thức của A:

Bằng 0.

Khác 0.

Bằng 1.

Không xác định.

Câu hỏi về mối liên hệ giữa sự độc lập tuyến tính của cột và định thức. Các cột độc lập tuyến tính tương đương với ma trận khả nghịch, định thức khác 0.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 26: Cho không gian vectơ R^3. Hệ vectơ S = {v1, v2, v3} với v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1) là:

Một cơ sở của R^3.

Một tập sinh của R^3 nhưng không độc lập tuyến tính.

Độc lập tuyến tính nhưng không là tập sinh của R^3.

Không độc lập tuyến tính và không là tập sinh của R^3.

Câu hỏi về cơ sở của không gian vectơ. Hệ S là cơ sở chính tắc của R^3, vừa độc lập tuyến tính vừa sinh ra R^3.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 27: Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu 0 là một giá trị riêng của A, thì ma trận A:

Khả nghịch.

Luôn là ma trận đơn vị.

Không khả nghịch.

Luôn là ma trận đường chéo.

Câu hỏi về giá trị riêng 0 và tính khả nghịch. Nếu 0 là giá trị riêng thì định thức bằng 0, ma trận không khả nghịch.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 28: Cho không gian vectơ V và không gian vectơ con W của V. Số chiều của W (dim(W)) có mối quan hệ như thế nào với số chiều của V (dim(V))?

dim(W) > dim(V)

dim(W) ≤ dim(V)

dim(W) = 2 * dim(V)

Không có mối quan hệ.

Câu hỏi về số chiều của không gian con và không gian vectơ chứa nó. Số chiều không gian con luôn nhỏ hơn hoặc bằng số chiều không gian chứa nó.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 29: Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây về phép biến đổi sơ cấp trên dòng là **đúng**?

Làm thay đổi định thức của ma trận nhưng không thay đổi hạng.

Làm thay đổi hạng của ma trận nhưng không thay đổi không gian cột.

Luôn làm thay đổi cả định thức và hạng của ma trận.

Không làm thay đổi không gian dòng của ma trận.

Câu hỏi về phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi không gian dòng của ma trận.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 04

Câu 30: Trong mô hình Input-Output mở, ma trận hệ số kỹ thuật là A và vectơ sản lượng cuối cùng là d. Để đảm bảo mô hình có nghiệm kinh tế (sản lượng x ≥ 0), điều kiện cần là gì?

det(A) ≠ 0

Tất cả các phần tử của A đều dương.

Ma trận (I - A) khả nghịch và (I - A)^(-1) ≥ 0 (ma trận không âm).

Ma trận A là ma trận đối xứng.

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi về ứng dụng ĐSTT trong mô hình Input-Output. Điều kiện để mô hình có nghiệm kinh tế liên quan đến ma trận (I - A) và tính nghịch đảo của nó.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 05

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 1: Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây *không* đúng về định thức của ma trận?

det(A^T) = det(A), với A^T là ma trận chuyển vị của A.

det(kA) = k^n det(A), với k là một hằng số.

det(A + B) = det(A) + det(B), với B là ma trận vuông cấp n.

det(AB) = det(A)det(B), với B là ma trận vuông cấp n.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về các tính chất của định thức ma trận, đặc biệt là tính chất tuyến tính theo hàng/cột và định thức của tích hai ma trận.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, với A là ma trận vuông cấp n. Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi:

det(A) ≠ 0

det(A) = 0

rank(A) = n

rank(A) = 0

Câu hỏi liên quan đến điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, dựa trên định thức của ma trận hệ số.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 3: Xét không gian vectơ R^3. Tập hợp nào sau đây là một không gian con của R^3?

W = {(x, y, z) ∈ R^3 | x + y + z = 1}

W = {(x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1}

W = {(x, y, z) ∈ R^3 | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}

W = {(x, y, z) ∈ R^3 | 2x - y + z = 0}

Câu hỏi kiểm tra định nghĩa và điều kiện để một tập hợp con trở thành không gian con của không gian vectơ, bao gồm tính đóng với phép cộng vectơ và phép nhân với số vô hướng.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^2 → R^3 xác định bởi f(x, y) = (x + y, x - y, 2x). Ma trận biểu diễn của f đối với cơ sở chính tắc của R^2 và R^3 là:

[[1, 1], [1, -1], [2, 0]]

[[1, 1, 2], [1, -1, 0]]

[[1, 0], [0, 1], [0, 0]]

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Câu hỏi yêu cầu tìm ma trận biểu diễn của một ánh xạ tuyến tính cho trước, đòi hỏi việc áp dụng định nghĩa ma trận biểu diễn và cơ sở chính tắc.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 5: Trong không gian vectơ P2[x] (không gian các đa thức bậc không quá 2), cho cơ sở B = {1, x, x^2}. Tọa độ của đa thức p(x) = 2 - x + 3x^2 đối với cơ sở B là:

[1, x, x^2]^T

[2, -1, 3]^T

[3, -1, 2]^T

[2, 1, 3]^T

Câu hỏi kiểm tra khái niệm tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở cho trước trong không gian vectơ đa thức.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 6: Cho ma trận A = [[2, -1], [-1, 2]]. Tìm ma trận nghịch đảo A^(-1).

[[2, 1], [1, 2]]

[[1, 1/2], [1/2, 1]]

[[2/3, 1/3], [1/3, 2/3]]

Không tồn tại ma trận nghịch đảo

Câu hỏi yêu cầu tính ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông cấp 2, đòi hỏi áp dụng công thức hoặc phương pháp tìm ma trận nghịch đảo.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 7: Cho hệ phương trình tuyến tính: x + y = 3; 2x - y = 0. Sử dụng quy tắc Cramer để tìm giá trị của x.

x = 1

x = 2

x = 3

x = 1

Câu hỏi yêu cầu áp dụng quy tắc Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính 2 ẩn, đòi hỏi tính định thức của các ma trận liên quan.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 8: Cho ma trận A = [[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]]. Các giá trị riêng của ma trận A là:

2, 4, 6

1, 4, 6

1, 2, 3

3, 5, 6

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về giá trị riêng của ma trận, đặc biệt là ma trận tam giác (trên hoặc dưới). Giá trị riêng của ma trận tam giác là các phần tử trên đường chéo chính.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 9: Cho không gian vectơ R^3 với tích vô hướng Euclid. Tìm hình chiếu trực giao của vectơ u = (1, 2, 3) lên không gian con W = span{(1, 0, 0), (0, 1, 0)}.

(0, 0, 3)

(1, 2, 0,)

(1, 2, 0)

(0, 0, 0)

Câu hỏi liên quan đến hình chiếu trực giao của vectơ lên không gian con, đòi hỏi hiểu biết về tích vô hướng và không gian sinh bởi một tập hợp vectơ.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 10: Cho ma trận A cấp 3x3 có các giá trị riêng là λ1 = 1, λ2 = -1, λ3 = 2. Định thức của ma trận A là:

-2

Không xác định

Câu hỏi kiểm tra mối quan hệ giữa định thức của ma trận và các giá trị riêng của nó. Định thức của ma trận bằng tích các giá trị riêng.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 11: Cho ma trận A = [[1, 2], [2, 4]]. Tìm hạng (rank) của ma trận A.

Không xác định

Câu hỏi yêu cầu xác định hạng của ma trận, có thể sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng hoặc cột để đưa ma trận về dạng bậc thang.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 12: Trong không gian vectơ R^4, cho tập hợp vectơ S = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}. Hệ vectơ S là:

Độc lập tuyến tính và sinh ra R^4

Độc lập tuyến tính nhưng không sinh ra R^4

Phụ thuộc tuyến tính

Không thể xác định

Câu hỏi kiểm tra tính độc lập tuyến tính của một hệ vectơ. Cần kiểm tra xem có tồn tại tổ hợp tuyến tính không tầm thường của các vectơ trong S bằng vectơ không hay không.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 13: Cho hệ phương trình tuyến tính AX = b. Điều kiện cần và đủ để hệ có nghiệm là:

rank(A) < rank([A|b])

rank(A) > rank([A|b])

det(A) ≠ 0

rank(A) = rank([A|b])

Câu hỏi liên quan đến định lý Kronecker-Capelli, điều kiện về hạng của ma trận hệ số và ma trận bổ sung để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 14: Cho không gian vectơ V có chiều là n. Số chiều của không gian con của V lớn nhất có thể là:

n + 1

n - 1

Câu hỏi kiểm tra khái niệm về chiều của không gian vectơ và không gian con. Số chiều của không gian con không thể vượt quá số chiều của không gian chứa nó.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 15: Cho ma trận vuông A khả nghịch. Ma trận nghịch đảo của ma trận chuyển vị A^T là:

(A^T)^T

(A^(-1))^T

A^(-1)

Câu hỏi kiểm tra tính chất của phép chuyển vị và phép nghịch đảo ma trận, đặc biệt là (A^T)^(-1) = (A^(-1))^T.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 16: Cho số phức z = 1 + i√3. Dạng lượng giác của z là:

2(cos(π/6) + isin(π/6))

2(cos(π/4) + isin(π/4))

2(cos(π/3) + isin(π/3))

√2(cos(π/3) + isin(π/3))

Câu hỏi liên quan đến biểu diễn số phức ở dạng lượng giác, đòi hỏi tính mô-đun và argument của số phức.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 17: Tìm tất cả các nghiệm phức của phương trình z^2 + 2z + 5 = 0.

-1 ± 2

1 ± 2i

-1 ± √6i

-1 ± 2i

Câu hỏi yêu cầu giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong tập số phức, sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 18: Cho số phức z = (1 + i) / (1 - i). Số phức z bằng:

1 + i

-i

1 - i

Câu hỏi yêu cầu thực hiện phép chia số phức, cần nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 19: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z - i| = 2 là:

Đường tròn tâm (0, 1), bán kính 2

Đường thẳng y = 1

Đường tròn tâm (1, 0), bán kính 2

Đường thẳng x = 1

Câu hỏi liên quan đến biểu diễn hình học của số phức, và nhận dạng tập hợp điểm thỏa mãn một điều kiện cho trước về mô-đun.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 20: Cho phép biến đổi tuyến tính T: R^2 -> R^2 có ma trận biểu diễn A = [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]. Phép biến đổi T là phép:

Phép chiếu

Phép phản xạ

Phép quay

Phép co giãn

Câu hỏi liên quan đến nhận dạng phép biến đổi tuyến tính dựa trên ma trận biểu diễn của nó, cụ thể là ma trận xoay.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 21: Cho không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 là một không gian con có chiều bằng 2. Nếu ma trận A có kích thước 4x6, thì hạng của ma trận A là:

Câu hỏi kiểm tra định lý về số chiều của không gian nghiệm và hạng của ma trận, cụ thể là dim(N(A)) + rank(A) = n (số cột của A).

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 22: Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu A^2 = A, thì giá trị riêng của A chỉ có thể là:

1 và -1

0 và 1

0 và -1

Bất kỳ giá trị nào

Câu hỏi liên quan đến tính chất của giá trị riêng và ma trận lũy đẳng (idempotent matrix). Nếu λ là giá trị riêng của A, thì λ^2 là giá trị riêng của A^2. Từ A^2 = A suy ra λ^2 = λ.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 23: Cho ma trận A vuông cấp 3 có định thức det(A) = 2. Tính định thức của ma trận 2A^(-1).

Câu hỏi yêu cầu áp dụng các tính chất của định thức, bao gồm det(kA) = k^n det(A) và det(A^(-1)) = 1/det(A).

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 24: Cho không gian vectơ R^3 và cơ sở B = {v1, v2, v3}. Nếu [u]_B = [1, -2, 1]^T, điều này có nghĩa là:

u = v1 - 2v2 + v3 thuộc cơ sở B

u = v1 + v2 + v3

u = [1, -2, 1]^T

u = v1 - 2v2 + v3

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết về tọa độ của vectơ đối với một cơ sở. Tọa độ [u]_B = [c1, c2, c3]^T có nghĩa là u = c1*v1 + c2*v2 + c3*v3.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 25: Cho ma trận A = [[1, -1], [2, -2]]. Tìm không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0.

span{(1, 1)}

span{(1, -1)}

span{(-1, 1)}

{(0, 0)}

Câu hỏi yêu cầu tìm không gian nghiệm (kernel) của ma trận A, tức là tập hợp tất cả các vectơ X sao cho AX = 0. Cần giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 26: Cho ma trận đối xứng A. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?

Tất cả các giá trị riêng của A đều là số phức.

Tất cả các giá trị riêng của A đều là số thực.

A không khả nghịch.

det(A) > 0.

Câu hỏi kiểm tra tính chất của ma trận đối xứng, đặc biệt liên quan đến giá trị riêng và vectơ riêng.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 27: Cho hai không gian con U và W của không gian vectơ V. Biết dim(U) = 3, dim(W) = 4, và dim(V) = 5. Số chiều lớn nhất có thể của giao không gian U ∩ W là:

Câu hỏi liên quan đến công thức về số chiều của tổng và giao của hai không gian con: dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U ∩ W). Và dim(U ∩ W) ≤ min(dim(U), dim(W)).

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 28: Cho tích vô hướng trên không gian vectơ V. Khi nào thì ||u + v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2?

Khi u = v

Khi u và v cùng phương

Luôn đúng với mọi u, v

Khi u và v trực giao

Câu hỏi kiểm tra định lý Pythagoras trong không gian vectơ với tích vô hướng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u và v trực giao.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 29: Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu 0 không phải là giá trị riêng của A, thì ma trận A:

Khả nghịch

Không khả nghịch

Luôn là ma trận đường chéo

Luôn là ma trận đơn vị

Câu hỏi liên quan đến mối quan hệ giữa giá trị riêng bằng 0 và tính khả nghịch của ma trận. Ma trận khả nghịch khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng khác 0.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 05

Câu 30: Ứng dụng của Đại số tuyến tính trong lĩnh vực Khoa học máy tính là:

Giải các bài toán hình học phẳng

Phân tích dữ liệu kinh tế vĩ mô

Xử lý ảnh và học máy

Dự báo thời tiết

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi mở rộng về ứng dụng của Đại số tuyến tính, đặc biệt trong Khoa học máy tính, nơi nó được sử dụng rộng rãi trong đồ họa máy tính, học máy, xử lý ảnh, v.v.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 06

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

-5

-35

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính toán định thức của ma trận được tạo ra từ các phép toán ma trận cơ bản (chuyển vị, nhân vô hướng, trừ ma trận đơn vị). Cần tính $A^T$, sau đó $2A^T - 3I$, và cuối cùng tính định thức của ma trận kết quả.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 2: Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $AX = 0$, với $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Hệ luôn vô nghiệm.

Hệ luôn có ít nhất một nghiệm tầm thường.

Nếu det(A) ≠ 0, hệ có vô số nghiệm.

Nếu det(A) = 0, hệ có nghiệm duy nhất.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và mối liên hệ giữa định thức của ma trận hệ số và số nghiệm của hệ. Nếu det(A) khác 0, hệ có nghiệm duy nhất (nghiệm tầm thường). Nếu det(A) = 0, hệ có vô số nghiệm.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 3: Cho $V$ là không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ $S = {u_1, u_2, u_3}$ trong $mathbb{R}^4$, với $u_1 = (1, 2, -1, 0)$, $u_2 = (2, 4, -2, 0)$, $u_3 = (0, 1, 3, 1)$. Tìm số chiều của không gian vectơ $V$.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng xác định số chiều của không gian vectơ con sinh bởi một hệ vectơ. Cần kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ sinh và tìm ra số vectơ độc lập tuyến tính tối đa trong hệ, đó chính là số chiều của V. Nhận thấy $u_2 = 2u_1$, nên $u_1, u_2$ phụ thuộc tuyến tính. Kiểm tra $u_1, u_3$ độc lập tuyến tính.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính $f: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^2$ xác định bởi $f(x, y, z) = (x + y, y - z)$. Tìm ma trận biểu diễn của $f$ đối với cơ sở chính tắc của $mathbb{R}^3$ và $mathbb{R}^2$.

$begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 0 1 & 1 0 & -1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 1 1 & 0 0 & -1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 1 & 1 & -1 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn. Cần tìm ảnh của các vectơ cơ sở chính tắc của $mathbb{R}^3$ qua $f$, sau đó biểu diễn chúng thành tọa độ đối với cơ sở chính tắc của $mathbb{R}^2$ để xây dựng ma trận biểu diễn.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 5: Giá trị nào của $m$ để vectơ $v = (m, 2, 1)$ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ $u_1 = (1, 1, 0)$ và $u_2 = (0, 1, 1)$ trong $mathbb{R}^3$?

-1

Câu hỏi kiểm tra khái niệm tổ hợp tuyến tính. $v$ là tổ hợp tuyến tính của $u_1, u_2$ nếu tồn tại các hệ số $c_1, c_2$ sao cho $v = c_1u_1 + c_2u_2$. Lập hệ phương trình và giải để tìm $m$.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 6: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 3 & 1 1 & 3 end{pmatrix}$. Tìm một vectơ riêng của ma trận $A$ ứng với giá trị riêng $lambda = 2$.

$(1, 1)$

$(1, -1)$

$(2, -1)$

$(1, 2)$

Câu hỏi kiểm tra khái niệm giá trị riêng và vectơ riêng. Vectơ riêng $v$ ứng với giá trị riêng $lambda$ thỏa mãn $(A - lambda I)v = 0$. Thay $lambda = 2$ và giải hệ phương trình để tìm $v$.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 7: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^3$ với tích vô hướng Euclid. Tìm hình chiếu trực giao của vectơ $u = (1, 2, 3)$ lên không gian con $W$ sinh bởi vectơ $v = (1, 1, 0)$.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về hình chiếu trực giao. Hình chiếu của $u$ lên không gian sinh bởi $v$ được tính bằng công thức $proj_W u = frac{langle u, v rangle}{langle v, v rangle} v$.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 8: Sử dụng phép khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính: $begin{cases} x + 2y - z = 1 2x + y + z = 8 x - y + 2z = 7 end{cases}$. Tìm nghiệm $x$.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng giải hệ phương trình tuyến tính bằng phép khử Gauss. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang rút gọn, sau đó giải ngược để tìm nghiệm.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 9: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & 2 2 & 4 end{pmatrix}$. Tìm hạng của ma trận $A$.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm hạng của ma trận. Hạng của ma trận là số lượng dòng (hoặc cột) độc lập tuyến tính tối đa. Có thể sử dụng phép khử Gauss để đưa ma trận về dạng bậc thang và đếm số dòng khác không.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 10: Cho $U, W$ là hai không gian con của không gian vectơ $V$. Phát biểu nào sau đây về $U cup W$ là đúng?

$U cup W$ luôn là không gian con của $V$.

$U cup W$ là không gian con của $V$ khi và chỉ khi $U cap W = {0}$.

$U cup W$ là không gian con của $V$ khi và chỉ khi $U = W$.

$U cup W$ là không gian con của $V$ khi và chỉ khi $U subseteq W$ hoặc $W subseteq U$.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về không gian con và phép hợp của không gian con. Hợp của hai không gian con không nhất thiết là một không gian con. Nó chỉ là không gian con khi một không gian con chứa trong không gian con còn lại.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 11: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Nếu $A$ khả nghịch, phát biểu nào sau đây là sai?

Câu hỏi kiểm tra các tính chất của ma trận khả nghịch. Ma trận khả nghịch có định thức khác 0, có nghiệm duy nhất cho hệ $Ax=b$, và có ma trận nghịch đảo.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 12: Cho biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ là phép quay quanh gốc tọa độ một góc $90^circ$ ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc.

$begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} -1 & 0 0 & -1 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về biến đổi tuyến tính hình học và ma trận biểu diễn của phép quay. Áp dụng phép quay $90^circ$ lên các vectơ cơ sở chính tắc $(1, 0)$ và $(0, 1)$ để tìm ma trận biểu diễn.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 13: Cho không gian vectơ $P_2[x]$ các đa thức bậc không quá 2. Xét tập hợp $B = {1, 1+x, 1+x+x^2}$. Chứng minh $B$ là một cơ sở của $P_2[x]$.

Đúng, vì $B$ là hệ sinh và độc lập tuyến tính.

Sai, vì $B$ không phải là hệ sinh.

Sai, vì $B$ không độc lập tuyến tính.

Sai, vì số lượng vectơ trong $B$ không bằng số chiều của $P_2[x]$.

Câu hỏi yêu cầu nhận biết một tập hợp các đa thức có phải là cơ sở của không gian vectơ đa thức bậc 2 hay không. Cần chứng minh $B$ độc lập tuyến tính và sinh ra $P_2[x]$. Vì $dim(P_2[x]) = 3$ và $B$ có 3 vectơ, chỉ cần kiểm tra tính độc lập tuyến tính.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 14: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & 2 3 & k end{pmatrix}$. Tìm giá trị của $k$ để ma trận $A$ không khả nghịch.

-6

Câu hỏi kiểm tra điều kiện để ma trận không khả nghịch. Ma trận không khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó bằng 0. Tính det(A) và giải phương trình det(A) = 0 để tìm $k$.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 15: Trong không gian vectơ $mathbb{R}^3$, xét tích vô hướng chính tắc. Tìm một vectơ trực giao với cả hai vectơ $u = (1, 0, 1)$ và $v = (0, 1, 1)$.

$(1, 1, 1)$

$(1, -1, -1)$

$(1, 1, -1)$

$(0, 0, 0)$

Câu hỏi kiểm tra khái niệm vectơ trực giao. Vectơ trực giao với cả $u$ và $v$ có thể tìm được bằng tích có hướng của $u$ và $v$, hoặc giải hệ phương trình $langle w, u rangle = 0$ và $langle w, v rangle = 0$.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 16: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}$. Tính $A^2 - 4A + 3I$, với $I$ là ma trận đơn vị cấp 2.

$begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 0 & 0 0 & 0 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} -1 & 0 0 & -1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính toán biểu thức ma trận. Tính $A^2$, sau đó $4A$, $3I$, và cuối cùng thực hiện phép cộng và trừ ma trận.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 17: Cho hệ phương trình tuyến tính $begin{cases} x + y = 3 2x + 2y = k end{cases}$. Tìm giá trị của $k$ để hệ phương trình có vô số nghiệm.

Câu hỏi kiểm tra điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm. Hệ có vô số nghiệm khi các phương trình phụ thuộc tuyến tính và hệ tương thích. Phương trình thứ hai là bội số của phương trình thứ nhất khi $k = 2 imes 3 = 6$.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 18: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & -1 2 & 3 end{pmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo $A^{-1}$.

$frac{1}{5}begin{pmatrix} 3 & 1 -2 & 1 end{pmatrix}$

$frac{1}{5}begin{pmatrix} 1 & -1 2 & 3 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 3 & 1 -2 & 1 end{pmatrix}$

Không tồn tại ma trận nghịch đảo

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 2. Sử dụng công thức hoặc phương pháp ma trận phụ hợp để tìm $A^{-1}$.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 19: Cho không gian vectơ $V$ có chiều là $n$. Số chiều của không gian vectơ con của $V$ lớn nhất có thể là bao nhiêu?

n+1

n-1

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về số chiều của không gian vectơ con. Không gian vectơ con lớn nhất của $V$ chính là $V$ itself. Số chiều của không gian con không thể vượt quá số chiều của không gian chứa nó.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 20: Cho ánh xạ tuyến tính $f: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^3$ có ma trận biểu diễn đối với cơ sở chính tắc là $A$. Phát biểu nào sau đây là đúng về hạt nhân Ker(f) và ảnh Im(f)?

ext{Ker}(f) cap

ext{Im}(f) = {0}$ luôn đúng."

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính. Theo định lý hạng - chiều, $dim( ext{Ker}(f)) + dim( ext{Im}(f)) = dim(mathbb{R}^3) = 3$.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 21: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end{pmatrix}$. Tính các giá trị riêng của ma trận $A$.

1, 2, 3

0, 2, 3

1, 0, 3

1, 2, 0

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm giá trị riêng của ma trận đường chéo. Giá trị riêng của ma trận đường chéo là các phần tử trên đường chéo chính.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 22: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^2$ với cơ sở $B = {u_1 = (1, 1), u_2 = (1, -1)}$. Tìm tọa độ của vectơ $v = (3, 1)$ đối với cơ sở $B$.

$(2, 1)$

$(2, -1)$

$(1, 2)$

$(-1, 2)$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm tọa độ của vectơ đối với một cơ sở không chính tắc. Tìm các hệ số $c_1, c_2$ sao cho $v = c_1u_1 + c_2u_2$.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 23: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Nếu $lambda$ là một giá trị riêng của $A$, phát biểu nào sau đây là đúng?

$det(A) = lambda$.

Ma trận $A - lambda I$ khả nghịch.

Tồn tại vectơ khác không $v$ sao cho $Av = lambda v$.

Ma trận $A$ luôn khả nghịch.

Câu hỏi kiểm tra định nghĩa và tính chất của giá trị riêng. Giá trị riêng $lambda$ của $A$ thỏa mãn phương trình đặc trưng $det(A - lambda I) = 0$.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 24: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & 2 0 & 1 end{pmatrix}$. Tính $A^n$ với $n$ là số nguyên dương.

$begin{pmatrix} 1 & 2n 0 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & n 0 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} n & 2 0 & n end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 2n 0 & 1 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính lũy thừa của ma trận. Có thể tính vài lũy thừa đầu tiên của $A$ để tìm ra quy luật, hoặc sử dụng dạng Jordan nếu cần.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 25: Cho không gian vectơ $V = mathbb{R}^3$. Xét tập hợp $W = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid x + y + z = 0}$. Chứng minh $W$ là một không gian con của $V$.

Đúng, vì $W$ thỏa mãn các tiên đề không gian con.

Sai, vì $W$ không đóng với phép cộng vectơ.

Sai, vì $W$ không chứa vectơ không.

Sai, vì $W$ không đóng với phép nhân vô hướng.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng chứng minh một tập hợp là không gian con. Cần kiểm tra ba điều kiện: chứa vectơ không, đóng với phép cộng vectơ, đóng với phép nhân vô hướng.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 26: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 2 & -1 -1 & 2 end{pmatrix}$. Tìm ma trận trực giao $P$ và ma trận đường chéo $D$ sao cho $A = PDP^{-1}$.

$P = begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 end{pmatrix}$, $D = begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 3 end{pmatrix}$

$P = frac{1}{sqrt{2}}begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 end{pmatrix}$, $D = begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 3 end{pmatrix}$

$P = frac{1}{sqrt{2}}begin{pmatrix} 1 & -1 1 & 1 end{pmatrix}$, $D = begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 3 end{pmatrix}$

$P = frac{1}{sqrt{2}}begin{pmatrix} 1 & 1 -1 & 1 end{pmatrix}$, $D = begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 3 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về chéo hóa trực giao ma trận đối xứng. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng trực chuẩn của $A$ để xây dựng $P$ và $D$.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 27: Cho hệ phương trình tuyến tính $AX = b$. Điều kiện nào sau đây để hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

rank(A) < rank([A|b])

rank(A) < số ẩn

rank(A) = rank([A|b]) = số ẩn

rank(A) > số ẩn

Câu hỏi kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm duy nhất cho hệ phương trình tuyến tính. Với ma trận vuông $A$, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $det(A)
eq 0$ hoặc hạng của $A$ bằng cấp của $A$.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 28: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^3$ với tích vô hướng chính tắc. Áp dụng quá trình Gram-Schmidt cho hệ vectơ ${(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}$ để tìm một cơ sở trực giao.

${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$

${(1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}$

${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1)}$

${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng áp dụng thuật toán Gram-Schmidt để trực giao hóa một cơ sở. Thực hiện các bước của thuật toán Gram-Schmidt để tìm cơ sở trực giao.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 29: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây về đa thức đặc trưng $p(lambda) = det(A - lambda I)$ là đúng?

Bậc của đa thức đặc trưng luôn nhỏ hơn $n$.

Bậc của đa thức đặc trưng luôn bằng $n$.

Các hệ số của đa thức đặc trưng luôn là số nguyên.

Đa thức đặc trưng luôn có nghiệm thực.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về đa thức đặc trưng. Bậc của đa thức đặc trưng của ma trận cấp $n$ là $n$. Nghiệm của đa thức đặc trưng là các giá trị riêng của ma trận.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 06

Câu 30: Trong mô hình Input-Output mở, cho ma trận hệ số kỹ thuật $A = begin{pmatrix} 0.2 & 0.3 0.4 & 0.1 end{pmatrix}$ và vectơ cầu cuối $d = begin{pmatrix} 10 5 end{pmatrix}$. Tìm vectơ sản lượng $x$ sao cho đáp ứng được cầu cuối.

$begin{pmatrix} 20 15 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 25 20 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 26 14 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 15 20 end{pmatrix}$

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng của đại số tuyến tính trong mô hình Input-Output. Sử dụng công thức $(I - A)x = d$ để tìm vectơ sản lượng $x$. Tính $(I - A)^{-1}$ và sau đó $x = (I - A)^{-1}d$.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 07

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 1: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 2 & -1 1 & 3 end{pmatrix}$. Ma trận nào sau đây là ma trận nghịch đảo của A?

$begin{pmatrix} 3/7 & 1/7 -1/7 & 2/7 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 3 & 1 -1 & 2 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 2/7 & -1/7 1/7 & 3/7 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} -2/7 & 1/7 -1/7 & -3/7 end{pmatrix}

Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A = begin{pmatrix} a & b c & d end{pmatrix}$, ta sử dụng công thức $A^{-1} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d & -b -c & a end{pmatrix}$. Trong trường hợp này, $ad-bc = (2)(3) - (-1)(1) = 7$. Vậy $A^{-1} = frac{1}{7} begin{pmatrix} 3 & 1 -1 & 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 3/7 & 1/7 -1/7 & 2/7 end{pmatrix}$.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 2: Định thức của ma trận $B = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -1 & 4 2 & 1 & 0 end{pmatrix}$ là bao nhiêu?

-18

Để tính định thức của ma trận 3x3, ta có thể sử dụng khai triển theo dòng hoặc cột. Khai triển theo dòng đầu tiên: det(B) = $1 cdot begin{vmatrix} -1 & 4 1 & 0 end{vmatrix} - 2 cdot begin{vmatrix} 0 & 4 2 & 0 end{vmatrix} + 3 cdot begin{vmatrix} 0 & -1 2 & 1 end{vmatrix} = 1 cdot ((-1)(0) - (4)(1)) - 2 cdot ((0)(0) - (4)(2)) + 3 cdot ((0)(1) - (-1)(2)) = 1 cdot (-4) - 2 cdot (-8) + 3 cdot (2) = -4 + 16 + 6 = 18$.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 3: Cho hệ phương trình tuyến tính $begin{cases} x + 2y = 5 2x - y = 3 end{cases}$. Giá trị của $x$ và $y$ là:

$x = 1, y = 2$

$x = 2, y = 1$

$x = frac{11}{5}, y = frac{7}{5}$

$x = frac{7}{5}, y = frac{11}{5}$

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Nhân phương trình thứ hai với 2 ta được $4x - 2y = 6$. Cộng phương trình này với phương trình thứ nhất: $(x + 2y) + (4x - 2y) = 5 + 6 Rightarrow 5x = 11 Rightarrow x = frac{11}{5}$. Thay $x = frac{11}{5}$ vào phương trình đầu: $frac{11}{5} + 2y = 5 Rightarrow 2y = 5 - frac{11}{5} = frac{14}{5} Rightarrow y = frac{7}{5}$.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 4: Không gian vectơ con nào sau đây của $mathbb{R}^3$ có số chiều lớn nhất?

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ trong $mathbb{R}^3$

Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ trong $mathbb{R}^3$

Không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 2 ẩn trong $mathbb{R}^3$

Toàn bộ không gian $mathbb{R}^3$

Số chiều của một không gian vectơ con là số lượng vectơ độc lập tuyến tính tối đa trong không gian con đó. $mathbb{R}^3$ có số chiều là 3. Các không gian con của $mathbb{R}^3$ có thể có số chiều 0 (không gian ${mathbf{0}}$), 1 (đường thẳng qua gốc), 2 (mặt phẳng qua gốc), hoặc 3 (toàn bộ $mathbb{R}^3$). Các đáp án đều mô tả không gian con của $mathbb{R}^3$ nhưng chỉ có $mathbb{R}^3$ là có số chiều lớn nhất là 3.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 5: Cho biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ được xác định bởi $T(x, y) = (2x + y, x - y)$. Ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc là:

$begin{pmatrix} 2 & 1 1 & -1 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 2 & -1 1 & 1 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 1 & 2 -1 & 1 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 1 & 1 2 & -1 end{pmatrix}

Để tìm ma trận biểu diễn của biến đổi tuyến tính $T$ đối với cơ sở chính tắc $E = { (1, 0), (0, 1) }$, ta tính $T(1, 0) = (2(1) + 0, 1 - 0) = (2, 1)$ và $T(0, 1) = (2(0) + 1, 0 - 1) = (1, -1)$. Các vectơ ảnh này được viết thành cột của ma trận biểu diễn.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 6: Giá trị riêng của ma trận $C = begin{pmatrix} 3 & 0 2 & 1 end{pmatrix}$ là:

$lambda = 2, 2$

$lambda = 3, 1$

$lambda = 3, 2$

$lambda = 1, 0$

Giá trị riêng $lambda$ của ma trận $C$ là nghiệm của phương trình đặc trưng det$(C - lambda I) = 0$. Ta có $C - lambda I = begin{pmatrix} 3-lambda & 0 2 & 1-lambda end{pmatrix}$. Định thức là $(3-lambda)(1-lambda) - (0)(2) = (3-lambda)(1-lambda)$. Giải phương trình $(3-lambda)(1-lambda) = 0$ ta được $lambda_1 = 3$ và $lambda_2 = 1$.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 7: Cho vectơ $v = (1, 2, -1)$ và $u = (0, 1, 3)$. Tích vô hướng của $v$ và $u$ là:

-1

Tích vô hướng của hai vectơ $v = (v_1, v_2, v_3)$ và $u = (u_1, u_2, u_3)$ là $v cdot u = v_1u_1 + v_2u_2 + v_3u_3$. Trong trường hợp này, $v cdot u = (1)(0) + (2)(1) + (-1)(3) = 0 + 2 - 3 = -1$.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 8: Tìm hạng của ma trận $D = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 6 3 & 6 & 9 end{pmatrix}$.

Hạng của ma trận là số lượng dòng (hoặc cột) độc lập tuyến tính. Nhận thấy dòng 2 gấp đôi dòng 1 và dòng 3 gấp ba dòng 1. Do đó, chỉ có một dòng độc lập tuyến tính.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 9: Cho không gian vectơ $V = mathbb{R}^3$. Tập hợp nào sau đây là cơ sở của $V$?

${(1, 0, 0), (0, 1, 0)}$

${(1, 1, 1), (2, 2, 2)}$

${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)}$

${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$

Một cơ sở của $mathbb{R}^3$ phải là một tập hợp gồm 3 vectơ độc lập tuyến tính trong $mathbb{R}^3$. Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các tập hợp trong các đáp án. Đáp án 1 và 2 có ít hơn 3 vectơ. Đáp án 3 có 3 vectơ nhưng không độc lập tuyến tính (vectơ thứ ba là tổng của hai vectơ đầu). Đáp án 4 có 3 vectơ độc lập tuyến tính.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 10: Cho ma trận $E = begin{pmatrix} 1 & -1 -1 & 1 end{pmatrix}$. Không gian nghiệm của hệ phương trình $Ex = mathbf{0}$ có số chiều là:

Không xác định

Số chiều của không gian nghiệm (nullity) của ma trận $E$ được tính bằng $n - ext{rank}(E)$, với $n$ là số cột của $E$. Ma trận $E = begin{pmatrix} 1 & -1 -1 & 1 end{pmatrix}$ có hạng là 1 (dòng 2 là bội của dòng 1). Số cột là 2. Vậy nullity = $2 - 1 = 1$.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 11: Trong mô hình Input-Output Leontief, ma trận hệ số kỹ thuật $A$ và vectơ cầu cuối $d$ cho trước. Vectơ sản lượng $x$ được tính bởi công thức nào?

$x = Ad$

$x = (I - A)^{-1}d$

$x = (I + A)d$

$x = A^{-1}d$

Trong mô hình Input-Output Leontief, mối quan hệ giữa vectơ sản lượng $x$, ma trận hệ số kỹ thuật $A$ và vectơ cầu cuối $d$ là $x = Ax + d$. Để tìm $x$, ta biến đổi thành $(I - A)x = d$, và nếu $(I - A)$ khả nghịch, thì $x = (I - A)^{-1}d$.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 12: Cho ma trận vuông $F$. Phát biểu nào sau đây là đúng nếu det$(F) = 0$?

Ma trận $F$ khả nghịch.

Hệ phương trình $Fx = b$ có nghiệm duy nhất với mọi $b$.

Hệ phương trình $Fx = mathbf{0}$ có nghiệm không tầm thường.

Tất cả các giá trị riêng của $F$ đều khác 0.

Nếu định thức của ma trận vuông bằng 0, ma trận đó là suy biến (không khả nghịch). Điều này có nghĩa là các cột (hoặc dòng) của ma trận phụ thuộc tuyến tính, và hệ phương trình tuyến tính $Fx = mathbf{0}$ có nghiệm không tầm thường.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 13: Cho $U, V$ là các không gian vectơ con của $W$. Phát biểu nào sau đây *không* đúng?

$U cap V$ là không gian vectơ con của $W$.

$U + V = {u + v mid u in U, v in V}$ là không gian vectơ con của $W$.

"Nếu $U subseteq V$, thì $

ext{dim}(U) leq

Giao của hai không gian vectơ con luôn là một không gian vectơ con. Tổng của hai không gian vectơ con cũng là một không gian vectơ con. Tuy nhiên, hợp của hai không gian vectơ con không nhất thiết là một không gian vectơ con (chỉ khi một không gian con chứa không gian con kia).

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 14: Cho $G = begin{pmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{pmatrix}$. Tìm dạng bậc thang rút gọn của $G$.

$begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 1 & 2 0 & 1 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 1 & 2 0 & -2 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end{pmatrix}

Để đưa ma trận về dạng bậc thang rút gọn, ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. $G = begin{pmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{pmatrix} xrightarrow{R_2 leftarrow R_2 - 3R_1} begin{pmatrix} 1 & 2 0 & -2 end{pmatrix} xrightarrow{R_2 leftarrow -frac{1}{2}R_2} begin{pmatrix} 1 & 2 0 & 1 end{pmatrix} xrightarrow{R_1 leftarrow R_1 - 2R_2} begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix}$.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 15: Cho biến đổi tuyến tính $S: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^2$ có ma trận biểu diễn $M = begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 1 end{pmatrix}$ đối với cơ sở chính tắc. Tính $S(1, -1, 2)$.

$(3, -3)$

$(-1, 1)$

$(1, -1)$

$(0, 0)$

Để tính $S(1, -1, 2)$, ta nhân ma trận biểu diễn $M$ với vectơ cột biểu diễn $(1, -1, 2)^T$: $begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 -1 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1(1) + 2(-1) + 0(2) -1(1) + 0(-1) + 1(2) end{pmatrix} = begin{pmatrix} -1 1 end{pmatrix}$. Vậy $S(1, -1, 2) = (-1, 1)$.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 16: Cho không gian vectơ $P_2[x]$ các đa thức bậc không quá 2. Tập hợp nào sau đây là độc lập tuyến tính?

{1 + x, 2 + 2x}

{1, x, 1 + x}

{1, x, x^2}

{1, x, x^2, x^3}

Không gian $P_2[x]$ có cơ sở ${1, x, x^2}$, số chiều là 3. Để một tập hợp trong $P_2[x]$ độc lập tuyến tính, số lượng đa thức trong tập hợp không được vượt quá 3 và chúng phải độc lập tuyến tính. Kiểm tra từng đáp án.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 17: Cho $H = begin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}$. Tìm tổng các giá trị riêng của $H$.

Tổng các giá trị riêng của ma trận bằng vết (trace) của ma trận đó. Vết của ma trận $H$ là tổng các phần tử trên đường chéo chính: tr$(H) = 2 + 2 = 4$.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 18: Cho hệ phương trình tuyến tính $Ix = b$, với $I$ là ma trận đơn vị cấp $n$. Hệ này có bao nhiêu nghiệm?

Hệ phương trình $Ix = b$ tương đương với $x = b$. Với mỗi vectơ $b$ cho trước, hệ có duy nhất một nghiệm là $x = b$.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 19: Cho ánh xạ $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}$ xác định bởi $f(x, y) = x^2 + y$. Ánh xạ này có phải là tuyến tính không?

Không tuyến tính

Tuyến tính

Vừa tuyến tính vừa không tuyến tính

Không đủ thông tin để kết luận

Một ánh xạ tuyến tính phải thỏa mãn hai tính chất: tính cộng tính và tính thuần nhất. Kiểm tra tính cộng tính: $f((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) = f(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2) = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1 + y_2$. $f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2) = (x_1^2 + y_1) + (x_2^2 + y_2) = x_1^2 + x_2^2 + y_1 + y_2$. Vì $f((x_1, y_1) + (x_2, y_2))
eq f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2)$ (trừ khi $x_1x_2 = 0$), ánh xạ $f$ không tuyến tính.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 20: Cho $J = begin{pmatrix} 0 & 1 -1 & 0 end{pmatrix}$. Tính $J^2$.

$begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} -1 & 0 0 & -1 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end{pmatrix}

$J^2 = J cdot J = begin{pmatrix} 0 & 1 -1 & 0 end{pmatrix} begin{pmatrix} 0 & 1 -1 & 0 end{pmatrix} = begin{pmatrix} (0)(0) + (1)(-1) & (0)(1) + (1)(0) (-1)(0) + (0)(-1) & (-1)(1) + (0)(0) end{pmatrix} = begin{pmatrix} -1 & 0 0 & -1 end{pmatrix} = -I$, với $I$ là ma trận đơn vị cấp 2.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 21: Cho $K = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & cos heta & -sin heta 0 & sin heta & cos heta end{pmatrix}$. Ma trận này biểu diễn phép biến đổi hình học nào trong $mathbb{R}^3$?

Phép chiếu lên mặt phẳng xy

Phép tỉ lệ theo trục z

Phép đối xứng qua mặt phẳng yz

"Phép quay quanh trục Ox một góc $

Ma trận dạng này, với khối $begin{pmatrix} cos heta & -sin heta sin heta & cos heta end{pmatrix}$ ở góc dưới bên phải và 1 ở vị trí (1,1), biểu diễn phép quay quanh trục Ox một góc $ heta$.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 22: Cho không gian con $W = ext{span}{(1, 2, 1), (2, 4, 2), (0, 0, 1)}$ của $mathbb{R}^3$. Tìm số chiều của $W$.

Không xác định

Số chiều của không gian sinh bởi một tập hợp vectơ là số lượng vectơ độc lập tuyến tính tối đa trong tập hợp đó. Nhận thấy vectơ thứ hai $(2, 4, 2) = 2(1, 2, 1)$, nên nó phụ thuộc tuyến tính vào vectơ thứ nhất. Hai vectơ $(1, 2, 1)$ và $(0, 0, 1)$ độc lập tuyến tính. Vậy cơ sở của $W$ có thể là ${(1, 2, 1), (0, 0, 1)}$, và số chiều của $W$ là 2.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 23: Cho ma trận $L$ vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây đúng về định thức?

"det$(2L) = 2

ext{det}(L)$"

"det$(L + M) =

ext{det}(L) +

Định thức có nhiều tính chất quan trọng. Trong số các lựa chọn, det$(L^T) = ext{det}(L)$ là một tính chất cơ bản của định thức. Các tính chất khác không đúng nói chung (ví dụ, det$(L+M)
eq ext{det}(L) + ext{det}(M)$).

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 24: Cho ma trận $M = begin{pmatrix} 1 & 2 0 & 1 end{pmatrix}$. Tính $M^n$ với $n$ là số nguyên dương.

$begin{pmatrix} 1 & 2n 0 & 1 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 1 & n^2 0 & 1 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} n & 2n 0 & n end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 1 & 2^n 0 & 1 end{pmatrix}

Tính lũy thừa của ma trận $M$. $M^2 = begin{pmatrix} 1 & 2 0 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 2 0 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 4 0 & 1 end{pmatrix}$. $M^3 = M^2 cdot M = begin{pmatrix} 1 & 4 0 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 2 0 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 6 0 & 1 end{pmatrix}$. Dựa vào quy luật, ta dự đoán $M^n = begin{pmatrix} 1 & 2n 0 & 1 end{pmatrix}$.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 25: Cho tích chéo của hai vectơ $a = (1, 0, -1)$ và $b = (0, 1, 1)$. Tính $a imes b$.

$(1, 1, 1)$

$(1, -1, 1)$

$(-1, 1, -1)$

$(0, 0, 0)$

Tích chéo $a imes b = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 end{vmatrix} = mathbf{i}(0 cdot 1 - (-1) cdot 1) - mathbf{j}(1 cdot 1 - (-1) cdot 0) + mathbf{k}(1 cdot 1 - 0 cdot 0) = mathbf{i}(1) - mathbf{j}(1) + mathbf{k}(1) = (1, -1, 1)$.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 26: Cho ma trận $N = begin{pmatrix} 2 & -1 -4 & 2 end{pmatrix}$. Ma trận này có khả nghịch không?

Khả nghịch

Khả nghịch khi và chỉ khi các phần tử khác 0

Không khả nghịch

Không đủ thông tin để kết luận

Ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. Tính det$(N) = (2)(2) - (-1)(-4) = 4 - 4 = 0$. Vì định thức bằng 0, ma trận $N$ không khả nghịch.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 27: Cho không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một đường thẳng trong $mathbb{R}^3$. Số chiều của không gian nghiệm là:

Một đường thẳng trong $mathbb{R}^3$ đi qua gốc tọa độ là một không gian vectơ con có số chiều 1. Vì không gian nghiệm là một đường thẳng, số chiều của nó là 1.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 28: Cho phép biến đổi sơ cấp trên dòng: nhân một dòng của ma trận với một hằng số khác 0. Phép biến đổi này ảnh hưởng đến định thức như thế nào?

Định thức không thay đổi.

Định thức được nhân với hằng số đó.

Định thức được chia cho hằng số đó.

Định thức trở thành 0.

Khi nhân một dòng của ma trận với một hằng số $c$ khác 0, định thức của ma trận mới sẽ bằng $c$ lần định thức của ma trận ban đầu.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 29: Cho $O = begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 end{pmatrix}$. Tính tổng các phần tử của ma trận nghịch đảo $O^{-1}$.

3/2

Tính ma trận nghịch đảo $O^{-1}$ và sau đó tính tổng các phần tử. Sử dụng phương pháp Gauss-Jordan hoặc công thức ma trận phụ hợp để tìm $O^{-1} = frac{1}{2} begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & -1/2 1/2 & -1/2 & 1/2 -1/2 & 1/2 & 1/2 end{pmatrix}$. Tổng các phần tử là $frac{1}{2} + frac{1}{2} - frac{1}{2} + frac{1}{2} - frac{1}{2} + frac{1}{2} - frac{1}{2} + frac{1}{2} + frac{1}{2} = frac{3}{2}$.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 07

Câu 30: Cho biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^n o mathbb{R}^m$. Phát biểu nào sau đây đúng về hạng và số chiều không?

"rank$(T) +

ext{nullity}(T) = m$"

"rank$(T) -

ext{nullity}(T) = n$"

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Định lý hạng-số chiều (Rank-Nullity Theorem) phát biểu rằng với một biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^n o mathbb{R}^m$, hạng của $T$ (dim(Im($T$))) cộng với số chiều không của $T$ (dim(Ker($T$))) bằng số chiều của không gian nguồn, tức là $n$.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 08

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 1: Cho ma trận (A = begin{pmatrix} 2 & -1 1 & 3 end{pmatrix}). Ma trận nào sau đây là ma trận chuyển vị của (A)?

(begin{pmatrix} 2 & 1 -1 & 3 end{pmatrix})

(begin{pmatrix} 2 & -1 -1 & 3 end{pmatrix})

(begin{pmatrix} 3 & -1 1 & 2 end{pmatrix})

(begin{pmatrix} 2 & 1 1 & 3 end{pmatrix})

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về phép chuyển vị ma trận. Ma trận chuyển vị (A^T) được tạo ra bằng cách đổi hàng thành cột (hoặc cột thành hàng) của ma trận (A).

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 2: Định thức của ma trận (B = begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 2 & -1 & 0 4 & 5 & 2 end{pmatrix}) bằng bao nhiêu?

-6

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính định thức của ma trận tam giác. Đối với ma trận tam giác (trên hoặc dưới), định thức là tích của các phần tử trên đường chéo chính.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 3: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (AX = 0). Phát biểu nào sau đây *luôn đúng*?

Hệ phương trình vô nghiệm.

Hệ phương trình luôn có ít nhất một nghiệm.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khác nghiệm không.

Số nghiệm của hệ phương trình bằng hạng của ma trận hệ số A.

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết về hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm tầm thường (nghiệm không), và có thể có vô số nghiệm nếu hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 4: Xét không gian vectơ (V = mathbb{R}^3). Tập hợp (W = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid x + y - 2z = 0}) có phải là không gian con của (V) không? Vì sao?

Có, vì (W) chứa vectơ không và đóng với phép cộng và phép nhân với số vô hướng.

Không, vì (W) không chứa vectơ không.

Có, vì (W) chỉ cần đóng với phép cộng vectơ.

Không, vì (W) không đóng với phép nhân với số vô hướng.

Câu hỏi kiểm tra khả năng xác định một tập hợp có phải là không gian con. Cần kiểm tra ba điều kiện: chứa vectơ không, đóng với phép cộng vectơ, và đóng với phép nhân với số vô hướng.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 5: Cho biến đổi tuyến tính (T: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2) được xác định bởi (T(x, y) = (2x + y, x - y)). Ma trận biểu diễn của (T) đối với cơ sở chính tắc của (mathbb{R}^2) là:

(begin{pmatrix} 1 & -1 2 & 1 end{pmatrix})

(begin{pmatrix} 2 & 1 1 & -1 end{pmatrix})

(begin{pmatrix} 2 & 1 -1 & 1 end{pmatrix})

(begin{pmatrix} 1 & 2 1 & -1 end{pmatrix})

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm ma trận biểu diễn của biến đổi tuyến tính. Cần áp dụng (T) lên các vectơ cơ sở chính tắc ((1, 0)) và ((0, 1)) và viết kết quả thành cột của ma trận.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 6: Vectơ nào sau đây là vectơ riêng của ma trận (C = begin{pmatrix} 4 & -2 1 & 1 end{pmatrix})?

(begin{pmatrix} 1 1 end{pmatrix})

(begin{pmatrix} 1 -1 end{pmatrix})

(begin{pmatrix} 2 1 end{pmatrix})

(begin{pmatrix} 2 -1 end{pmatrix})

Câu hỏi kiểm tra khả năng nhận diện vectơ riêng. Vectơ riêng (v) của ma trận (C) phải thỏa mãn (Cv = lambda v) với một số vô hướng (lambda) (giá trị riêng). Cần kiểm tra từng đáp án.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 7: Cho không gian vectơ (P_2[x]) (không gian các đa thức bậc không quá 2). Hệ vectơ ({1, x, x^2}) là:

Một cơ sở của (P_2[x]).

Một hệ sinh của (P_2[x]) nhưng không độc lập tuyến tính.

Một hệ độc lập tuyến tính nhưng không là hệ sinh của (P_2[x]).

Không phải là hệ sinh và cũng không độc lập tuyến tính.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về cơ sở của không gian vectơ đa thức. Hệ ({1, x, x^2}) là cơ sở chính tắc của (P_2[x]), vừa độc lập tuyến tính vừa sinh ra (P_2[x]).

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 8: Hạng của ma trận (D = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 6 3 & 6 & 9 end{pmatrix}) bằng bao nhiêu?

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính hạng của ma trận. Các hàng của ma trận (D) tỉ lệ với nhau, nên hạng của ma trận là số hàng độc lập tuyến tính, trong trường hợp này là 1.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 9: Cho tích vô hướng Euclid trên (mathbb{R}^2). Góc giữa hai vectơ (u = (1, 0)) và (v = (1, 1)) là:

(frac{pi}{2})

(frac{pi}{3})

(frac{pi}{4})

(pi)

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tích vô hướng và góc giữa hai vectơ. Sử dụng công thức (cos heta = frac{u cdot v}{|u| |v|}) để tính góc.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 10: Cho ma trận vuông (A) cấp (n). Điều kiện nào sau đây *không* tương đương với việc (A) khả nghịch?

Định thức của (A) khác 0.

Hệ phương trình (AX = 0) chỉ có nghiệm tầm thường.

Hạng của ma trận (A) bằng (n).

Tất cả các giá trị riêng của (A) đều bằng 0.

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết về các điều kiện tương đương của ma trận khả nghịch. Cần xác định điều kiện nào không thuộc nhóm các điều kiện tương đương (định thức khác 0, hạng bằng n, ...).

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 11: Trong mô hình Input-Output Leontief đóng, ma trận hệ số kỹ thuật (A) phải thỏa mãn điều kiện gì để mô hình có nghiệm kinh tế?

Các phần tử của (A) phải là số nguyên dương.

Ma trận (I - A) phải khả nghịch và ((I - A)^{-1} ge 0).

Định thức của (A) phải bằng 1.

Tổng các phần tử trên mỗi hàng của (A) phải nhỏ hơn 1.

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng của đại số tuyến tính trong kinh tế, cụ thể là mô hình Input-Output. Điều kiện cần là ma trận (I - A) khả nghịch và nghịch đảo có các phần tử không âm.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 12: Cho không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một không gian con có chiều bằng 2 trong (mathbb{R}^4). Hạng của ma trận hệ số của hệ phương trình đó là:

Câu hỏi kiểm tra định lý Rank-Nullity (Định lý số chiều). Nếu chiều không gian nghiệm (nullity) là 2 trong (mathbb{R}^4), thì hạng (rank) của ma trận hệ số là (4 - 2 = 2).

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 13: Cho ma trận (E = begin{pmatrix} 1 & 2 0 & 1 end{pmatrix}). Ma trận (E) là loại ma trận nào?

Ma trận sơ cấp và ma trận tam giác trên.

Ma trận đường chéo.

Ma trận đối xứng.

Ma trận phản đối xứng.

Câu hỏi kiểm tra nhận diện các loại ma trận đặc biệt. Ma trận (E) là ma trận tam giác trên và cũng là ma trận sơ cấp (ma trận phép biến đổi sơ cấp loại 3).

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 14: Cho hai ma trận vuông (A) và (B) cùng cấp. Phát biểu nào sau đây *không* đúng?

((A + B)^T = A^T + B^T).

((AB)^T = B^T A^T).

((AB) = (BA)).

(det(AB) = det(A) det(B)).

Câu hỏi kiểm tra tính chất của phép toán ma trận. Phép nhân ma trận không giao hoán, tức (AB) không nhất thiết bằng (BA).

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 15: Cho không gian vectơ (mathbb{R}^3) với cơ sở chính tắc (mathcal{B} = {e_1, e_2, e_3}). Xét vectơ (v = 2e_1 - e_2 + 3e_3). Tọa độ của (v) đối với cơ sở (mathcal{B}) là:

((3, -1, 2)).

((2, -1, 3)).

((-1, 2, 3)).

((2, 3, -1)).

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tọa độ của vectơ đối với một cơ sở. Trong cơ sở chính tắc, tọa độ của vectơ chính là các hệ số của tổ hợp tuyến tính.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 16: Giá trị riêng của ma trận tam giác trên (F = begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 0 & -1 & 3 0 & 0 & 2 end{pmatrix}) là:

2, 1, 5.

5, 1, 2.

2, -1, 1.

5, -1, 2.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về giá trị riêng của ma trận tam giác. Giá trị riêng của ma trận tam giác (trên hoặc dưới) là các phần tử trên đường chéo chính.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 17: Cho ánh xạ (f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}) xác định bởi (f(x, y) = x^2 + y). Ánh xạ (f) có phải là ánh xạ tuyến tính không? Vì sao?

Có, vì (f(0, 0) = 0).

Không, vì (f) không thỏa mãn tính chất thuần nhất.

Có, vì (f) thỏa mãn tính chất cộng tính.

Không, vì (f) không xác định trên không gian vectơ.

Câu hỏi kiểm tra định nghĩa ánh xạ tuyến tính. Ánh xạ tuyến tính phải thỏa mãn tính chất cộng tính và thuần nhất. Ánh xạ (f(x,y) = x^2 + y) không thỏa mãn tính chất thuần nhất vì (f(kx, ky) = (kx)^2 + ky = k^2x^2 + ky
eq k(x^2 + y) = kf(x,y)) nói chung.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 18: Cho không gian vectơ (V) có chiều là (n). Số vectơ tối thiểu cần thiết để sinh ra (V) là:

Lớn hơn (n).

Nhỏ hơn (n).

Bằng (n).

Không xác định.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm về hệ sinh và chiều của không gian vectơ. Để sinh ra không gian vectơ chiều (n), cần ít nhất (n) vectơ (cơ sở có (n) vectơ).

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 19: Cho ma trận (G = begin{pmatrix} 1 & -1 -1 & 1 end{pmatrix}). Ma trận (G) có khả nghịch không? Vì sao?

Có, vì các phần tử của (G) khác 0.

Có, vì (G) là ma trận vuông.

Có, vì hạng của (G) bằng 2.

Không, vì định thức của (G) bằng 0.

Câu hỏi kiểm tra điều kiện khả nghịch của ma trận. Ma trận khả nghịch khi và chỉ khi định thức khác 0. Định thức của (G) là (1 cdot 1 - (-1) cdot (-1) = 0).

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 20: Cho hệ phương trình tuyến tính (AX = b). Nếu hệ có nghiệm duy nhất, thì hạng của ma trận hệ số (A) và ma trận bổ sung (bar{A} = (A|b)) phải như thế nào?

Hạng của (A) bằng hạng của (bar{A}) và bằng số ẩn.

Hạng của (A) nhỏ hơn hạng của (bar{A}).

Hạng của (A) lớn hơn hạng của (bar{A}).

Hạng của (A) bằng hạng của (bar{A}) nhưng nhỏ hơn số ẩn.

Câu hỏi kiểm tra điều kiện có nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính. Hệ có nghiệm duy nhất khi hạng của ma trận hệ số (A) bằng hạng của ma trận bổ sung (bar{A}) và bằng số ẩn.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 21: Cho không gian vectơ (V = mathbb{R}^3). Vectơ nào sau đây trực giao với cả hai vectơ (u = (1, 2, -1)) và (v = (0, 1, 1))?

((3, -1, -2)).

((1, -1, 1)).

((3, -1, 1)).

((-1, 2, 1)).

Câu hỏi kiểm tra khái niệm trực giao và tích có hướng. Vectơ trực giao với cả (u) và (v) có thể được tìm bằng tích có hướng của (u) và (v).

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 22: Phép biến đổi sơ cấp nào sau đây *không* làm thay đổi không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính?

Đổi chỗ hai phương trình.

Nhân một phương trình với một số khác 0.

Cộng vào một phương trình một bội của phương trình khác.

Thay thế một phương trình bằng phương trình đó cộng với một hằng số.

Câu hỏi kiểm tra tính chất của các phép biến đổi sơ cấp đối với hệ phương trình tuyến tính. Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi không gian nghiệm.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 23: Cho ma trận (H = begin{pmatrix} 2 & 0 0 & 3 end{pmatrix}). Ma trận (H) có chéo hóa được không? Vì sao?

Có, vì (H) là ma trận đường chéo.

Không, vì các giá trị riêng của (H) khác nhau.

Có, vì (H) là ma trận vuông.

Không, vì (H) không đối xứng.

Câu hỏi kiểm tra điều kiện chéo hóa được của ma trận. Ma trận đường chéo luôn chéo hóa được (nó đã ở dạng chéo).

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 24: Cho không gian vectơ (V) và không gian con (W subseteq V). Điều gì sau đây *không* đúng về không gian con (W)?

(W) chứa vectơ không của (V).

(W) không cần đóng với phép cộng vectơ.

Nếu (u, v in W) thì (u + v in W).

Nếu (u in W) và (c) là số vô hướng thì (cu in W).

Câu hỏi kiểm tra định nghĩa và tính chất của không gian con. Không gian con phải đóng với phép cộng và phép nhân vô hướng, và phải chứa vectơ không.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 25: Cho ma trận (J = begin{pmatrix} 0 & 1 -1 & 0 end{pmatrix}). Định thức của (J^{2024}) bằng bao nhiêu?

-1

2024

Câu hỏi kiểm tra tính chất của định thức và lũy thừa ma trận. (det(J) = 0 cdot 0 - 1 cdot (-1) = 1). (det(J^{2024}) = (det(J))^{2024} = 1^{2024} = 1).

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 26: Trong bài toán xấp xỉ bình phương tối thiểu, ta muốn tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình (Ax = b) khi hệ này vô nghiệm. Nghiệm xấp xỉ bình phương tối thiểu (hat{x}) thỏa mãn phương trình nào?

(A hat{x} = b).

(A^T A hat{x} = A^T b).

(A A^T hat{x} = A^T b).

(A^T A hat{x} = A b).

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng của đại số tuyến tính trong bài toán bình phương tối thiểu. Nghiệm bình phương tối thiểu (hat{x}) là nghiệm của phương trình chuẩn tắc (A^T A hat{x} = A^T b).

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 27: Cho biến đổi tuyến tính (T: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^2). Số chiều lớn nhất có thể của hạt nhân (kernel) của (T) là:

Câu hỏi kiểm tra định lý Rank-Nullity. Cho (T: V o W), (dim(ker(T)) + dim( ext{Im}(T)) = dim(V)). Với (T: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^2), (dim(ker(T)) + dim( ext{Im}(T)) = 3). Vì (dim( ext{Im}(T)) le dim(mathbb{R}^2) = 2), nên (dim(ker(T)) ge 3 - 2 = 1). Số chiều lớn nhất của kernel là 3 khi T là biến đổi không.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 28: Cho ma trận đối xứng (K). Điều gì sau đây *luôn đúng* về các giá trị riêng của (K)?

Các giá trị riêng là số phức.

Các giá trị riêng là số nguyên.

Các giá trị riêng là số thực.

Các giá trị riêng là số hữu tỉ.

Câu hỏi kiểm tra tính chất của giá trị riêng của ma trận đối xứng. Giá trị riêng của ma trận đối xứng luôn là số thực.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 29: Cho hệ vectơ (S = {v_1, v_2, v_3}) trong không gian vectơ (V). Điều kiện nào sau đây chứng tỏ (S) là một cơ sở của (V)?

(S) là hệ sinh của (V).

(S) độc lập tuyến tính và số vectơ trong (S) bằng chiều của (V).

(S) độc lập tuyến tính.

Số vectơ trong (S) bằng chiều của (V).

Câu hỏi kiểm tra định nghĩa cơ sở của không gian vectơ. Cơ sở là hệ sinh và độc lập tuyến tính, và số vectơ trong cơ sở bằng chiều của không gian.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 08

Câu 30: Cho ma trận (L) vuông cấp (n) có các cột là (c_1, c_2, ..., c_n). Nếu hệ ({c_1, c_2, ..., c_n}) độc lập tuyến tính, thì định thức của (L) như thế nào?

Khác 0.

Bằng 0.

Bằng 1.

Không xác định.

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra mối liên hệ giữa tính độc lập tuyến tính của các cột ma trận và định thức. Các cột của ma trận độc lập tuyến tính khi và chỉ khi ma trận khả nghịch, tức định thức khác 0.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 09

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 1: Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây về định thức của ma trận là ĐÚNG?

det(2A) = 2det(A)

det(A + B) = det(A) + det(B)

det(AT) = -det(A)

det(cA) = c^n det(A) với c là hằng số

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tính chất cơ bản của định thức ma trận, đặc biệt là tính chất nhân với một số vô hướng.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0. Điều kiện nào sau đây là ĐỦ để hệ có vô số nghiệm?

det(A) ≠ 0

rank(A) < số ẩn

rank(A) = số ẩn

Ma trận A khả nghịch

Câu hỏi kiểm tra điều kiện để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm), liên quan đến hạng của ma trận hệ số.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 3: Xét không gian vectơ R^3. Tập hợp các vectơ W = {(x, y, z) ∈ R^3 | x + 2y - z = 0 và x = y} có phải là không gian con của R^3 không? Nếu có, hãy tìm một cơ sở của W.

Không phải không gian con

Là không gian con, cơ sở là {(1, 1, 3), (0, 0, 0)}

Là không gian con, cơ sở là {(1, 1, 3)}

Là không gian con, cơ sở là {(1, 0, 1), (0, 1, 2)}

Câu hỏi này yêu cầu phân tích xem một tập hợp có phải là không gian con không và tìm cơ sở nếu nó là không gian con. Cần giải hệ phương trình để mô tả W và tìm cơ sở.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^2 → R^3 xác định bởi f(x, y) = (x + y, 2x - y, y). Tìm ma trận biểu diễn của f đối với cơ sở chính tắc của R^2 và R^3.

[[1, 1], [2, -1], [0, 1]]

[[1, 2, 0], [1, -1, 1]]

[[1, 1, 0], [1, -1, 1]]

[[1, 2], [1, -1], [0, 1]]

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính. Cần xác định ảnh của các vectơ cơ sở chính tắc của R^2 qua f và viết chúng thành cột của ma trận.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 5: Giả sử ma trận A vuông cấp 3 có các giá trị riêng là λ1 = 1, λ2 = -2, λ3 = 3. Tính định thức của ma trận A^2.

-6

-36

Câu hỏi liên quan đến tính chất của giá trị riêng và định thức. Định thức của ma trận bằng tích các giá trị riêng của nó. Cần tính định thức của A^2 dựa trên giá trị riêng của A.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 6: Cho không gian vectơ V và W là các không gian con của V. Phát biểu nào sau đây về giao của hai không gian con (W ∩ W') là KHÔNG đúng?

W ∩ W' là một không gian con của V

W ∩ W' chứa vectơ không

W ∩ W' có thể không đóng kín với phép cộng vectơ

Mọi vectơ trong W ∩ W' đều thuộc cả W và W'

Câu hỏi kiểm tra tính chất của giao của hai không gian con. Giao của hai không gian con luôn là một không gian con.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 7: Cho ma trận A = [[2, -1], [-4, 2]]. Tìm hạng (rank) của ma trận A.

Câu hỏi yêu cầu tính hạng của ma trận. Hạng của ma trận là số chiều của không gian cột (hoặc không gian hàng).

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 8: Hệ vectơ {(1, 2, 3), (0, 1, 1), (1, 0, -1)} trong R^3 là:

Phụ thuộc tuyến tính và sinh ra R^3

Độc lập tuyến tính và là cơ sở của R^3

Độc lập tuyến tính nhưng không sinh ra R^3

Phụ thuộc tuyến tính và không sinh ra R^3

Câu hỏi kiểm tra tính độc lập tuyến tính của hệ vectơ. Cần kiểm tra xem hệ vectơ có độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 9: Cho biến đổi tuyến tính T: R^2 → R^2 có ma trận biểu diễn là [[0, -1], [1, 0]] đối với cơ sở chính tắc. Biến đổi tuyến tính này tương ứng với phép biến hình hình học nào?

Phép chiếu lên trục x

Phép đối xứng qua trục y

Phép quay 90 độ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ

Phép tỉ lệ với tỉ số 2

Câu hỏi liên hệ giữa ma trận biểu diễn của biến đổi tuyến tính và phép biến hình hình học trong mặt phẳng. Ma trận [[0, -1], [1, 0]] tương ứng với phép quay 90 độ ngược chiều kim đồng hồ.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 10: Cho hệ phương trình tuyến tính AX = b. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

Ma trận A là ma trận vuông và khả nghịch

Ma trận A có nhiều cột hơn hàng

Ma trận A có nhiều hàng hơn cột

Vectơ b là vectơ không

Câu hỏi về điều kiện có nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính. Điều kiện nghiệm duy nhất liên quan đến định thức của ma trận hệ số.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 11: Cho không gian vectơ P2[x] là không gian các đa thức bậc không quá 2. Xét phép toán đạo hàm D: P2[x] → P2[x], D(p(x)) = p'(x). Tìm ma trận biểu diễn của D đối với cơ sở {1, x, x^2} của P2[x].

[[0, 1, 0], [0, 0, 2], [0, 0, 0]]

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

[[0, 0, 0], [1, 0, 0], [0, 2, 0]]

[[0, 1, 0], [0, 0, 2], [0, 0, 0]]

Câu hỏi về ma trận biểu diễn của phép toán tuyến tính trong không gian đa thức. Cần tìm đạo hàm của các vectơ cơ sở và biểu diễn chúng qua cơ sở.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 12: Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu A^2 = A và A ≠ I (ma trận đơn vị), A ≠ 0 (ma trận không), thì giá trị riêng của A chỉ có thể là:

Chỉ là 1

Chỉ là 0

0 hoặc 1

Bất kỳ số thực nào

Câu hỏi về giá trị riêng của ma trận lũy đẳng (idempotent matrix). Nếu A^2 = A, thì giá trị riêng λ thỏa mãn λ^2 = λ, suy ra λ = 0 hoặc λ = 1.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 13: Cho không gian vectơ R^4 với tích vô hướng Euclid. Tìm hình chiếu trực giao của vectơ u = (1, 2, 3, 4) lên không gian con sinh bởi vectơ v = (1, 1, 0, 0) và w = (0, 0, 1, 1).

(1, 1, 1, 1)

(3/2, 3/2, 7/2, 7/2)

(1/2, 1/2, 1/2, 1/2)

(2, 2, 3, 3)

Câu hỏi về hình chiếu trực giao. Cần sử dụng công thức hình chiếu trực giao lên không gian con sinh bởi hai vectơ (có thể cần trực giao hóa Gram-Schmidt nếu v và w không trực giao).

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 14: Cho ma trận A = [[1, 2], [2, 1]]. Tìm ma trận P khả nghịch và ma trận đường chéo D sao cho A = PDP^(-1).

P = [[1, 1], [1, -1]], D = [[3, 0], [0, -1]]

P = [[1, 0], [0, 1]], D = [[1, 0], [0, 1]]

P = [[2, 0], [0, 1]], D = [[3, 0], [0, -1]]

P = [[1, 1], [1, -1]], D = [[3, 0], [0, -1]]

Câu hỏi về chéo hóa ma trận. Cần tìm giá trị riêng, vectơ riêng của A để xây dựng ma trận P và D.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 15: Trong mô hình Input-Output Leontief, cho ma trận hệ số đầu vào C = [[0.2, 0.3], [0.4, 0.1]]. Hỏi nếu yêu cầu cuối cùng đối với ngành 1 là 100 đơn vị và ngành 2 là 200 đơn vị, thì sản lượng đầu ra của mỗi ngành phải là bao nhiêu để đáp ứng yêu cầu này?

Ngành 1: 242.86, Ngành 2: 328.57

Ngành 1: 100, Ngành 2: 200

Ngành 1: 300, Ngành 2: 400

Ngành 1: 150, Ngành 2: 250

Câu hỏi ứng dụng đại số tuyến tính trong kinh tế, mô hình Input-Output. Cần sử dụng công thức (I - C)x = d để tìm vector sản lượng x, với d là vector yêu cầu cuối cùng.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 16: Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây về ma trận khả nghịch là SAI?

Định thức của A khác 0

Hệ AX = 0 có vô số nghiệm

Hạng của A bằng n

Các cột của A độc lập tuyến tính

Câu hỏi kiểm tra các điều kiện tương đương của ma trận khả nghịch. Cần xác định phát biểu nào không phải là điều kiện cần và đủ để ma trận khả nghịch.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 17: Cho không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 là một không gian con có số chiều bằng 2 trong R^4. Hỏi hạng của ma trận A là bao nhiêu?

Câu hỏi liên quan đến định lý hạng và số chiều (Rank-Nullity Theorem). Số chiều của không gian nghiệm (nullity) cộng với hạng của ma trận bằng số cột của ma trận.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 18: Cho biến đổi tuyến tính T: R^3 → R^2 xác định bởi T(x, y, z) = (x + y, y - z). Tìm số chiều của hạt nhân (kernel) của T.

Câu hỏi về hạt nhân của biến đổi tuyến tính. Hạt nhân là tập hợp các vectơ được ánh xạ tới vectơ không. Cần giải hệ T(x, y, z) = (0, 0) để tìm hạt nhân và số chiều của nó.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 19: Cho ma trận A = [[3, -1], [2, 0]]. Tính A^10.

[[3^10, (-1)^10], [2^10, 0]]

[[30, -10], [20, 0]]

[[2^11 - 2, -2^10], [2^11 - 4, -2^10 + 2]]

[[1, 0], [0, 1]]

Câu hỏi yêu cầu tính lũy thừa cao của ma trận. Có thể sử dụng chéo hóa ma trận (nếu có thể) để tính nhanh lũy thừa.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 20: Cho dạng toàn phương q(x, y, z) = x^2 + 2xy + 2yz + z^2. Ma trận vuông đối xứng nào sau đây biểu diễn dạng toàn phương q?

[[1, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 1]]

[[1, 2, 0], [2, 0, 2], [0, 2, 1]]

[[1, 2, 2], [2, 0, 2], [2, 2, 1]]

Câu hỏi về dạng toàn phương và ma trận biểu diễn của nó. Cần xác định các hệ số của dạng toàn phương và xây dựng ma trận đối xứng tương ứng.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 21: Cho không gian vectơ V có cơ sở B = {v1, v2, v3}. Giả sử [u]_B = [2, -1, 3]^T và [w]_B = [1, 0, -2]^T là tọa độ của vectơ u và w đối với cơ sở B. Tìm tọa độ của vectơ 2u - w đối với cơ sở B.

[3, -2, 8]^T

[5, -2, 4]^T

[3, -1, 1]^T

[4, -2, 6]^T

Câu hỏi về tọa độ của vectơ trong một cơ sở. Cần sử dụng tính chất tuyến tính của tọa độ để tính tọa độ của 2u - w.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 22: Cho ma trận A = [[2, 1], [1, 2]]. Tìm giá trị riêng lớn nhất của ma trận A.

Câu hỏi về giá trị riêng của ma trận. Cần giải phương trình đặc trưng det(A - λI) = 0 để tìm giá trị riêng và chọn giá trị lớn nhất.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 23: Cho không gian vectơ R^3 với tích vô hướng Euclid. Áp dụng quá trình Gram-Schmidt cho hệ vectơ {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} để thu được một cơ sở trực giao. Vectơ thứ hai trong cơ sở trực giao là:

(1, 0, 0)

(0, 1, 0)

(0, 0, 1)

(1/sqrt(2), 1/sqrt(2), 0)

Câu hỏi về quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt. Cần thực hiện các bước của quá trình Gram-Schmidt để tìm vectơ thứ hai của cơ sở trực giao.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 24: Cho ma trận A vuông cấp 3 có đa thức đặc trưng p(λ) = -(λ - 1)(λ + 2)^2. Tìm vết (trace) của ma trận A.

-4

-1

-3

Câu hỏi về mối quan hệ giữa đa thức đặc trưng và vết của ma trận. Vết của ma trận bằng tổng các giá trị riêng của nó.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 25: Cho hệ phương trình tuyến tính x + y = 3, 2x + 2y = k. Giá trị nào của k để hệ phương trình có vô số nghiệm?

k ≠ 6

k = 0

k = 6

Không có giá trị nào của k

Câu hỏi về điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm. Cần phân tích hệ phương trình để tìm điều kiện cho k.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 26: Cho ánh xạ tuyến tính T: R^3 → R^3, T(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z). Xác định xem T có phải là một đẳng cấu (isomorphism) không?

Không phải đẳng cấu

Là đẳng cấu

Chỉ đơn ánh nhưng không toàn ánh

Chỉ toàn ánh nhưng không đơn ánh

Câu hỏi về đẳng cấu tuyến tính. Ánh xạ tuyến tính là đẳng cấu khi và chỉ khi nó vừa đơn ánh vừa toàn ánh, tương đương với việc ma trận biểu diễn của nó khả nghịch.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 27: Cho ma trận A = [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]. Tính định thức của A.

-1

cos(2θ)

Câu hỏi yêu cầu tính định thức của ma trận quay trong mặt phẳng. Cần áp dụng công thức tính định thức cho ma trận 2x2.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 28: Cho không gian vectơ R^2. Xét hai cơ sở B = {e1, e2} và B' = {e1, e1 + e2}, với e1 = (1, 0), e2 = (0, 1). Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B'.

[[1, 1], [0, 1]]

[[1, 0], [1, 1]]

[[1, -1], [0, 1]]

[[1, 0], [-1, 1]]

Câu hỏi về ma trận chuyển cơ sở. Cần biểu diễn các vectơ cơ sở B' qua cơ sở B và viết tọa độ của chúng thành cột của ma trận chuyển.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 29: Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu ma trận A có một giá trị riêng là 0, thì phát biểu nào sau đây là ĐÚNG?

Ma trận A khả nghịch

Hệ AX = b luôn có nghiệm duy nhất

Định thức của ma trận A bằng 0

Ma trận A là ma trận đơn vị

Câu hỏi về mối quan hệ giữa giá trị riêng 0 và tính khả nghịch của ma trận. Nếu 0 là giá trị riêng, thì định thức của ma trận bằng 0 và ma trận không khả nghịch.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 09

Câu 30: Cho không gian vectơ V = span{v1, v2, v3} với v1 = (1, 0, 1), v2 = (2, 1, 0), v3 = (0, -1, 2). Tìm số chiều của không gian vectơ V.

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi về số chiều của không gian sinh bởi một hệ vectơ. Cần kiểm tra tính độc lập tuyến tính của hệ vectơ để xác định số chiều.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 10

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 1: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 2 & -1 3 & 4 end{pmatrix}$. Ma trận nào sau đây là ma trận nghịch đảo của $A$?

$frac{1}{11} begin{pmatrix} 4 & 1 -3 & 2 end{pmatrix}

$frac{1}{11} begin{pmatrix} 2 & -1 3 & 4 end{pmatrix}

$frac{1}{5} begin{pmatrix} 4 & 1 -3 & 2 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 4 & 1 -3 & 2 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 2. Để tìm ma trận nghịch đảo $A^{-1}$ của ma trận $A = begin{pmatrix} a & b c & d end{pmatrix}$, ta sử dụng công thức $A^{-1} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d & -b -c & a end{pmatrix}$, với điều kiện $ad-bc
eq 0$. Trong trường hợp này, $ad-bc = (2)(4) - (-1)(3) = 8 + 3 = 11$.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 2: Định thức của ma trận $B = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -1 & 4 2 & 1 & 0 end{pmatrix}$ là bao nhiêu?

-5

-15

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính định thức của ma trận cấp 3. Có thể sử dụng phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột. Khai triển theo cột 1 giúp đơn giản hóa tính toán do có số 0.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 3: Cho hệ phương trình tuyến tính $begin{cases} x + 2y = 5 2x + ky = 10 end{cases}$. Với giá trị nào của $k$ thì hệ phương trình có vô số nghiệm?

$k = 2$

$k = 4$

$k = 10$

"$k

Hệ phương trình có vô số nghiệm khi hai phương trình tương đương nhau, tức là tỉ lệ hệ số tương ứng bằng nhau. $frac{2}{1} = frac{k}{2} = frac{10}{5}$. Từ $frac{2}{1} = frac{k}{2}$, suy ra $k = 4$.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 4: Xét không gian vectơ $V = mathbb{R}^3$. Tập hợp nào sau đây là một không gian con của $V$?

$W_1 = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid x + y + z = 1}$

$W_2 = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid x^2 + y^2 = 0}$

$W_3 = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid 2x - y + 3z = 0}$

$W_4 = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid x geq 0, y geq 0, z geq 0}$

Để một tập hợp là không gian con của $mathbb{R}^3$, nó phải chứa vectơ không, đóng kín với phép cộng vectơ và phép nhân với số vô hướng. Kiểm tra từng đáp án, chỉ có đáp án 3 thỏa mãn cả ba điều kiện.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 5: Cho ánh xạ tuyến tính $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^3$ xác định bởi $f(x, y) = (x+y, x-y, 2x)$. Ma trận biểu diễn của $f$ đối với cơ sở chính tắc của $mathbb{R}^2$ và $mathbb{R}^3$ là:

$begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 2 & 0 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 0 & 0 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 end{pmatrix}$

Để tìm ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính, ta xét ảnh của các vectơ cơ sở chính tắc của $mathbb{R}^2$ qua $f$. $f(1, 0) = (1, 1, 2)$ và $f(0, 1) = (1, -1, 0)$. Các vectơ ảnh này là các cột của ma trận biểu diễn.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 6: Tìm hạng của ma trận $C = begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 2 & 4 & -2 -1 & -2 & 1 end{pmatrix}$.

Hạng của ma trận là số lượng dòng (hoặc cột) độc lập tuyến tính tối đa. Nhận thấy dòng 2 gấp đôi dòng 1, và dòng 3 là âm của dòng 1. Vậy chỉ có một dòng độc lập tuyến tính.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 7: Cho vectơ $v = (2, -1, 3)$ và $u = (1, 0, -2)$. Tính tích vô hướng của $v$ và $u$.

-1

-4

Tích vô hướng của hai vectơ $v = (v_1, v_2, v_3)$ và $u = (u_1, u_2, u_3)$ được tính bởi $v cdot u = v_1u_1 + v_2u_2 + v_3u_3$.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 8: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^3$ với tích vô hướng chính tắc. Tìm hình chiếu vuông góc của vectơ $v = (3, 1, -2)$ lên không gian con sinh bởi vectơ $u = (1, -1, 1)$.

$(1, -1, 1)$

$(3, 1, -2)$

$(0, 0, 0)$

$left(frac{1}{3}, -frac{1}{3}, frac{1}{3}right)$

Hình chiếu vuông góc của $v$ lên không gian con sinh bởi $u$ là $proj_u v = frac{v cdot u}{|u|^2} u$. Tính $v cdot u = (3)(1) + (1)(-1) + (-2)(1) = 0$.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 9: Tìm giá trị riêng của ma trận $D = begin{pmatrix} 2 & 0 0 & -3 end{pmatrix}$.

$lambda = 0, 2$

$lambda_1 = 2, lambda_2 = -3$

$lambda = 2, 3$

$lambda = -2, 3$

Đối với ma trận đường chéo, các giá trị riêng chính là các phần tử trên đường chéo chính.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 10: Cho ma trận $E = begin{pmatrix} 1 & 2 2 & 1 end{pmatrix}$. Vectơ nào sau đây là vectơ riêng của $E$?

$(1, 2)$

$(2, 1)$

$(1, 0)$

$(1, 1)$

Vectơ riêng $v$ của ma trận $E$ phải thỏa mãn $Ev = lambda v$ với một giá trị riêng $lambda$ nào đó. Kiểm tra từng đáp án.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 11: Cho biết $det(A) = 3$ và $det(B) = -2$, với $A, B$ là ma trận vuông cấp $n$. Tính $det(2A^{-1}B^T)$.

$-3 cdot 2^n$

$frac{-2^n}{3}$

$frac{-2^{n+1}}{3}

$frac{3}{2^{n+1}}$

Sử dụng các tính chất của định thức: $det(cA) = c^n det(A)$, $det(A^{-1}) = frac{1}{det(A)}$, $det(B^T) = det(B)$, và $det(AB) = det(A)det(B)$.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 12: Cho $U, W$ là các không gian con của không gian vectơ $V$. Mệnh đề nào sau đây *không* đúng?

$U cap W$ là không gian con của $V$.

$U cup W$ là không gian con của $V$.

$U + W = {u + w mid u in U, w in W}$ là không gian con của $V$.

${0}$ và $V$ luôn là không gian con của $V$.

Kiểm tra các tính chất của không gian con và phép toán trên không gian con.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 13: Trong không gian vectơ $mathbb{R}^3$, cho cơ sở $S = {v_1 = (1, 0, 1), v_2 = (0, 1, 1), v_3 = (1, 1, 0)}$. Tìm tọa độ của vectơ $v = (2, -1, 3)$ đối với cơ sở $S$.

$(1, 2, -1)_S$

$(2, -1, 3)_S$

$(3, -1, 2)_S$

$(2, -3, 1)_S$

Ta cần tìm các hệ số $c_1, c_2, c_3$ sao cho $v = c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3$. Điều này dẫn đến một hệ phương trình tuyến tính.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 14: Cho ma trận $F = begin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}$. Tìm ma trận $P$ khả nghịch và ma trận đường chéo $D$ sao cho $F = PDP^{-1}$.

$P = begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 end{pmatrix}, D = begin{pmatrix} 3 & 0 0 & 1 end{pmatrix}$

$P = begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix}, D = begin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}$

$P = begin{pmatrix} 1 & 1 -1 & 1 end{pmatrix}, D = begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 3 end{pmatrix}$

$P = begin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}, D = begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 3 end{pmatrix}$

Đây là bài toán chéo hóa ma trận. Cần tìm giá trị riêng và vectơ riêng của $F$ để xây dựng $P$ và $D$.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 15: Xét phép biến đổi tuyến tính quay quanh gốc tọa độ trong $mathbb{R}^2$ một góc $90^circ$ ngược chiều kim đồng hồ. Ma trận biểu diễn của phép biến đổi này là:

$begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 0 & 1 -1 & 0 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} -1 & 0 0 & -1 end{pmatrix}$

Ma trận quay trong $mathbb{R}^2$ một góc $ heta$ ngược chiều kim đồng hồ là $begin{pmatrix} cos heta & -sin heta sin heta & cos heta end{pmatrix}$. Với $ heta = 90^circ$, $cos 90^circ = 0$ và $sin 90^circ = 1$.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 16: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $AX = 0$. Nếu hạng của ma trận $A$ là $r$ và số ẩn là $n$, thì số chiều của không gian nghiệm của hệ là bao nhiêu?

$r$

$n$

$n - r$

$r - n$

Theo định lý hạng - số chiều, số chiều của không gian nghiệm (không gian null) của ma trận $A$ là $n - r$, với $n$ là số cột (số ẩn) và $r$ là hạng của $A$.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 17: Cho không gian vectơ $P_2[x]$ các đa thức bậc không quá 2. Tập hợp ${1, x, x^2}$ có phải là cơ sở của $P_2[x]$ không? Vì sao?

Có, vì nó độc lập tuyến tính và sinh ra $P_2[x]$.

Không, vì nó không độc lập tuyến tính.

Không, vì nó không sinh ra $P_2[x]$.

Không thể xác định.

Để là cơ sở, tập hợp phải độc lập tuyến tính và sinh ra không gian $P_2[x]$. Kiểm tra cả hai điều kiện.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 18: Sử dụng phép khử Gauss để giải hệ phương trình $begin{cases} x + y - z = 1 2x - y + z = 5 x + 2y + z = 0 end{cases}$. Nghiệm của hệ là:

$(x, y, z) = (2, -1, 0)$

$(x, y, z) = (2, -1, -2)$

$(x, y, z) = (1, 1, 1)$

Hệ vô nghiệm.

Áp dụng phép khử Gauss để đưa ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang rút gọn và tìm nghiệm.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 19: Cho ma trận $G = begin{pmatrix} k & 1 1 & k end{pmatrix}$. Tìm điều kiện của $k$ để ma trận $G$ khả nghịch.

Ma trận khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. Tính định thức của $G$ và tìm điều kiện để nó khác 0.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 20: Cho không gian vectơ $V$ có chiều là 4. Xét không gian con $U$ có chiều là 2. Chiều của không gian thương $V/U$ là bao nhiêu?

Chiều của không gian thương $V/U$ được tính bởi công thức $dim(V/U) = dim(V) - dim(U)$.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 21: Cho ánh xạ tuyến tính $T: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^2$ có ma trận biểu diễn $M = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{pmatrix}$. Tìm số chiều của hạt nhân (kernel) của $T$.

Theo định lý hạng - số chiều, $dim(ker(T)) + dim( ext{Im}(T)) = dim(mathbb{R}^3)$. Hạng của $M$ (chiều của ảnh) là hạng của ma trận biểu diễn.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 22: Trong $mathbb{R}^3$, chuẩn hóa Gram-Schmidt hệ vectơ ${(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}$ để thu được một cơ sở trực giao.

${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$

${(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}$

${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$

${(frac{1}{sqrt{3}}, frac{1}{sqrt{3}}, frac{1}{sqrt{3}}), (frac{-2}{sqrt{6}}, frac{1}{sqrt{6}}, frac{1}{sqrt{6}}), (0, frac{-1}{sqrt{2}}, frac{1}{sqrt{2}})}$

Áp dụng quy trình Gram-Schmidt để trực giao hóa và chuẩn hóa hệ vectơ.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 23: Cho dạng toàn phương $Q(x, y) = 2x^2 + 4xy + 5y^2$. Ma trận đối xứng của dạng toàn phương này là:

$begin{pmatrix} 2 & 4 4 & 5 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 2 & 2 2 & 5 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 2 & 0 0 & 5 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 2 & 2 2 & 5 end{pmatrix}$

Ma trận đối xứng $A$ của dạng toàn phương $Q(x, y) = ax^2 + 2bxy + cy^2$ là $begin{pmatrix} a & b b & c end{pmatrix}$.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 24: Tìm đa thức đặc trưng của ma trận $H = begin{pmatrix} 3 & -1 2 & 0 end{pmatrix}$.

$lambda^2 - 3lambda + 2 = 0$

$lambda^2 + 3lambda - 2 = 0$

$lambda^2 + 3lambda + 2 = 0$

Đa thức đặc trưng của ma trận $H$ là $det(H - lambda I) = 0$, với $I$ là ma trận đơn vị.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 25: Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là *sai*?

Kiểm tra các tính chất cơ bản của ma trận vuông và định thức.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 26: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^2$. Xét tích vô hướng $langle u, v rangle = 2u_1v_1 + u_2v_2$ với $u = (u_1, u_2)$ và $v = (v_1, v_2)$. Tính $langle u, v rangle$ với $u = (1, 2)$ và $v = (-1, 3)$.

$-5$

$-4$

Áp dụng định nghĩa của tích vô hướng đã cho để tính giá trị.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 27: Cho ma trận $J = begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end{pmatrix}$. Tính $J^2$.

$begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 0 & 0 0 & 0 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 0 & 0 1 & 0 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix}$

Thực hiện phép nhân ma trận $J imes J$.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 28: Cho biết nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $AX = 0$ là $X = t begin{pmatrix} 1 -1 2 end{pmatrix}$, với $t in mathbb{R}$. Số chiều của không gian nghiệm của hệ là:

Nghiệm tổng quát được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của một vectơ duy nhất. Số chiều của không gian nghiệm là số lượng tham số tự do trong nghiệm tổng quát.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 29: Cho ma trận $K = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 2 & 3 & 0 4 & 5 & 6 end{pmatrix}$. Tính tích các giá trị riêng của $K$.

Đối với ma trận tam giác (trên hoặc dưới), các giá trị riêng là các phần tử trên đường chéo chính. Tích các giá trị riêng bằng định thức của ma trận.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 10

Câu 30: Trong không gian $mathbb{R}^3$, xét phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $xy$. Ma trận biểu diễn của phép chiếu này đối với cơ sở chính tắc là:

$begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 end{pmatrix}

$begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 end{pmatrix}$

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $xy$ biến vectơ $(x, y, z)$ thành $(x, y, 0)$. Tìm ảnh của các vectơ cơ sở chính tắc và xây dựng ma trận biểu diễn.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 11

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 1: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 end{pmatrix}$. Ma trận nào sau đây là ma trận nghịch đảo của $A$, ký hiệu là $A^{-1}$?

$frac{1}{7} begin{pmatrix} 3 & 1 \ -1 & 2 end{pmatrix}$

$frac{1}{5} begin{pmatrix} 3 & 1 \ -1 & 2 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 3 & 1 \ -1 & 2 end{pmatrix}$

$frac{1}{7} begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 2. Để tìm ma trận nghịch đảo $A^{-1}$ của ma trận $A = begin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix}$, ta sử dụng công thức $A^{-1} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d & -b \ -c & a end{pmatrix}$, với điều kiện $ad-bc
eq 0$. Trong trường hợp này, $ad-bc = (2)(3) - (-1)(1) = 7$.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính sau: $begin{cases} x + 2y = 5 \ 2x + ky = 10 end{cases}$. Giá trị nào của $k$ để hệ phương trình có vô số nghiệm?

k = 2

k = 4

k = 1

k = -2

Hệ phương trình có vô số nghiệm khi hai phương trình tương đương, tức là tỉ lệ hệ số của $x$, $y$ và hằng số tự do bằng nhau. Ta cần $frac{2}{1} = frac{k}{2} = frac{10}{5}$. Từ $frac{2}{1} = frac{k}{2}$, suy ra $k = 4$. Kiểm tra lại $frac{k}{2} = frac{4}{2} = 2 = frac{10}{5}$.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 3: Cho hai vectơ $u = (1, -2, 3)$ và $v = (2, 1, -1)$. Tính tích vô hướng của $u$ và $v$, ký hiệu là $u cdot v$.

-3

Tích vô hướng của hai vectơ $u = (u_1, u_2, u_3)$ và $v = (v_1, v_2, v_3)$ được tính bằng công thức $u cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$. Trong trường hợp này, $u cdot v = (1)(2) + (-2)(1) + (3)(-1) = 2 - 2 - 3 = -3$.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 4: Định thức của ma trận $B = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 4 & 5 \ 0 & 0 & 6 end{pmatrix}$ bằng bao nhiêu?

Ma trận $B$ là ma trận tam giác trên. Định thức của ma trận tam giác (trên hoặc dưới) bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. Vậy, det(B) = (1)(4)(6) = 24.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 5: Cho không gian vectơ $V = mathbb{R}^3$. Tập hợp nào sau đây là một không gian con của $V$?

$W_1 = {(x, y, 0) mid x, y in mathbb{R} }$

$W_2 = {(x, y, 1) mid x, y in mathbb{R} }$

$W_3 = {(x, y, z) mid x + y + z = 1 }$

$W_4 = {(x, y, z) mid x^2 + y^2 + z^2 = 0 }$

Để một tập hợp $W$ là không gian con của $V$, nó phải thỏa mãn ba điều kiện: chứa vectơ không, đóng kín với phép cộng vectơ, và đóng kín với phép nhân vô hướng. Kiểm tra từng đáp án:

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 6: Cho biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^2 rightarrow mathbb{R}^2$ được xác định bởi $T(x, y) = (2x + y, x - y)$. Ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chuẩn của $mathbb{R}^2$ là ma trận nào?

$begin{pmatrix} 1 & -1 \ 2 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & -1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 2 \ -1 & 1 end{pmatrix}$

Để tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chuẩn $e_1 = (1, 0)$ và $e_2 = (0, 1)$, ta tính $T(e_1)$ và $T(e_2)$. $T(e_1) = T(1, 0) = (2(1) + 0, 1 - 0) = (2, 1)$. $T(e_2) = T(0, 1) = (2(0) + 1, 0 - 1) = (1, -1)$. Ma trận biểu diễn có các cột là tọa độ của $T(e_1)$ và $T(e_2)$ trong cơ sở chuẩn.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 7: Hạng của ma trận $C = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 \ 3 & 6 & 9 end{pmatrix}$ bằng bao nhiêu?

Hạng của ma trận là số lượng dòng (hoặc cột) độc lập tuyến tính tối đa. Ta thấy dòng 2 gấp 2 lần dòng 1, và dòng 3 gấp 3 lần dòng 1. Do đó, chỉ có một dòng độc lập tuyến tính. Vậy hạng của ma trận là 1.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 8: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^3$. Hệ vectơ $S = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 0, 1) }$ có phải là cơ sở của $mathbb{R}^3$ không? Vì sao?

Có, vì nó độc lập tuyến tính.

Có, vì nó sinh ra $mathbb{R}^3$.

Có, vì nó vừa độc lập tuyến tính vừa sinh ra $mathbb{R}^3$.

Không, vì số lượng vectơ không đúng.

Để là cơ sở của $mathbb{R}^3$, hệ vectơ cần độc lập tuyến tính và sinh ra $mathbb{R}^3$. Một cơ sở của $mathbb{R}^3$ phải có đúng 3 vectơ. Hệ $S$ có 4 vectơ, nên nó không thể là cơ sở của $mathbb{R}^3$.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 9: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{pmatrix}$. Tìm một vectơ riêng của $A$ ứng với giá trị riêng $lambda = 3$.

$(1, 1)$

$(1, -1)$

$(2, 1)$

$(1, 2)$

Vectơ riêng $v$ ứng với giá trị riêng $lambda$ thỏa mãn $(A - lambda I)v = 0$. Với $lambda = 3$, ta có $A - 3I = begin{pmatrix} 2-3 & 1 \ 1 & 2-3 end{pmatrix} = begin{pmatrix} -1 & 1 \ 1 & -1 end{pmatrix}$. Giải hệ $(-1)x + y = 0$, ta được $y = x$. Chọn $x = 1$, thì $y = 1$. Vectơ riêng là $(1, 1)$.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 10: Cho ma trận $D = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{pmatrix}$. Tính vết (trace) của ma trận $D^2$.

Vết của ma trận là tổng các phần tử trên đường chéo chính. $D^2 = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1^2 & 0 & 0 \ 0 & 2^2 & 0 \ 0 & 0 & 3^2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 4 & 0 \ 0 & 0 & 9 end{pmatrix}$. Vết của $D^2$ là $1 + 4 + 9 = 14$.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 11: Trong mô hình Input-Output Leontief đóng, cho ma trận hệ số kỹ thuật $A = begin{pmatrix} 0.2 & 0.3 \ 0.4 & 0.1 end{pmatrix}$. Vectơ sản lượng tổng cộng $X = (x_1, x_2)^T$ phải thỏa mãn điều kiện nào để mô hình cân bằng?

$AX = X + D$

$X = AX + D$

$(I - A)X = 0$

$AX = D$

Trong mô hình Input-Output Leontief đóng, điều kiện cân bằng là $(I - A)X = 0$, trong đó $I$ là ma trận đơn vị. Vậy, $X$ phải là nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $(I - A)X = 0$.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 12: Cho ma trận $E = begin{pmatrix} 1 & 2 \ -1 & -2 end{pmatrix}$. Ma trận $E$ có khả nghịch không? Giải thích.

Khả nghịch, vì các cột độc lập tuyến tính.

Khả nghịch, vì định thức khác 0.

Khả nghịch, vì có ma trận nghịch đảo.

Không khả nghịch, vì định thức bằng 0.

Ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. Tính định thức của $E$: det(E) = $(1)(-2) - (2)(-1) = -2 + 2 = 0$. Vì định thức bằng 0, ma trận $E$ không khả nghịch.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 13: Cho $U, V, W$ là các không gian vectơ con của không gian vectơ $Z$. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?

$U cup V$ là không gian vectơ con của $Z$.

$U cap V$ là không gian vectơ con của $Z$.

Nếu $U subseteq V$, thì $V cap W = U cap W$.

$U + V + W = Z$ khi và chỉ khi $U = V = W = Z$.

Giao của các không gian con luôn là không gian con. Tổng của các không gian con cũng là không gian con. Hợp của các không gian con không nhất thiết là không gian con.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 14: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $AX = 0$. Biết rằng hệ có nghiệm không tầm thường. Điều gì có thể kết luận về hạng của ma trận $A$ kích thước $n imes n$?

rank($A$) = $n$.

rank($A$) > $n$.

rank($A$) < $n$.

rank($A$) $geq n$.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $AX = 0$ luôn có nghiệm tầm thường $X = 0$. Để có nghiệm không tầm thường, định thức của ma trận $A$ phải bằng 0, điều này có nghĩa là hạng của $A$ phải nhỏ hơn $n$.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 15: Xét không gian vectơ $mathbb{R}^3$. Hỏi vectơ $v = (2, -3, 5)$ có thuộc không gian sinh bởi hệ vectơ $S = {(1, 0, 1), (0, 1, -1) }$ không?

Có.

Không.

Chỉ khi $v$ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong $S$.

Không thể xác định.

Vectơ $v$ thuộc không gian sinh bởi $S$ nếu tồn tại các hệ số $c_1, c_2$ sao cho $v = c_1(1, 0, 1) + c_2(0, 1, -1)$. Tức là giải hệ phương trình: $begin{cases} c_1 = 2 \ c_2 = -3 \ c_1 - c_2 = 5 end{cases}$. Thay $c_1 = 2, c_2 = -3$ vào phương trình thứ ba: $2 - (-3) = 5$. Hệ có nghiệm, vậy $v$ thuộc không gian sinh bởi $S$.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 16: Cho ma trận $F = begin{pmatrix} 2 & -1 \ -4 & 2 end{pmatrix}$. Nhận xét nào sau đây đúng về các cột của ma trận $F$?

Các cột độc lập tuyến tính.

Các cột phụ thuộc tuyến tính.

Các cột trực giao.

Các cột trực chuẩn.

Cột thứ hai của ma trận $F$ là $-frac{1}{2}$ lần cột thứ nhất. Do đó, các cột phụ thuộc tuyến tính.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 17: Cho ánh xạ $f: mathbb{R}^2 rightarrow mathbb{R}^3$ xác định bởi $f(x, y) = (x + y, 2x - y, x)$. Tìm ảnh của vectơ $(1, 2)$ qua ánh xạ $f$.

$(2, 1, 1)$

$(3, 1, 1)$

$(3, 0, 1)$

$(1, 2, 3)$

Tính $f(1, 2)$ bằng cách thay $x = 1, y = 2$ vào biểu thức của $f(x, y)$. $f(1, 2) = (1 + 2, 2(1) - 2, 1) = (3, 0, 1)$.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 18: Cho ma trận $G = begin{pmatrix} 1 & -1 \ 2 & 3 end{pmatrix}$. Tính $G^{-1}G^T$.

$begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 2 & 9 \ -3 & -1 end{pmatrix}$

$frac{1}{5} begin{pmatrix} 2 & 9 \ -3 & -1 end{pmatrix}$

Đầu tiên, tìm $G^{-1}$. det(G) = $(1)(3) - (-1)(2) = 5$. $G^{-1} = frac{1}{5} begin{pmatrix} 3 & 1 \ -2 & 1 end{pmatrix}$. Sau đó, tìm $G^T = begin{pmatrix} 1 & 2 \ -1 & 3 end{pmatrix}$. Cuối cùng, nhân $G^{-1}G^T = frac{1}{5} begin{pmatrix} 3 & 1 \ -2 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 2 \ -1 & 3 end{pmatrix} = frac{1}{5} begin{pmatrix} 3-1 & 6+3 \ -2-1 & -4+3 end{pmatrix} = frac{1}{5} begin{pmatrix} 2 & 9 \ -3 & -1 end{pmatrix}$.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 19: Cho không gian vectơ $P_2[x]$ các đa thức bậc không quá 2. Hệ vectơ $B = {1, x, x^2 }$ là cơ sở chuẩn của $P_2[x]$. Tìm tọa độ của đa thức $p(x) = 2x^2 - x + 3$ trong cơ sở $B$.

$(3, -1, 2)$

$(2, -1, 3)$

$(1, 1, 1)$

$(3, 2, -1)$

Đa thức $p(x) = 2x^2 - x + 3$ có thể viết thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở $B$ như sau: $p(x) = 3(1) + (-1)(x) + 2(x^2)$. Vậy tọa độ của $p(x)$ trong cơ sở $B$ là $(3, -1, 2)$.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 20: Cho ma trận $H = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 end{pmatrix}$. Tìm không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $HX = 0$.

span${(1, 2) }$

span${(-2, 1) }$

span${(1, 0), (0, 1) }$

$mathbb{R}^2$

Giải hệ phương trình $begin{cases} x + 2y = 0 \ 2x + 4y = 0 end{cases}$. Phương trình thứ hai là bội của phương trình thứ nhất, nên ta chỉ cần xét $x + 2y = 0$. Suy ra $x = -2y$. Nghiệm có dạng $(-2y, y) = y(-2, 1)$. Không gian nghiệm là span${(-2, 1) }$.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 21: Cho biến đổi tuyến tính $L: mathbb{R}^3 rightarrow mathbb{R}^3$ là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $xy$. Tìm ma trận biểu diễn của $L$ đối với cơ sở chuẩn của $mathbb{R}^3$.

$begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}$

Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $xy$ biến vectơ $(x, y, z)$ thành $(x, y, 0)$. Ta tính ảnh của các vectơ cơ sở chuẩn: $L(1, 0, 0) = (1, 0, 0)$, $L(0, 1, 0) = (0, 1, 0)$, $L(0, 0, 1) = (0, 0, 0)$. Ma trận biểu diễn có các cột là tọa độ của các ảnh này.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 22: Cho ma trận $J = begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 end{pmatrix}$. Tính $J^4$.

$begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

$J^2 = begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 end{pmatrix} begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 end{pmatrix} = begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix} = -I$. $J^4 = (J^2)^2 = (-I)^2 = I = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 23: Cho hệ phương trình tuyến tính $AX = B$. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

det($A$) = 0

det($A$) $neq$ 0 và $A$ là ma trận vuông

rank($A$) < rank($[A|B]$)

rank($A$) < số ẩn số

Hệ phương trình $AX = B$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ma trận hệ số $A$ là ma trận vuông khả nghịch, tức là định thức của $A$ khác 0.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 24: Cho không gian vectơ $V$ có chiều là $n$. Số chiều của không gian con của $V$ có thể nhận giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

$n$

$n-1$

$n+1$

$infty$

Không gian con lớn nhất của $V$ chính là $V$ itself. Vì vậy, chiều lớn nhất của không gian con của $V$ là chiều của $V$, tức là $n$.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 25: Cho ma trận $K = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & -1 & 2 \ 0 & 0 & 4 end{pmatrix}$. Tính tích các giá trị riêng của ma trận $K$.

-4

Đối với ma trận tam giác (trên hoặc dưới), các giá trị riêng chính là các phần tử trên đường chéo chính. Các giá trị riêng của $K$ là $1, -1, 4$. Tích của chúng là $(1)(-1)(4) = -4$.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 26: Cho ánh xạ tuyến tính $T: V rightarrow W$. Phát biểu nào sau đây về hạt nhân (ker($T$)) và ảnh (im($T$)) của $T$ là đúng?

ker($T$) là không gian con của $W$ và im($T$) là không gian con của $V$.

ker($T$) là không gian con của $V$ và im($T$) là không gian con của $W$.

ker($T$) và im($T$) đều là không gian con của $V cap W$.

ker($T$) và im($T$) đều là không gian con của $V cup W$.

Hạt nhân ker($T$) là không gian con của $V$, và ảnh im($T$) là không gian con của $W$. Định lý hạng - chiều nói rằng dim(ker($T$)) + dim(im($T$)) = dim($V$).

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 27: Cho ma trận $L = begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 end{pmatrix}$. Ma trận $L$ có chéo hóa được không? Vì sao?

Có, vì nó là ma trận đường chéo.

Không, vì nó không có đủ vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Có, vì định thức của nó khác 0.

Không, vì vết của nó khác 0.

Ma trận đường chéo luôn chéo hóa được (thực tế nó đã là ma trận đường chéo). Hoặc, ta có thể thấy rằng $L = 2I$, và mọi cơ sở của $mathbb{R}^2$ đều là cơ sở vectơ riêng của $L$.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 28: Cho hệ phương trình tuyến tính $AX = B$, trong đó $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Nếu det($A$) = 0, hệ phương trình có thể có bao nhiêu nghiệm?

Nghiệm duy nhất.

Luôn vô nghiệm.

Vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

Luôn vô số nghiệm.

Nếu det($A$) = 0, ma trận $A$ không khả nghịch. Trong trường hợp này, hệ phương trình $AX = B$ có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm, tùy thuộc vào vectơ $B$ và ma trận mở rộng $[A|B]$.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 29: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^3$ với tích vô hướng Euclid. Tìm hình chiếu trực giao của vectơ $u = (1, 2, 3)$ lên không gian con sinh bởi vectơ $v = (1, 1, 0)$.

$(1, 1, 0)$

$(2, 2, 0)$

$(3, 3, 0)$

$left(frac{3}{2}, frac{3}{2}, 0right)$

Hình chiếu trực giao của $u$ lên không gian sinh bởi $v$ được tính bằng công thức proj$_v u = frac{u cdot v}{v cdot v} v$. $u cdot v = (1)(1) + (2)(1) + (3)(0) = 3$. $v cdot v = (1)^2 + (1)^2 + (0)^2 = 2$. proj$_v u = frac{3}{2} (1, 1, 0) = (frac{3}{2}, frac{3}{2}, 0)$.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 11

Câu 30: Cho ma trận $M = begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 end{pmatrix}$. Tính $M^n$ với $n$ là số nguyên dương.

$begin{pmatrix} n & n \ 0 & n end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & n \ 0 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} n & 1 \ 0 & n end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} n & n^2 \ 0 & n end{pmatrix}$

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Tính vài lũy thừa đầu tiên: $M^1 = begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 end{pmatrix}$, $M^2 = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 end{pmatrix}$, $M^3 = begin{pmatrix} 1 & 3 \ 0 & 1 end{pmatrix}$. Dự đoán $M^n = begin{pmatrix} 1 & n \ 0 & 1 end{pmatrix}$. Có thể chứng minh bằng quy nạp.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 12

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 1: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 2 & 1 \ 4 & 3 end{pmatrix}$. Nếu $A^{-1} = begin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix}$, tính giá trị của $a+d$. Câu hỏi này kiểm tra khả năng tìm ma trận nghịch đảo cấp 2 và tính toán dựa trên các phần tử của nó.

5/2

3/2

Định thức của A là det(A) = (2*3) - (1*4) = 6 - 4 = 2. Ma trận phụ hợp của A là $begin{pmatrix} 3 & -1 \ -4 & 2 end{pmatrix}$. Ma trận nghịch đảo $A^{-1} = frac{1}{det(A)} adj(A) = frac{1}{2} begin{pmatrix} 3 & -1 \ -4 & 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 3/2 & -1/2 \ -2 & 1 end{pmatrix}$. Vậy $a=3/2$ và $d=1$. $a+d = 3/2 + 1 = 5/2$.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 2: Cho hai ma trận $A$ và $B$ là các ma trận vuông cấp $n$. Mệnh đề nào sau đây luôn đúng?

$det(AB) = det(A)det(B)$

$det(A+B) = det(A) + det(B)$

$det(2A) = 2 det(A)$

$det(A^T) = -det(A)$

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về các tính chất của định thức. det(AB) = det(A)det(B) là một tính chất cơ bản của định thức. det(A+B) không nhất thiết bằng det(A)+det(B). det(2A) = $2^n$ det(A), không phải 2 det(A). det($A^T$) = det(A).

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 3: Xét hệ phương trình tuyến tính $AX=B$. Nếu ma trận mở rộng $bar{A} = (A|B)$ có hạng bằng hạng của ma trận $A$, và hạng này nhỏ hơn số ẩn, thì hệ phương trình có tính chất gì?

Hệ vô nghiệm.

Hệ có vô số nghiệm.

Hệ có nghiệm duy nhất.

Không thể kết luận về số nghiệm nếu không biết cụ thể ma trận A và B.

Câu hỏi kiểm tra khả năng phân tích điều kiện tồn tại nghiệm và số lượng nghiệm của hệ phương trình tuyến tính dựa vào định lý Kronecker-Capelli (hay Rouché-Capelli). Nếu $rank(A) = rank(bar{A})$, hệ có nghiệm. Nếu hạng này bằng số ẩn, nghiệm là duy nhất. Nếu hạng này nhỏ hơn số ẩn, hệ có vô số nghiệm.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 4: Trong không gian vectơ $R^3$, xét tập hợp $W = {(x, y, z) in R^3 mid x - 2y + 3z = 0}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng về W?

W là một không gian con của $R^3$ có số chiều là 2.

W là một không gian con của $R^3$ có số chiều là 1.

W không phải là không gian con của $R^3$.

W là một không gian con của $R^3$ có số chiều là 3.

Câu hỏi kiểm tra khả năng xác định không gian con. W là tập nghiệm của một phương trình tuyến tính thuần nhất. Tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn là một không gian con. W chứa vectơ không (0,0,0) vì 0 - 2*0 + 3*0 = 0. W đóng với phép cộng: nếu $(x_1, y_1, z_1) in W$ và $(x_2, y_2, z_2) in W$, tức $x_1 - 2y_1 + 3z_1 = 0$ và $x_2 - 2y_2 + 3z_2 = 0$, thì $(x_1+x_2) - 2(y_1+y_2) + 3(z_1+z_2) = (x_1 - 2y_1 + 3z_1) + (x_2 - 2y_2 + 3z_2) = 0+0=0$, nên $(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2) in W$. W đóng với phép nhân vô hướng: nếu $(x,y,z) in W$ và $c in R$, tức $x - 2y + 3z = 0$, thì $c(x - 2y + 3z) = cx - 2cy + 3cz = 0$, nên $(cx, cy, cz) in W$. Vậy W là một không gian con.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 5: Cho hệ vectơ $S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (2, 3, 4)}$ trong $R^3$. Hệ vectơ này có tính chất gì?

Độc lập tuyến tính và là cơ sở của $R^3$.

Phụ thuộc tuyến tính.

Độc lập tuyến tính nhưng không là cơ sở của $R^3$.

Sinh ra $R^3$ nhưng không độc lập tuyến tính.

Câu hỏi kiểm tra khả năng xác định tính độc lập tuyến tính của một hệ vectơ. Ta xét phương trình $c_1(1, 2, 3) + c_2(0, 1, 2) + c_3(2, 3, 4) = (0, 0, 0)$, dẫn đến hệ phương trình: $c_1 + 2c_3 = 0$, $2c_1 + c_2 + 3c_3 = 0$, $3c_1 + 2c_2 + 4c_3 = 0$. Ma trận hệ số là $begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \ 2 & 1 & 3 \ 3 & 2 & 4 end{pmatrix}$. Ta có thể thấy $(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)$. Kiểm tra lại: $(1,2,3)+(0,1,2) = (1,3,5)$. Không phải. Kiểm tra độc lập tuyến tính bằng định thức hoặc khử Gauss. $begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \ 2 & 1 & 3 \ 3 & 2 & 4 end{vmatrix} = 1(4-6) - 0 + 2(4-3) = -2 + 2(1) = 0$. Vì định thức bằng 0, hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính. Cụ thể, $(2,3,4) = 2(1,2,3) - (0,1,2)$.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 6: Cho ánh xạ $T: R^2 o R^3$ xác định bởi $T(x, y) = (x+y, x-y, 2x+3y)$. Tìm ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính T theo cơ sở chính tắc của $R^2$ và $R^3$.

$begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \ 2 & 3 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \ 1 & -1 & 3 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \ 2 & 3 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính. Cột của ma trận là ảnh của các vectơ cơ sở chính tắc qua ánh xạ T. Cơ sở chính tắc của $R^2$ là $e_1=(1,0)$ và $e_2=(0,1)$. $T(e_1) = T(1,0) = (1+0, 1-0, 2(1)+3(0)) = (1, 1, 2)$. $T(e_2) = T(0,1) = (0+1, 0-1, 2(0)+3(1)) = (1, -1, 3)$. Ma trận biểu diễn có các cột là $T(e_1)$ và $T(e_2)$.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 7: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 3 & 1 \ 2 & 2 end{pmatrix}$. Tìm các giá trị riêng (eigenvalues) của ma trận A.

$1, 2$

$1, 4$

$2, 3$

$0, 5$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tìm giá trị riêng của ma trận. Giá trị riêng $lambda$ thỏa mãn phương trình đặc trưng $det(A - lambda I) = 0$. $A - lambda I = begin{pmatrix} 3-lambda & 1 \ 2 & 2-lambda end{pmatrix}$. $det(A - lambda I) = (3-lambda)(2-lambda) - 1(2) = 6 - 3lambda - 2lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4 = 0$. Phương trình này có nghiệm $(lambda-1)(lambda-4)=0$, vậy $lambda_1 = 1$ và $lambda_2 = 4$.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 8: Cho hệ phương trình $x + 2y = 5$, $3x + ay = b$. Tìm điều kiện của $a$ và $b$ để hệ có vô số nghiệm.

$a=6, b ne 15$

$a ne 6$

$a=6, b=15$

$a=6$ và $b=15$

Câu hỏi kiểm tra khả năng phân tích điều kiện vô số nghiệm của hệ 2 phương trình 2 ẩn. Hệ có vô số nghiệm khi hai phương trình là phụ thuộc tuyến tính, tức là phương trình thứ hai là bội của phương trình thứ nhất. Nhân phương trình thứ nhất với 3 ta được $3x + 6y = 15$. So sánh với phương trình thứ hai $3x + ay = b$, ta cần $a=6$ và $b=15$.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 9: Cho $V$ là không gian vectơ gồm các đa thức bậc không quá 2, $P_2(R)$, với cơ sở chính tắc $B = {1, x, x^2}$. Tìm tọa độ của đa thức $p(x) = 3x^2 - 5x + 2$ theo cơ sở B.

$(2, -5, 3)$

$(3, -5, 2)$

$(2, 3, -5)$

$(-5, 2, 3)$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tìm tọa độ của vectơ (ở đây là đa thức) theo một cơ sở cho trước. Đa thức $p(x) = 2 cdot 1 + (-5) cdot x + 3 cdot x^2$. Các hệ số này chính là tọa độ của $p(x)$ theo cơ sở $B = {1, x, x^2}$.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 10: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}$ và $B = begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$. Tính ma trận $(A+B)^T$.

$begin{pmatrix} 1 & 3 \ 4 & 4 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 4 \ 3 & 4 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & 4 \ 4 & 3 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 0 & 2 \ 4 & 0 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra khả năng thực hiện phép cộng ma trận và chuyển vị. $A+B = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix} + begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1+0 & 2+1 \ 3+1 & 4+0 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 3 \ 4 & 4 end{pmatrix}$. $(A+B)^T = begin{pmatrix} 1 & 4 \ 3 & 4 end{pmatrix}$.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 11: Không gian cột (Column space) của ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 \ 3 & 6 & 9 end{pmatrix}$ có số chiều là bao nhiêu?

Câu hỏi kiểm tra khái niệm không gian cột và mối liên hệ với hạng của ma trận. Số chiều của không gian cột bằng hạng (rank) của ma trận. Ta thực hiện phép khử Gauss để tìm hạng: $begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 \ 3 & 6 & 9 end{pmatrix} o begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$ (nhân dòng 1 với -2 cộng vào dòng 2, nhân dòng 1 với -3 cộng vào dòng 3). Ma trận bậc thang có 1 dòng khác 0, nên hạng của A là 1. Số chiều của không gian cột là 1.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 12: Cho $V$ là không gian vectơ $R^2$ và $W$ là không gian con sinh bởi vectơ $(1, -1)$. Mô tả hình học của không gian con $W$ trong $R^2$ là gì?

Một điểm (gốc tọa độ).

Một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

Toàn bộ mặt phẳng $R^2$.

Một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.

Câu hỏi kiểm tra khả năng diễn giải hình học của không gian con sinh bởi một vectơ trong $R^2$. Không gian con sinh bởi một vectơ khác vectơ không là tập hợp tất cả các bội vô hướng của vectơ đó. Tập hợp này tạo thành một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và chứa vectơ đó.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 13: Cho ánh xạ tuyến tính $T: R^2 o R^2$ có ma trận biểu diễn theo cơ sở chính tắc là $A = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 end{pmatrix}$. Ảnh (Image) của ánh xạ T, Im(T), có số chiều là bao nhiêu?

Không xác định được.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm ảnh của ánh xạ tuyến tính và mối liên hệ với hạng của ma trận biểu diễn. Số chiều của Im(T) bằng hạng của ma trận A. $A = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 end{pmatrix}$. Dòng 2 là 2 lần dòng 1. Khử Gauss: $begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 0 end{pmatrix}$. Hạng của A là 1. Vậy số chiều của Im(T) là 1.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 14: Cho ma trận $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Ma trận $A$ khả nghịch khi và chỉ khi:

det(A) = 0

rank(A) < n

Hệ phương trình $AX=0$ có vô số nghiệm.

Các vectơ cột của A độc lập tuyến tính.

Câu hỏi kiểm tra các điều kiện tương đương của ma trận khả nghịch. Một ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. Hạng của ma trận bằng cấp của nó ($n$). Hệ phương trình $AX=0$ chỉ có nghiệm tầm thường ($X=0$). Các cột (hoặc dòng) của ma trận độc lập tuyến tính.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 15: Cho $u = (1, -2, 3)$ và $v = (2, 1, -1)$ trong $R^3$. Tính tích vô hướng $u cdot v$.

$(2, -2, -3)$

$13$

$-3$

$0$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tính tích vô hướng của hai vectơ. $u cdot v = (1)(2) + (-2)(1) + (3)(-1) = 2 - 2 - 3 = -3$.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 16: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 end{pmatrix}$. Ma trận này có thể chéo hóa được không?

Có.

Không.

Chỉ khi trường số là số phức.

Chỉ khi ma trận là ma trận đối xứng.

Câu hỏi kiểm tra điều kiện chéo hóa của ma trận. Ma trận chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại cơ sở gồm các vectơ riêng. Giá trị riêng của ma trận tam giác trên là các phần tử trên đường chéo chính: $lambda_1 = 1, lambda_2 = 1$. Bội đại số của $lambda=1$ là 2. Ta cần tìm số chiều của không gian riêng ứng với $lambda=1$, là $dim(Ker(A-I))$. $A-I = begin{pmatrix} 1-1 & 1 \ 0 & 1-1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$. Hệ phương trình $(A-I)X=0$ là $0x+1y=0$, $0x+0y=0$, tương đương $y=0$. Các vectơ trong không gian riêng có dạng $(x, 0) = x(1, 0)$. Không gian riêng này có cơ sở là ${(1,0)}$, số chiều là 1. Vì số chiều của không gian riêng (1) nhỏ hơn bội đại số của giá trị riêng (2), ma trận A không chéo hóa được.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 17: Cho $V$ là không gian vectơ $R^3$. Tập hợp nào sau đây là một không gian con của $R^3$?

${(x, y, z) mid x+y+z = 1}$

${(x, y, z) mid xyz = 0}$

${(x, y, z) mid x = y text{ và } y = z}$

${(x, y, z) mid x ge 0, y ge 0, z ge 0}$

Câu hỏi kiểm tra khả năng nhận diện không gian con. Một tập hợp là không gian con nếu nó chứa vectơ không, đóng với phép cộng vectơ và đóng với phép nhân vô hướng. A không chứa vectơ không. B không đóng với phép cộng (ví dụ (1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0) không thuộc B). C là tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ($x-y=0$ và $y-z=0$), đây luôn là không gian con. D không đóng với phép nhân vô hướng (ví dụ (1,1,1) thuộc D, nhưng 2*(1,1,1)=(2,2,2) không thuộc D).

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 18: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 4 & 1 \ 0 & 0 & 5 end{pmatrix}$. Định thức của ma trận $A^2$ là bao nhiêu?

100

400

Câu hỏi kiểm tra tính chất định thức của tích ma trận và ma trận tam giác. det(A) của ma trận tam giác trên là tích các phần tử trên đường chéo chính: det(A) = 1 * 4 * 5 = 20. det($A^2$) = det(A * A) = det(A) * det(A) = 20 * 20 = 400.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 19: Cho hệ phương trình tuyến tính $x + y = 3$, $2x + 2y = k$. Hệ phương trình này vô nghiệm khi:

$k = 6$

$k = 0$

$k ne 6$

Luôn có nghiệm với mọi giá trị của k.

Câu hỏi kiểm tra điều kiện vô nghiệm của hệ 2 phương trình 2 ẩn. Nhân phương trình thứ nhất với 2 ta được $2x + 2y = 6$. So sánh với phương trình thứ hai $2x + 2y = k$. Hệ vô nghiệm khi vế trái giống nhau nhưng vế phải khác nhau, tức là $k ne 6$.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 20: Cho ánh xạ $T: R^2 to R^2$ xác định bởi $T(x, y) = (2x-y, x+3y)$. Vectơ nào sau đây thuộc không gian hạt nhân (Kernel) của ánh xạ T?

$(0, 0)$

$(1, 2)$

$(-1, 2)$

$(2, -1)$

Câu hỏi kiểm tra khái niệm không gian hạt nhân (Kernel). Kernel của T là tập hợp các vectơ $v$ sao cho $T(v) = 0$. Ta cần tìm $(x,y)$ sao cho $(2x-y, x+3y) = (0,0)$, tức là giải hệ: $2x - y = 0$, $x + 3y = 0$. Từ phương trình thứ nhất, $y = 2x$. Thay vào phương trình thứ hai: $x + 3(2x) = 0 implies x + 6x = 0 implies 7x = 0 implies x=0$. Nếu $x=0$, thì $y = 2(0) = 0$. Vậy chỉ có vectơ $(0,0)$ thuộc Kernel của T. Ánh xạ T là đơn ánh (injective).

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 21: Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có $det(A) = 5$. Tính $det(A^{-1})$.

$5$

$1/5$

$-5$

Không xác định được nếu không biết n.

Câu hỏi kiểm tra tính chất định thức của ma trận nghịch đảo. $det(A^{-1}) = 1/det(A)$.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 22: Trong không gian vectơ $R^3$, hệ vectơ nào sau đây là một cơ sở của $R^3$?

${(1, 0, 0), (0, 1, 0)}$

${(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}$

${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$

${(1, 1, 2), (2, 0, 2), (3, 1, 4)}$

Câu hỏi kiểm tra khái niệm cơ sở của không gian vectơ. Một cơ sở của $R^3$ phải gồm 3 vectơ độc lập tuyến tính. Hệ A có 2 vectơ, không thể sinh ra $R^3$. Hệ B có 4 vectơ, chắc chắn phụ thuộc tuyến tính trong $R^3$. Hệ C có 3 vectơ. Ta kiểm tra tính độc lập tuyến tính bằng định thức: $begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{vmatrix} = 1
e 0$. Vậy hệ C độc lập tuyến tính và do đó là cơ sở của $R^3$. Hệ D có 3 vectơ, kiểm tra định thức: $begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \ 2 & 0 & 2 \ 3 & 1 & 4 end{vmatrix} = 1(0-2) - 1(8-6) + 2(2-0) = -2 - 2 + 4 = 0$. Hệ D phụ thuộc tuyến tính.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 23: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 4 end{pmatrix}$. Ma trận $A^3$ là gì?

$begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \ 0 & 9 & 0 \ 0 & 0 & 12 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \ 0 & 27 & 0 \ 0 & 0 & 16 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 4 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \ 0 & 27 & 0 \ 0 & 0 & 64 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra khả năng lũy thừa ma trận chéo. Lũy thừa của ma trận chéo là ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo được lũy thừa tương ứng.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 24: Cho ánh xạ tuyến tính $T: R^2 o R^3$ có ma trận biểu diễn là $A = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 end{pmatrix}$. Tìm $T(3, -1)$.

$(1, 5, 9)$

$(3, -1)$

$(-1, 5, 9)$

$(1, -5, 9)$

Câu hỏi kiểm tra khả năng áp dụng ma trận biểu diễn để tìm ảnh của một vectơ qua ánh xạ tuyến tính. Ánh xạ của vectơ $v$ được tính bằng tích ma trận A với vectơ tọa độ của $v$ (theo cơ sở chính tắc). $T(3, -1) = A begin{pmatrix} 3 \ -1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 end{pmatrix} begin{pmatrix} 3 \ -1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1(3) + 2(-1) \ 3(3) + 4(-1) \ 5(3) + 6(-1) end{pmatrix} = begin{pmatrix} 3 - 2 \ 9 - 4 \ 15 - 6 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 \ 5 \ 9 end{pmatrix}$.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 25: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & k \ 2 & 4 end{pmatrix}$. Tìm giá trị của $k$ để ma trận A có hạng (rank) bằng 1.

Câu hỏi kiểm tra mối liên hệ giữa hạng của ma trận cấp 2 và định thức. Ma trận cấp 2 có hạng bằng 1 khi và chỉ khi nó không phải ma trận không và định thức của nó bằng 0. Ma trận A không phải ma trận không. det(A) = $1(4) - k(2) = 4 - 2k$. Để hạng bằng 1, ta cần det(A) = 0, tức là $4 - 2k = 0 implies 2k = 4 implies k = 2$.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 26: Cho $V$ là không gian vectơ $R^3$ và $W = span{(1, 0, 1), (0, 1, 1)}$. Vectơ nào sau đây thuộc không gian con $W$?

$(1, 1, 1)$

$(1, 1, 2)$

$(1, 1, 0)$

$(0, 0, 1)$

Câu hỏi kiểm tra khái niệm không gian sinh bởi một tập hợp các vectơ. Một vectơ thuộc $W$ nếu nó là tổ hợp tuyến tính của các vectơ sinh ra W. Ta cần kiểm tra xem vectơ nào có dạng $c_1(1, 0, 1) + c_2(0, 1, 1) = (c_1, c_2, c_1+c_2)$. Kiểm tra các phương án: A: $(1,1,1)$. $c_1=1, c_2=1$. $c_1+c_2 = 1+1=2 ne 1$. Sai. B: $(1,1,2)$. $c_1=1, c_2=1$. $c_1+c_2 = 1+1=2$. Đúng. C: $(1,1,0)$. $c_1=1, c_2=1$. $c_1+c_2 = 2 ne 0$. Sai. D: $(0,0,1)$. $c_1=0, c_2=0$. $c_1+c_2 = 0 ne 1$. Sai.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 27: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}$. Tính ma trận phụ hợp (adjugate) của A.

$begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 4 & -3 \ -2 & 1 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 1 & -2 \ -3 & 4 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tính ma trận phụ hợp cấp 2. Đối với ma trận $A = begin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix}$, ma trận phụ hợp là $adj(A) = begin{pmatrix} d & -b \ -c & a end{pmatrix}$. Áp dụng cho ma trận A: $adj(A) = begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 end{pmatrix}$.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 28: Cho không gian vectơ $R^3$ với tích vô hướng chính tắc. Tìm vectơ trực giao (orthogonal) với cả hai vectơ $u = (1, 1, 0)$ và $v = (0, 1, 1)$.

$(1, 1, 1)$

$(-1, -1, 1)$

$(1, -1, 1)$

$(1, 0, 0)$

Câu hỏi kiểm tra khái niệm vectơ trực giao và khả năng tìm vectơ trực giao với một tập hợp cho trước (sử dụng tích có hướng hoặc giải hệ phương trình). Một vectơ $(x,y,z)$ trực giao với u nếu $u cdot (x,y,z) = 0 implies x+y=0$. Một vectơ $(x,y,z)$ trực giao với v nếu $v cdot (x,y,z) = 0 implies y+z=0$. Ta giải hệ: $x+y=0$, $y+z=0$. Từ phương trình thứ nhất, $y=-x$. Từ phương trình thứ hai, $z=-y = -(-x) = x$. Vậy các vectơ có dạng $(x, -x, x) = x(1, -1, 1)$. Chọn x=1 ta được vectơ $(1, -1, 1)$.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 29: Cho ánh xạ tuyến tính $T: R^3 o R^2$ xác định bởi $T(x, y, z) = (x-y+z, 2x+y-z)$. Hạng (rank) của ánh xạ tuyến tính T là bao nhiêu?

Câu hỏi kiểm tra khái niệm hạng của ánh xạ tuyến tính và mối liên hệ với hạng của ma trận biểu diễn. Hạng của T bằng số chiều của Im(T), và bằng hạng của ma trận biểu diễn A. Ma trận biểu diễn theo cơ sở chính tắc là $A = begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \ 2 & 1 & -1 end{pmatrix}$. Ta tìm hạng của A bằng khử Gauss: $begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \ 2 & 1 & -1 end{pmatrix} o begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \ 0 & 3 & -3 end{pmatrix}$ (nhân dòng 1 với -2 cộng vào dòng 2). Ma trận bậc thang có 2 dòng khác 0, nên hạng của A là 2. Hạng của T là 2.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 12

Câu 30: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 5 & 0 \ 0 & 5 end{pmatrix}$. Vectơ nào sau đây là vectơ riêng của A?

$(1, 0)$

$(0, 0)$

$(5, 5)$

Không có vectơ riêng nào.

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm vectơ riêng. Vectơ riêng $v
e 0$ ứng với giá trị riêng $lambda$ nếu $Av = lambda v$. Ma trận A là ma trận vô hướng $5I$. Với mọi vectơ $v = (x,y)$, $Av = begin{pmatrix} 5 & 0 \ 0 & 5 end{pmatrix} begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = begin{pmatrix} 5x \ 5y end{pmatrix} = 5 begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = 5v$. Vậy mọi vectơ khác không trong $R^2$ là vectơ riêng ứng với giá trị riêng $lambda=5$. Ta chỉ cần tìm một vectơ khác không trong các phương án. (1,0) là một vectơ khác không.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 13

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 1: Cho ma trận A cấp 3 có det(A) = 5. Tính det(2A^T A^-1).

5/2

2/5

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về các tính chất của định thức: det(kA) = k^n det(A), det(A^T) = det(A), det(A^-1) = 1/det(A), det(AB) = det(A)det(B). Với ma trận A cấp 3, ta có det(2A^T A^-1) = det(2A^T) det(A^-1) = (2^3 det(A^T)) (1/det(A)) = (8 det(A)) (1/det(A)) = 8 * 5 * (1/5) = 8.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 2: Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Tìm ma trận X thỏa mãn AX = [[1], [0]].

[[2], [-3/2]]

[[-2], [3/2]]

[[1, 0], [0, 1]]

[[4, -2], [-3, 1]]

Câu hỏi yêu cầu giải phương trình ma trận đơn giản. Ta cần tìm ma trận nghịch đảo của A. det(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2. A nghịch đảo tồn tại. A^-1 = 1/det(A) * adj(A)^T = 1/(-2) * [[4, -2], [-3, 1]] = [[-2, 1], [3/2, -1/2]]. Khi đó X = A^-1 * [[1], [0]] = [[-2, 1], [3/2, -1/2]] * [[1], [0]] = [[-2*1 + 1*0], [3/2*1 + (-1/2)*0]] = [[-2], [3/2]].

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 3: Hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng là [[1, 2, -1 | 3], [0, 1, 2 | 1], [0, 0, m^2-4 | m-2]]. Tìm giá trị của m để hệ có vô số nghiệm.

m = -2

m ≠ 2 và m ≠ -2

m = 2

Không có giá trị m nào

Hệ phương trình có vô số nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số (rank(A)) bằng hạng của ma trận mở rộng (rank(Abar)) và nhỏ hơn số ẩn. Từ ma trận bậc thang đã cho, rank(A) và rank(Abar) phụ thuộc vào hàng cuối cùng. Để có vô số nghiệm, hàng cuối cùng phải là hàng không (0 0 0 | 0). Điều này xảy ra khi m^2 - 4 = 0 VÀ m - 2 = 0. m^2 - 4 = 0 khi m = 2 hoặc m = -2. m - 2 = 0 khi m = 2. Để cả hai điều kiện cùng đúng, ta cần m = 2. Khi m = 2, hàng cuối cùng là [0, 0, 0 | 0], rank(A) = rank(Abar) = 2, số ẩn là 3. 2 < 3, nên hệ có vô số nghiệm.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 4: Cho tập hợp S = {(1, -1, 2), (2, 1, m), (4, -1, m+4)} trong không gian R^3. Tìm giá trị của m để S là một hệ sinh của R^3.

m = 0

m = -2

m ≠ 0

Không có giá trị m nào

Một hệ gồm 3 vectơ trong R^3 là hệ sinh của R^3 khi và chỉ khi nó là một cơ sở của R^3. Điều này tương đương với việc hệ vectơ đó độc lập tuyến tính. Ba vectơ trong R^3 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi ma trận tạo bởi các vectơ đó có định thức khác 0. Lập ma trận từ các vectơ cột: A = [[1, 2, 4], [-1, 1, -1], [2, m, m+4]]. Tính det(A): det(A) = 1*(1*(m+4) - (-1)*m) - 2*((-1)*(m+4) - (-1)*2) + 4*((-1)*m - 1*2) = (m+4+m) - 2*(-m-4+2) + 4*(-m-2) = (2m+4) - 2*(-m-2) + (-4m-8) = 2m+4 + 2m+4 - 4m-8 = (2m+2m-4m) + (4+4-8) = 0. Định thức của ma trận này luôn bằng 0 với mọi giá trị của m. Do đó, ba vectơ này luôn phụ thuộc tuyến tính và không thể là hệ sinh của R^3. Không có giá trị m nào thỏa mãn.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 5: Cho không gian con W = {(x, y, z) thuộc R^3 | x - 2y + 3z = 0}. Tìm một cơ sở của W.

{(2, 1, 0), (-3, 0, 1)}

{(1, -2, 3)}

{(1, 2, 0), (-3, 0, -1)}

{(1, -2, 3), (0, 0, 0)}

Không gian con W được định nghĩa bởi một phương trình tuyến tính đồng nhất. Phương trình x - 2y + 3z = 0 có 3 ẩn và 1 phương trình, nên số biến tự do là 3 - 1 = 2. Chọn y và z làm biến tự do: y = a, z = b. Từ phương trình, x = 2y - 3z = 2a - 3b. Mọi vectơ trong W có dạng (2a - 3b, a, b) = a(2, 1, 0) + b(-3, 0, 1). Vậy W được sinh bởi {(2, 1, 0), (-3, 0, 1)}. Hai vectơ này không tỷ lệ với nhau nên độc lập tuyến tính. Do đó, {(2, 1, 0), (-3, 0, 1)} là một cơ sở của W.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 6: Cho ma trận A = [[2, 1], [1, 2]]. Tìm các giá trị riêng (eigenvalues) của A.

lambda = 2, 1

lambda = 0, 4

lambda = 1, 3

lambda = -1, -3

Giá trị riêng lambda của ma trận A là nghiệm của phương trình đặc trưng det(A - lambda*I) = 0. Với A = [[2, 1], [1, 2]], ma trận A - lambda*I = [[2-lambda, 1], [1, 2-lambda]]. det(A - lambda*I) = (2-lambda)(2-lambda) - 1*1 = (2-lambda)^2 - 1 = 4 - 4lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 4lambda + 3. Giải phương trình lambda^2 - 4lambda + 3 = 0: (lambda - 1)(lambda - 3) = 0. Các nghiệm là lambda1 = 1 và lambda2 = 3.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 7: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^2 -> R^3 xác định bởi f(x, y) = (x + 2y, x - y, 3y). Tìm ma trận biểu diễn f theo cơ sở chính tắc của R^2 và R^3.

[[1, 1, 0], [2, -1, 3]]

[[1, 2], [1, -1], [0, 3]]

[[1, 1], [2, -1], [0, 3]]

[[1, 2, 3], [2, -1, 0]]

Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cơ sở chính tắc được tạo bởi các vectơ ảnh của các vectơ cơ sở chính tắc. Cơ sở chính tắc của R^2 là e1 = (1, 0) và e2 = (0, 1). Tính ảnh của chúng: f(1, 0) = (1 + 2*0, 1 - 0, 3*0) = (1, 1, 0). f(0, 1) = (0 + 2*1, 0 - 1, 3*1) = (2, -1, 3). Ma trận biểu diễn f có các cột là các vectơ ảnh này: [[1, 2], [1, -1], [0, 3]].

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 8: Cho W1 và W2 là hai không gian con của không gian vectơ V. Mệnh đề nào sau đây SAI?

W1 giao W2 luôn là không gian con của V.

W1 hợp W2 là không gian con của V khi và chỉ khi W1 chứa W2 hoặc W2 chứa W1.

dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1 giao W2).

W1 hợp W2 luôn là không gian con của V.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 9: Cho ma trận A = [[1, 1], [0, 1]]. Tính A^100.

[[1, 100], [0, 1]]

[[1^100, 1^100], [0^100, 1^100]]

[[1, 1], [0, 1]]

[[100, 100], [0, 100]]

Câu hỏi yêu cầu tính lũy thừa bậc cao của ma trận. Ma trận A có dạng đặc biệt. A^2 = [[1, 1], [0, 1]] * [[1, 1], [0, 1]] = [[1*1+1*0, 1*1+1*1], [0*1+1*0, 0*1+1*1]] = [[1, 2], [0, 1]]. A^3 = [[1, 2], [0, 1]] * [[1, 1], [0, 1]] = [[1*1+2*0, 1*1+2*1], [0*1+1*0, 0*1+1*1]] = [[1, 3], [0, 1]]. Ta nhận thấy một quy luật: A^n = [[1, n], [0, 1]]. Áp dụng cho n=100, A^100 = [[1, 100], [0, 1]].

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 10: Cho hệ vectơ S = {(1, 2, -1), (2, 4, -2), (-1, -2, 1)} trong R^3. Tìm số chiều của không gian con sinh bởi S (dim(span(S))).

Không gian con sinh bởi S là không gian cột của ma trận tạo bởi các vectơ trong S. Lập ma trận với các vectơ là các cột: A = [[1, 2, -1], [2, 4, -2], [-1, -2, 1]]. Số chiều của không gian con sinh bởi S bằng hạng của ma trận A. Biến đổi sơ cấp trên dòng để tìm hạng: R2 = R2 - 2*R1, R3 = R3 + R1. A ~ [[1, 2, -1], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]. Ma trận bậc thang có 1 hàng khác không. Vậy hạng của A là 1. Số chiều của span(S) là 1.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 11: Cho ma trận A vuông cấp n. Mệnh đề nào sau đây TƯƠNG ĐƯƠNG với việc A khả nghịch?

det(A) = 0

Hệ phương trình AX = 0 có vô số nghiệm.

Hạng của A nhỏ hơn n.

Các cột của A tạo thành một hệ độc lập tuyến tính.

Câu hỏi kiểm tra các điều kiện tương đương với ma trận khả nghịch (Định lý về ma trận khả nghịch). A. det(A) = 0 (Sai, khả nghịch khi det(A) ≠ 0). B. Hệ phương trình AX = 0 có vô số nghiệm (Sai, hệ AX=0 có nghiệm duy nhất X=0 khi A khả nghịch). C. Hạng của A nhỏ hơn n (Sai, hạng của A bằng n khi A khả nghịch). D. Các cột của A tạo thành một hệ độc lập tuyến tính (Đúng, đây là một trong những điều kiện tương đương với A khả nghịch).

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 12: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^2 -> R^2 có ma trận biểu diễn theo cơ sở chính tắc là A = [[2, -1], [1, 3]]. Tìm ảnh của vectơ v = (3, -2) qua ánh xạ f.

(8, -3)

(4, 7)

(1, 5)

(-1, 5)

Ảnh của một vectơ v qua ánh xạ tuyến tính f được tính bằng cách nhân ma trận biểu diễn của f với vectơ tọa độ của v (theo cơ sở tương ứng, ở đây là cơ sở chính tắc). Vectơ v = (3, -2) có vectơ cột tọa độ là [[3], [-2]]. f(v) có vectơ tọa độ là A * [[3], [-2]] = [[2, -1], [1, 3]] * [[3], [-2]] = [[2*3 + (-1)*(-2)], [1*3 + 3*(-2)]] = [[6 + 2], [3 - 6]] = [[8], [-3]]. Vậy ảnh của v là vectơ (8, -3).

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 13: Cho W là không gian con của R^4 sinh bởi các vectơ v1=(1, -1, 0, 2), v2=(2, 1, 3, -1), v3=(4, -1, 3, 3). Tìm một cơ sở cho W.

{(1, -1, 0, 2), (2, 1, 3, -1), (4, -1, 3, 3)}

{(1, -1, 0, 2), (2, 1, 3, -1)}

{(1, -1, 0, 2), (0, 3, 3, -5)}

{(1, -1, 0, 2), (0, 3, 3, -5), (0, 0, 0, 0)}

Cơ sở cho không gian con sinh bởi một hệ vectơ là một tập con độc lập tuyến tính tối đại của hệ đó. Ta lập ma trận với các vectơ là hàng (hoặc cột) và biến đổi về dạng bậc thang để xác định các vectơ độc lập tuyến tính. Lập ma trận với các hàng là v1, v2, v3: A = [[1, -1, 0, 2], [2, 1, 3, -1], [4, -1, 3, 3]]. Biến đổi sơ cấp trên dòng: R2 = R2 - 2*R1, R3 = R3 - 4*R1. A ~ [[1, -1, 0, 2], [0, 3, 3, -5], [0, 3, 3, -5]]. R3 = R3 - R2. A ~ [[1, -1, 0, 2], [0, 3, 3, -5], [0, 0, 0, 0]]. Các hàng khác không của ma trận bậc thang tạo thành một cơ sở cho không gian hàng, đồng thời số hàng khác không là hạng của ma trận, bằng số chiều của không gian cột (không gian sinh bởi các vectơ ban đầu). Các hàng khác không là (1, -1, 0, 2) và (0, 3, 3, -5). Do đó, một cơ sở cho W là {(1, -1, 0, 2), (0, 3, 3, -5)}. (Lưu ý: Các vectơ cột tương ứng với các cột trụ trong ma trận gốc cũng tạo thành một cơ sở, nhưng tìm cơ sở từ các hàng khác không của ma trận bậc thang thường tiện lợi hơn).

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 14: Cho không gian vectơ P2 là không gian các đa thức bậc không quá 2. Xét tập S = {1 + x, x - x^2, 1 + 2x^2}. Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của S.

Độc lập tuyến tính

Phụ thuộc tuyến tính

Không thể xác định

Là một cơ sở của P2

Câu hỏi kiểm tra tính độc lập tuyến tính trong không gian đa thức. Hệ S độc lập tuyến tính nếu phương trình c1(1 + x) + c2(x - x^2) + c3(1 + 2x^2) = 0 (đa thức không) chỉ có nghiệm duy nhất c1 = c2 = c3 = 0. Mở rộng phương trình: c1 + c1x + c2x - c2x^2 + c3 + 2c3x^2 = 0. Gom các hệ số theo bậc của x: (c1 + c3) + (c1 + c2)x + (-c2 + 2c3)x^2 = 0. Đồng nhất hệ số với đa thức không, ta có hệ phương trình tuyến tính đồng nhất: c1 + c3 = 0; c1 + c2 = 0; -c2 + 2c3 = 0. Từ pt 1: c3 = -c1. Từ pt 2: c2 = -c1. Thay vào pt 3: -(-c1) + 2(-c1) = 0 => c1 - 2c1 = 0 => -c1 = 0 => c1 = 0. Suy ra c2 = -0 = 0 và c3 = -0 = 0. Hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường c1 = c2 = c3 = 0. Vậy S là hệ độc lập tuyến tính.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 15: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^3 -> R^2 có ma trận biểu diễn theo cơ sở chính tắc là A = [[1, -1, 2], [0, 1, -1]]. Tìm m???t cơ sở cho hạt nhân (kernel) của f (ker(f)).

{(1, 0)}

{(-1, 1, 1)}

{(1, -1, 2), (0, 1, -1)}

{(1, -1, 2)}

Hạt nhân của f là tập hợp các vectơ v thuộc R^3 sao cho f(v) = 0. Điều này tương đương với giải hệ phương trình tuyến tính đồng nhất Av = 0. Với A = [[1, -1, 2], [0, 1, -1]], hệ Av = 0 là: x - y + 2z = 0; y - z = 0. Từ pt 2: y = z. Thay vào pt 1: x - z + 2z = 0 => x + z = 0 => x = -z. Chọn z làm biến tự do, z = a. Khi đó y = a, x = -a. Vectơ nghiệm có dạng (-a, a, a) = a(-1, 1, 1). Vậy hạt nhân của f là không gian con sinh bởi vectơ (-1, 1, 1). Một cơ sở cho ker(f) là {(-1, 1, 1)}. Số chiều của ker(f) là 1.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 16: Cho ma trận A = [[3, 1], [0, 3]]. Tìm một vectơ riêng (eigenvector) ứng với giá trị riêng lambda = 3.

(1, 0)

(0, 1)

(3, 0)

(1, 1)

Vectơ riêng v ứng với giá trị riêng lambda thỏa mãn Av = lambda*v, hay (A - lambda*I)v = 0. Với lambda = 3, ma trận A - 3I = [[3-3, 1], [0, 3-3]] = [[0, 1], [0, 0]]. Hệ phương trình (A - 3I)v = 0 với v = [[x], [y]] là: 0x + 1y = 0; 0x + 0y = 0. Từ pt 1, y = 0. x là biến tự do. Chọn x = 1 (miễn là x khác 0). Vectơ riêng có dạng [[x], [0]] = x*[[1], [0]]. Một vectơ riêng ứng với lambda=3 là (1, 0).

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 17: Cho ma trận A = [[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]. Tính định thức của ma trận (A^2 + 2I), trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp.

198

Ma trận A là ma trận đường chéo. A^2 = [[1^2, 0, 0], [0, 2^2, 0], [0, 0, 3^2]] = [[1, 0, 0], [0, 4, 0], [0, 0, 9]]. Ma trận 2I = [[2, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 2]]. A^2 + 2I = [[1+2, 0, 0], [0, 4+2, 0], [0, 0, 9+2]] = [[3, 0, 0], [0, 6, 0], [0, 0, 11]]. Đây là ma trận đường chéo. Định thức của ma trận đường chéo bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. det(A^2 + 2I) = 3 * 6 * 11 = 18 * 11 = 198.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 18: Trong không gian R^3 với tích vô hướng chính tắc, cho hai vectơ u = (1, 2, -1) và v = (2, k, 4). Tìm giá trị của k để u và v trực giao.

-1

Hai vectơ trực giao khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Tích vô hướng chính tắc của u = (u1, u2, u3) và v = (v1, v2, v3) là u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3. Ta có u.v = 1*2 + 2*k + (-1)*4 = 2 + 2k - 4 = 2k - 2. Để u và v trực giao, 2k - 2 = 0. Giải phương trình: 2k = 2 => k = 1.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 19: Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Tìm ma trận phụ hợp (adjugate) của A.

[[-1, 2], [3, -4]]

[[4, -2], [-3, 1]]

[[4, -3], [-2, 1]]

[[1, 3], [2, 4]]

Ma trận phụ hợp của A, ký hiệu adj(A), là chuyển vị của ma trận các phần bù đại số (cofactor matrix) của A. Ma trận A = [[a11, a12], [a21, a22]]. Ma trận phần bù đại số C = [[C11, C12], [C21, C22]], với Cij = (-1)^(i+j) * Mij (Mij là định thức ma trận con thu được bằng cách bỏ đi hàng i cột j). C11 = (-1)^(1+1) * det([[4]]) = 1 * 4 = 4. C12 = (-1)^(1+2) * det([[3]]) = -1 * 3 = -3. C21 = (-1)^(2+1) * det([[2]]) = -1 * 2 = -2. C22 = (-1)^(2+2) * det([[1]]) = 1 * 1 = 1. Ma trận phần bù đại số C = [[4, -3], [-2, 1]]. Ma trận phụ hợp adj(A) = C^T = [[4, -2], [-3, 1]].

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 20: Cho W1 = span{(1, 1, 0), (1, 0, 1)} và W2 = span{(1, -1, 0), (0, 1, 1)} là hai không gian con của R^3. Tìm số chiều của không gian tổng W1 + W2.

Không gian tổng W1 + W2 được sinh bởi hợp của các cơ sở của W1 và W2. Hệ sinh cho W1+W2 là {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, -1, 0), (0, 1, 1)}. Số chiều của W1+W2 bằng hạng của ma trận tạo bởi các vectơ này. Lập ma trận với các vectơ làm hàng: A = [[1, 1, 0], [1, 0, 1], [1, -1, 0], [0, 1, 1]]. Biến đổi sơ cấp: R2=R2-R1, R3=R3-R1. A ~ [[1, 1, 0], [0, -1, 1], [0, -2, 0], [0, 1, 1]]. R3=R3-2*R2, R4=R4+R2. A ~ [[1, 1, 0], [0, -1, 1], [0, 0, -2], [0, 0, 2]]. R4=R4+R3. A ~ [[1, 1, 0], [0, -1, 1], [0, 0, -2], [0, 0, 0]]. Ma trận bậc thang có 3 hàng khác không. Hạng của ma trận là 3. Vậy dim(W1 + W2) = 3. Do W1+W2 là KG con của R^3 và có dim = 3, nên W1+W2 = R^3.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 21: Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Tìm ma trận nghịch đảo của A.

[[-2, 3/2], [1, -1/2]]

[[4, -2], [-3, 1]]

[[-2, 1], [3/2, -1/2]]

[[1/2, -1], [-3/2, 2]]

Câu hỏi yêu cầu tìm ma trận nghịch đảo. det(A) = 1*4 - 2*3 = -2. A^-1 = 1/det(A) * adj(A). Từ câu 19, adj(A) = [[4, -2], [-3, 1]]. A^-1 = 1/(-2) * [[4, -2], [-3, 1]] = [[-2, 1], [3/2, -1/2]].

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 22: Cho ma trận A cấp 3 có các giá trị riêng là 1, 2, 3. Tính det(A).

Định thức của một ma trận bằng tích của các giá trị riêng của nó (tính cả bội đại số). Với các giá trị riêng là 1, 2, 3, định thức của A là 1 * 2 * 3 = 6.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 23: Cho ánh xạ tuyến tính f: V -> W. Mệnh đề nào sau đây đúng về hạt nhân (ker(f)) và ảnh (Im(f)) của f?

ker(f) là không gian con của W.

Im(f) là không gian con của V.

ker(f) là không gian con của V và Im(f) là không gian con của W.

ker(f) = {0} và Im(f) = W.

Câu hỏi kiểm tra định nghĩa và tính chất của hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính. A. ker(f) là không gian con của W (Sai, ker(f) là tập hợp các vectơ v trong V sao cho f(v)=0, nên ker(f) là không gian con của V). B. Im(f) là không gian con của V (Sai, Im(f) là tập hợp các vectơ w trong W là ảnh của ít nhất một vectơ trong V, nên Im(f) là không gian con của W). C. ker(f) là không gian con của V và Im(f) là không gian con của W (Đúng, đây là định lý cơ bản). D. ker(f) = {0} và Im(f) = W (Sai, điều này chỉ đúng khi f là đẳng cấu).

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 24: Một hệ phương trình tuyến tính AX = B có n ẩn. Biết hạng của ma trận hệ số A là r(A) và hạng của ma trận mở rộng Abar là r(Abar). Hệ có nghiệm duy nhất khi nào?

r(A) < r(Abar)

r(A) = r(Abar) = n

r(A) = r(Abar) < n

r(A) = n

Câu hỏi kiểm tra định lý Kronecker-Capelli về điều kiện có nghiệm và số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng VÀ bằng số ẩn. Điều kiện là r(A) = r(Abar) = n.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 25: Cho không gian vectơ V có cơ sở B = {v1, v2, v3}. Cho vectơ v = 2v1 - 3v2 + v3. Tìm vectơ tọa độ của v đối với cơ sở B.

(2, -3, 1)

(1, 2, -3)

(v1, v2, v3)

(2, -3, 1, 0)

Vectơ tọa độ của một vectơ v đối với một cơ sở B = {v1, v2, ..., vn} là vectơ cột [c1, c2, ..., cn]^T sao cho v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn. Trong trường hợp này, v đã được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong cơ sở B: v = 2v1 - 3v2 + 1v3. Các hệ số của tổ hợp tuyến tính chính là các tọa độ. Vậy vectơ tọa độ của v đối với cơ sở B là (2, -3, 1).

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 26: Cho ma trận A = [[a, b], [c, d]]. Công thức nào sau đây tính đúng ma trận nghịch đảo của A (nếu A khả nghịch)?

1/(ad-bc) * [[a, b], [c, d]]

1/(ad-bc) * [[d, b], [c, a]]

1/(ad-bc) * [[a, -b], [-c, d]]

1/(ad-bc) * [[d, -b], [-c, a]]

Câu hỏi kiểm tra công thức tính ma trận nghịch đảo cấp 2. Ma trận A khả nghịch khi det(A) = ad - bc ≠ 0. Khi đó, A^-1 = 1/det(A) * [[d, -b], [-c, a]].

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 27: Cho không gian vectơ R^3. Tập hợp nào sau đây là một không gian con của R^3?

{(x, y, z) | x + y + z = 1}

{(x, y, z) | x = yz}

{(x, y, z) | x = 2y, z = 0}

{(x, y, z) | x >= 0}

Câu hỏi kiểm tra định nghĩa không gian con. Một tập hợp W là không gian con của V nếu nó chứa vectơ không, đóng dưới phép cộng vectơ và đóng dưới phép nhân với vô hướng. A. Tập hợp các vectơ (x, y, z) sao cho x + y + z = 1. Không chứa vectơ không (0+0+0=0 ≠ 1). B. Tập hợp các vectơ (x, y, z) sao cho x = yz. Không đóng dưới phép cộng: (1,1,1) thỏa mãn (1=1*1), (4,2,2) thỏa mãn (4=2*2). Tổng (5,3,3) không thỏa mãn (5 ≠ 3*3=9). C. Tập hợp các vectơ (x, y, z) sao cho x = 2y và z = 0. Chứa vectơ không (0=2*0, 0=0). Đóng dưới phép cộng: (2y1, y1, 0) + (2y2, y2, 0) = (2(y1+y2), y1+y2, 0), thỏa mãn dạng 2*(y1+y2) = 2(y1+y2) và z=0. Đóng dưới phép nhân vô hướng: k*(2y, y, 0) = (2ky, ky, 0), thỏa mãn dạng 2*ky = 2ky và z=0. Vậy đây là không gian con. D. Tập hợp các vectơ (x, y, z) sao cho x >= 0. Không đóng dưới phép nhân vô hướng: (1,0,0) thỏa mãn, nhưng -1*(1,0,0) = (-1,0,0) không thỏa mãn.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 28: Cho ma trận A cấp 3 có det(A) = 4. Tính det(A^T A).

Không thể tính được nếu không biết ma trận A.

Sử dụng các tính chất của định thức: det(AB) = det(A)det(B) và det(A^T) = det(A). det(A^T A) = det(A^T) * det(A) = det(A) * det(A) = (det(A))^2. Với det(A) = 4, det(A^T A) = 4^2 = 16.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 29: Cho ánh xạ tuyến tính f: V -> W. Biết dim(V) = 5 và dim(ker(f)) = 2. Tìm số chiều của ảnh của f (dim(Im(f))).

Không đủ thông tin để xác định.

Câu hỏi kiểm tra định lý về hạng và số chiều hạt nhân (Rank-Nullity Theorem), phát biểu rằng dim(V) = dim(ker(f)) + dim(Im(f)). Ta có dim(V) = 5 và dim(ker(f)) = 2. Áp dụng công thức: 5 = 2 + dim(Im(f)). Suy ra dim(Im(f)) = 5 - 2 = 3.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 13

Câu 30: Cho hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số A cấp 3x3. Biết det(A) = 0. Mệnh đề nào sau đây chắc chắn đúng?

Hệ phương trình AX = B (với B khác 0) có nghiệm duy nhất.

Hệ phương trình AX = B (với B khác 0) luôn vô nghiệm.

Hệ phương trình AX = B (với B khác 0) luôn có vô số nghiệm.

Hệ phương trình đồng nhất AX = 0 có nghiệm không tầm thường.

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra mối liên hệ giữa định thức và tính khả nghịch/số nghiệm của hệ phương trình. det(A) = 0 nghĩa là ma trận A không khả nghịch. A. Hệ có nghiệm duy nhất (Sai, hệ có nghiệm duy nhất khi A khả nghịch, tức det(A) ≠ 0). B. Hệ vô nghiệm (Sai, hệ có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm khi det(A)=0, tùy thuộc vào ma trận mở rộng). C. Hệ có vô số nghiệm (Sai, hệ có thể vô nghiệm). D. Hệ phương trình đồng nhất AX = 0 có nghiệm không tầm thường (Đúng, hệ AX=0 có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi A không khả nghịch, tức det(A) = 0).

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 14

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 1: Cho ma trận A cấp m x n và ma trận B cấp n x p. Phát biểu nào sau đây là SAI về phép nhân ma trận AB?

Phép nhân AB chỉ thực hiện được khi n = n.

Ma trận tích AB có cấp m x p.

Luôn có AB = BA.

Nếu AB = 0 thì không nhất thiết A = 0 hoặc B = 0.

Phép nhân ma trận AB chỉ xác định khi số cột của A bằng số hàng của B. Kích thước của ma trận tích AB là m x p. Phép nhân ma trận nói chung không có tính giao hoán (AB ≠ BA). Nếu AB = 0 thì không nhất thiết A=0 hoặc B=0.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 2: Cho ma trận A là ma trận vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây về ma trận chuyển vị A^T là ĐÚNG?

(A^T)^T = -A.

det(A^T) = det(A).

(AB)^T = A^T B^T.

Nếu A khả nghịch thì A^T không khả nghịch.

Ma trận chuyển vị (A^T)^T = A. Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận gốc: det(A^T) = det(A). (AB)^T = B^T A^T. Nếu A khả nghịch thì A^T cũng khả nghịch và (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 3: Cho ma trận A cấp 3x3 có det(A) = 5. Tính det(2A^T A^-1).

Sử dụng các tính chất của định thức: det(kA) = k^n det(A) với A là ma trận cấp n, det(A^T) = det(A), det(AB) = det(A)det(B), det(A^-1) = 1/det(A). Ta có det(2A^T A^-1) = 2^3 det(A^T A^-1) = 8 det(A^T) det(A^-1) = 8 det(A) (1/det(A)) = 8 * 5 * (1/5) = 8.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 4: Cho ma trận A = [[1, 2], [3, m]]. Tìm giá trị của tham số m để ma trận A khả nghịch.

m = 6

m = 0

m = -6

m ≠ 6

Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. det(A) = 1*m - 2*3 = m - 6. Để A khả nghịch, ta cần m - 6 ≠ 0, tức là m ≠ 6.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 5: Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B, trong đó A là ma trận cấp m x n. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

rank(A) < rank([A|B]).

rank(A) = rank([A|B]) = n.

rank(A) = rank([A|B]) < n.

rank(A) = n.

Hệ phương trình AX = B có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng [A|B] và bằng số ẩn. Số ẩn ở đây là n. Vì vậy, điều kiện là rank(A) = rank([A|B]) = n.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 6: Cho hệ phương trình tuyến tính AX = 0 (hệ thuần nhất), trong đó A là ma trận cấp m x n. Hệ phương trình thuần nhất luôn có ít nhất một nghiệm là nghiệm:

Dương

Âm

Tầm thường

Duy nhất

Hệ phương trình thuần nhất AX=0 luôn có nghiệm X=0 (vectơ không), được gọi là nghiệm tầm thường. Do đó, hệ thuần nhất luôn có ít nhất một nghiệm.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 7: Cho V là tập hợp tất cả các vectơ (x, y, z) trong R^3 thỏa mãn x + 2y - z = 0. V có phải là không gian con của R^3 không? Vì sao?

Có, vì V chứa vectơ không và đóng kín dưới phép cộng vectơ và nhân với vô hướng.

Không, vì V không chứa vectơ không.

Không, vì V không đóng kín dưới phép cộng vectơ.

Không, vì V không đóng kín dưới phép nhân với vô hướng.

Để V là không gian con của R^3, V phải chứa vectơ không, đóng kín dưới phép cộng vectơ và đóng kín dưới phép nhân với vô hướng. Vectơ không (0, 0, 0) thỏa mãn 0 + 2*0 - 0 = 0, nên (0, 0, 0) thuộc V. Nếu u = (x1, y1, z1) và v = (x2, y2, z2) thuộc V, thì x1 + 2y1 - z1 = 0 và x2 + 2y2 - z2 = 0. Cộng hai phương trình này ta được (x1+x2) + 2(y1+y2) - (z1+z2) = 0, suy ra u+v thuộc V. Nếu u = (x, y, z) thuộc V và k là một vô hướng, thì x + 2y - z = 0. Nhân với k ta được kx + 2ky - kz = 0, suy ra ku = (kx, ky, kz) thuộc V. Do đó, V là một không gian con của R^3.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 8: Cho S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1)} là một tập hợp các vectơ trong R^3. S có phải là một cơ sở (basis) của R^3 không? Vì sao?

Có, vì S gồm 3 vectơ độc lập tuyến tính trong không gian R^3 có chiều 3.

Không, vì S không sinh ra toàn bộ không gian R^3.

Không, vì các vectơ trong S phụ thuộc tuyến tính.

Có, vì số lượng vectơ trong S bằng chiều của R^3.

Một tập hợp S gồm n vectơ trong không gian vectơ V có chiều n là cơ sở của V khi và chỉ khi S độc lập tuyến tính hoặc S sinh ra V. R^3 có chiều là 3, và tập S có 3 vectơ. Để kiểm tra độc lập tuyến tính, ta lập ma trận với các vectơ làm hàng (hoặc cột) và tính định thức hoặc tìm hạng. Ma trận A = [[1, 2, 3], [0, 1, 2], [0, 0, 1]] là ma trận tam giác trên với các phần tử trên đường chéo chính khác 0. det(A) = 1 * 1 * 1 = 1 ≠ 0. Do đó, các vectơ độc lập tuyến tính. Vì có 3 vectơ độc lập tuyến tính trong R^3 (chiều 3), chúng tạo thành một cơ sở của R^3.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 9: Cho tập hợp các vectơ S = {(1, -1, 2), (2, 1, 1), (4, -1, 5)} trong R^3. Tập hợp S có độc lập tuyến tính không? Nếu không, hãy chỉ ra một mối quan hệ phụ thuộc tuyến tính.

Độc lập tuyến tính.

Phụ thuộc tuyến tính, với mối quan hệ (4, -1, 5) = 2(1, -1, 2) + (2, 1, 1).

Phụ thuộc tuyến tính, với mối quan hệ (2, 1, 1) = (1, -1, 2) + (4, -1, 5).

Phụ thuộc tuyến tính, với mối quan hệ (1, -1, 2) = (2, 1, 1) - (4, -1, 5).

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 10: Cho không gian vectơ V = P2(R) là không gian các đa thức bậc không quá 2 với hệ số thực. Tập hợp nào sau đây là một cơ sở của V?

{x, x^2}

{1, x, x^2, x^3}

{1, x, x^2}

{1+x, x+x^2, 1+x^2}

Không gian P2(R) có chiều là 3. Một cơ sở của P2(R) phải là một tập hợp gồm 3 đa thức độc lập tuyến tính và sinh ra P2(R). Tập chuẩn tắc {1, x, x^2} là một cơ sở. Các tập khác cần được kiểm tra. Tập {1, x, x^2} có 3 phần tử, độc lập tuyến tính và sinh ra mọi đa thức bậc không quá 2. Tập {x, x^2} chỉ có 2 phần tử, không đủ chiều. Tập {1, x, x^2, x^3} có 4 phần tử, không độc lập tuyến tính trong P2(R). Tập {1+x, x+x^2, 1+x^2} có 3 phần tử. Ta kiểm tra độc lập tuyến tính bằng cách xét a(1+x) + b(x+x^2) + c(1+x^2) = 0. (a+c) + (a+b)x + (b+c)x^2 = 0. Hệ: a+c=0, a+b=0, b+c=0. Từ a+c=0 => c=-a. Từ a+b=0 => b=-a. Thay vào b+c=0: (-a) + (-a) = 0 => -2a = 0 => a = 0. Suy ra b=0, c=0. Hệ chỉ có nghiệm tầm thường, nên 3 đa thức này độc lập tuyến tính. Vì có 3 đa thức độc lập tuyến tính trong không gian chiều 3, chúng tạo thành cơ sở.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 11: Cho ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]]. Tìm hạng (rank) của ma trận A.

Để tìm hạng của ma trận, ta đưa ma trận về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng. A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]]. Lấy H2 - 2*H1 và H3 - 3*H1: [[1, 2, 3], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]. Ma trận bậc thang có 1 hàng khác không. Vậy hạng của A là 1.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 12: Cho không gian vectơ V và W là hai không gian con của V. Phát biểu nào sau đây là ĐÚNG?

V ∩ W là một không gian con của V.

V ∪ W là một không gian con của V.

V W (phần bù) là một không gian con của V.

Chỉ khi V = W thì V ∩ W mới là không gian con.

Giao của hai không gian con (V ∩ W) luôn là một không gian con. Hợp của hai không gian con (V ∪ W) nói chung không phải là không gian con (trừ trường hợp một không gian con chứa không gian con kia). Tổng của hai không gian con (V + W = {v+w | v thuộc V, w thuộc W}) luôn là một không gian con.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 13: Cho ánh xạ f: R^2 -> R^3 định nghĩa bởi f(x, y) = (x + y, 2x - y, x + 2y). f có phải là một ánh xạ tuyến tính không? Vì sao?

Có, vì f(u+v) = f(u) + f(v) và f(ku) = kf(u) với mọi vectơ u, v và vô hướng k.

Không, vì f(0,0) ≠ (0,0,0).

Không, vì f không bảo toàn phép cộng vectơ.

Không, vì f không bảo toàn phép nhân với vô hướng.

Ánh xạ f là tuyến tính nếu thỏa mãn hai điều kiện: 1) f(u + v) = f(u) + f(v) với mọi u, v thuộc R^2. 2) f(ku) = k f(u) với mọi u thuộc R^2 và mọi vô hướng k. Xét u = (x1, y1), v = (x2, y2). u+v = (x1+x2, y1+y2). f(u+v) = ((x1+x2)+(y1+y2), 2(x1+x2)-(y1+y2), (x1+x2)+2(y1+y2)) = (x1+y1+x2+y2, 2x1-y1+2x2-y2, x1+2y1+x2+2y2). f(u) + f(v) = (x1+y1, 2x1-y1, x1+2y1) + (x2+y2, 2x2-y2, x2+2y2) = (x1+y1+x2+y2, 2x1-y1+2x2-y2, x1+2y1+x2+2y2). Vậy f(u+v) = f(u) + f(v). Xét ku = (kx, ky). f(ku) = (kx+ky, 2kx-ky, kx+2ky) = k(x+y, 2x-y, x+2y) = k f(x,y) = k f(u). Cả hai điều kiện đều thỏa mãn, nên f là ánh xạ tuyến tính.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 14: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^2 -> R^2 định nghĩa bởi f(x, y) = (2x - y, x + 3y). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính này theo cơ sở chính tắc của R^2.

[[2, 1], [-1, 3]]

[[2, -1], [1, 3]]

[[2, -1], [3, 1]]

[[1, 3], [2, -1]]

Ma trận của ánh xạ tuyến tính f theo cơ sở chính tắc {e1, e2} của R^2 (e1=(1,0), e2=(0,1)) có các cột là ảnh của các vectơ cơ sở qua f. f(e1) = f(1, 0) = (2*1 - 0, 1 + 3*0) = (2, 1). f(e2) = f(0, 1) = (2*0 - 1, 0 + 3*1) = (-1, 3). Ma trận của f là ma trận có cột 1 là (2, 1) và cột 2 là (-1, 3). Ma trận A = [[2, -1], [1, 3]].

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 15: Cho ma trận A = [[3, 1], [1, 3]]. Tìm các giá trị riêng (eigenvalues) của ma trận A.

λ1 = 3, λ2 = 1

λ1 = 2, λ2 = 3

λ1 = 2, λ2 = 4

λ1 = 3, λ2 = 4

Giá trị riêng λ của ma trận A là nghiệm của phương trình đặc trưng det(A - λI) = 0, trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A. A - λI = [[3-λ, 1], [1, 3-λ]]. det(A - λI) = (3-λ)(3-λ) - 1*1 = (3-λ)^2 - 1 = 9 - 6λ + λ^2 - 1 = λ^2 - 6λ + 8. Phương trình đặc trưng là λ^2 - 6λ + 8 = 0. Phân tích thành (λ - 2)(λ - 4) = 0. Các nghiệm là λ1 = 2 và λ2 = 4. Vậy các giá trị riêng là 2 và 4.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 16: Cho ma trận A = [[2, 1], [1, 2]] có giá trị riêng λ1 = 3 với vectơ riêng tương ứng là v1 = (1, 1). Tìm giá trị riêng còn lại và vectơ riêng tương ứng.

λ2 = 1, vectơ riêng v2 = (1, -1).

λ2 = 1, vectơ riêng v2 = (1, 0).

λ2 = 4, vectơ riêng v2 = (-1, 1).

λ2 = 0, vectơ riêng v2 = (1, -1).

Ma trận A là ma trận đối xứng, nên các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau sẽ trực giao. Ta tìm giá trị riêng còn lại bằng cách giải det(A - λI) = 0. det([[2-λ, 1], [1, 2-λ]]) = (2-λ)^2 - 1 = 4 - 4λ + λ^2 - 1 = λ^2 - 4λ + 3 = 0. (λ-1)(λ-3) = 0. Các giá trị riêng là λ1 = 3 (đã cho) và λ2 = 1. Để tìm vectơ riêng ứng với λ2 = 1, ta giải hệ (A - 1*I)v = 0, tức là [[2-1, 1], [1, 2-1]] [[x], [y]] = [[0], [0]]. [[1, 1], [1, 1]] [[x], [y]] = [[0], [0]]. Hệ trở thành x + y = 0. Chọn y = -1, ta được x = 1. Vectơ riêng là (1, -1) hoặc bội số của nó.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 17: Cho ma trận A cấp n x n. Phát biểu nào sau đây là SAI?

Nếu A có một hàng bằng không thì A không khả nghịch.

Nếu A khả nghịch thì hệ phương trình AX = B có nghiệm duy nhất với mọi B.

Nếu A không khả nghịch thì hệ phương trình thuần nhất AX = 0 có vô số nghiệm.

Nếu det(A) = 0 thì A khả nghịch.

Một ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0, hoặc hạng (rank) của A bằng n, hoặc các vectơ cột (hoặc hàng) của A độc lập tuyến tính, hoặc 0 không phải là giá trị riêng của A. Nếu A có một hàng bằng không, det(A) = 0, nên A không khả nghịch. Nếu A khả nghịch, hệ AX=B có nghiệm duy nhất X = A^-1 B. Nếu A không khả nghịch, hệ AX=0 có vô số nghiệm.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 18: Cho W là không gian con của R^4 sinh bởi tập S = {(1, -1, 2, 0), (2, 1, -1, 3), (5, -2, 5, 3)}. Tìm chiều (dimension) của không gian con W.

Chiều của không gian con sinh bởi một tập hợp vectơ bằng hạng của ma trận có các hàng (hoặc cột) là các vectơ đó. Lập ma trận A với các vectơ làm hàng: [[1, -1, 2, 0], [2, 1, -1, 3], [5, -2, 5, 3]]. Đưa về dạng bậc thang: H2 - 2H1, H3 - 5H1: [[1, -1, 2, 0], [0, 3, -5, 3], [0, 3, -5, 3]]. H3 - H2: [[1, -1, 2, 0], [0, 3, -5, 3], [0, 0, 0, 0]]. Ma trận bậc thang có 2 hàng khác không. Hạng của A là 2. Vậy chiều của W là 2.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 19: Cho ma trận A = [[1, 1], [0, 1]]. Ma trận A có chéo hóa được không? Vì sao?

Có, vì nó là ma trận tam giác.

Không, vì bội hình học của giá trị riêng không bằng bội đại số của nó.

Có, vì nó có các giá trị riêng thực.

Không, vì nó không phải là ma trận đối xứng.

Ma trận A chéo hóa được khi và chỉ khi tổng số chiều của các không gian riêng bằng cấp của ma trận (ở đây là 2). Đầu tiên, tìm giá trị riêng: det(A - λI) = det([[1-λ, 1], [0, 1-λ]]) = (1-λ)^2 = 0. Chỉ có một giá trị riêng λ = 1 với bội đại số là 2. Tiếp theo, tìm không gian riêng E1 ứng với λ=1 bằng cách giải hệ (A - 1*I)v = 0: [[1-1, 1], [0, 1-1]] [[x], [y]] = [[0], [0]] => [[0, 1], [0, 0]] [[x], [y]] = [[0], [0]]. Hệ là y = 0. Vectơ riêng có dạng (x, 0) = x(1, 0). Không gian riêng E1 sinh bởi (1, 0). Chiều của E1 (bội hình học) là 1. Vì bội hình học (1) nhỏ hơn bội đại số (2) của giá trị riêng λ=1, ma trận A không chéo hóa được.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 20: Cho ánh xạ tuyến tính f: V -> W. Hạt nhân (kernel) của f, ký hiệu là ker(f), được định nghĩa là:

{v thuộc V | f(v) = 0_W}.

{w thuộc W | tồn tại v thuộc V sao cho f(v) = w}.

Số chiều của không gian V.

Số chiều của không gian W.

Hạt nhân của một ánh xạ tuyến tính là tập hợp tất cả các vectơ trong không gian nguồn V mà bị ánh xạ tới vectơ không trong không gian đích W. ker(f) = {v thuộc V | f(v) = 0_W}.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 21: Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Tìm ma trận nghịch đảo A^-1.

[[4, -2], [-3, 1]]

[[-2, 3/2], [1, -1/2]]

[[1/2, -1], [-3/2, 2]]

[[-2, 1], [3/2, -1/2]]

Đối với ma trận 2x2 [[a, b], [c, d]], ma trận nghịch đảo là (1/det(A)) * [[d, -b], [-c, a]], với det(A) = ad - bc ≠ 0. det(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2. A^-1 = (1/-2) * [[4, -2], [-3, 1]] = [[-2, 1], [3/2, -1/2]].

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 22: Cho hệ phương trình tuyến tính:
x + y - z = 1
2x - y + z = 2
x + 2y - 2z = -1
Hệ này có bao nhiêu nghiệm?

Vô nghiệm.

Có nghiệm duy nhất.

Có vô số nghiệm.

Có đúng hai nghiệm.

Lập ma trận mở rộng [A|B] và đưa về dạng bậc thang để xác định hạng. [A|B] = [[1, 1, -1, 1], [2, -1, 1, 2], [1, 2, -2, -1]]. H2 - 2H1, H3 - H1: [[1, 1, -1, 1], [0, -3, 3, 0], [0, 1, -1, -2]]. Hoán đổi H2 và H3: [[1, 1, -1, 1], [0, 1, -1, -2], [0, -3, 3, 0]]. H3 + 3H2: [[1, 1, -1, 1], [0, 1, -1, -2], [0, 0, 0, -6]]. Hàng cuối cùng là [0, 0, 0, -6], tương đương với phương trình 0x + 0y + 0z = -6, tức là 0 = -6, điều này vô lý. Do đó, hệ phương trình vô nghiệm.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 23: Trong không gian R^3, cho tập hợp các vectơ S = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}. Tìm một vectơ v sao cho tập S ∪ {v} là một cơ sở của R^3.

(1, 0, 0)

(0, 1, 0)

(1, 1, 1)

(1, 1, 2)

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 24: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^2 -> R^2 có ma trận theo cơ sở chính tắc là A = [[1, 2], [3, 4]]. Tính f(5, -1).

(5, -1)

(7, 19)

(3, 11)

(-3, -11)

Ánh xạ tuyến tính f(v) có thể tính bằng cách nhân ma trận của f với vectơ v (viết dưới dạng cột). f(x, y) tương ứng với A * [[x], [y]]. Ta cần tính f(5, -1), tương ứng với A * [[5], [-1]]. A * [[5], [-1]] = [[1, 2], [3, 4]] * [[5], [-1]] = [[1*5 + 2*(-1)], [3*5 + 4*(-1)]] = [[5 - 2], [15 - 4]] = [[3], [11]]. Vậy f(5, -1) = (3, 11).

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 25: Cho W là không gian con của R^4 được định nghĩa bởi W = {(x, y, z, t) thuộc R^4 | x - y + 2z = 0 và y + z - t = 0}. Tìm một cơ sở cho không gian con W.

{(1, -1, 2, 0), (0, 1, 1, -1)}

{(1, 1, 0, 1)}

{(-3, -1, 1, 0)}

{(1, 1, 0, 1), (-3, -1, 1, 0)}

Các vectơ trong W là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất:
x - y + 2z = 0
y + z - t = 0
Từ phương trình thứ hai, y = t - z. Thay vào phương trình thứ nhất: x - (t - z) + 2z = 0 => x - t + z + 2z = 0 => x + 3z - t = 0 => x = t - 3z. Biểu diễn vectơ (x, y, z, t) theo các biến tự do z và t: (t - 3z, t - z, z, t) = t(1, 1, 0, 1) + z(-3, -1, 1, 0). Hai vectơ (1, 1, 0, 1) và (-3, -1, 1, 0) sinh ra W và độc lập tuyến tính (vì chúng không phải là bội của nhau). Do đó, chúng tạo thành một cơ sở cho W.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 26: Cho ma trận A = [[2, 1], [0, 2]]. Tìm không gian riêng ứng với giá trị riêng λ = 2.

span{(1, 1)}

span{(1, 0)}

span{(0, 1)}

span{(0, 0)}

Không gian riêng E2 ứng với giá trị riêng λ=2 là hạt nhân của ma trận (A - 2I). A - 2I = [[2-2, 1], [0, 2-2]] = [[0, 1], [0, 0]]. Ta giải hệ (A - 2I)v = 0, tức là [[0, 1], [0, 0]] [[x], [y]] = [[0], [0]]. Hệ phương trình là 0x + 1y = 0 và 0x + 0y = 0. Từ đó suy ra y = 0. x là biến tự do. Các vectơ trong không gian riêng có dạng (x, 0) = x(1, 0) với x thuộc R, x ≠ 0 (vectơ riêng phải khác không). Không gian riêng bao gồm vectơ không và tất cả các vectơ riêng, nên nó là tập hợp các bội số của (1, 0). Không gian riêng là span{(1, 0)}.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 27: Cho ma trận A cấp n x n có det(A) = 0. Hệ phương trình tuyến tính AX = B có thể có:

Nghiệm duy nhất.

Chỉ có nghiệm tầm thường (X=0).

Luôn có vô số nghiệm.

Vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

Nếu det(A) = 0, ma trận A không khả nghịch, tức là rank(A) < n. Đối với hệ AX=B, nếu rank(A) = rank([A|B]), hệ có nghiệm. Vì rank(A) < n, số biến tự do là n - rank(A) > 0, nên hệ có vô số nghiệm. Nếu rank(A) < rank([A|B]), hệ vô nghiệm. Do đó, khi det(A) = 0, hệ AX=B có thể vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm, tùy thuộc vào ma trận B.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 28: Trong R^3, cho hai cơ sở B1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} (cơ sở chính tắc) và B2 = {(1, 1, 0), (1, -1, 0), (0, 0, 1)}. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B2 sang B1.

[[1, 1, 0], [1, -1, 0], [0, 0, 1]]

[[1, 1, 0], [1, -1, 0], [0, 0, 1]]^-1

[[1, 1], [1, -1]]

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B2 sang cơ sở B1 (chuẩn tắc) có các cột là các vectơ của B2 viết theo tọa độ trong cơ sở B1 (chuẩn tắc). Vectơ (1, 1, 0) trong cơ sở chuẩn tắc là 1*(1,0,0) + 1*(0,1,0) + 0*(0,0,1), nên tọa độ là (1, 1, 0). Tương tự, (1, -1, 0) có tọa độ (1, -1, 0), và (0, 0, 1) có tọa độ (0, 0, 1). Ma trận chuyển cơ sở từ B2 sang B1, ký hiệu là P_{B2->B1}, có các cột là các vectơ này: P_{B2->B1} = [[1, 1, 0], [1, -1, 0], [0, 0, 1]].

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 29: Cho ánh xạ tuyến tính f: V -> W. Ảnh (image) của f, ký hiệu là Im(f), được định nghĩa là:

{v thuộc V | f(v) = 0_W}.

Số chiều của không gian V.

{w thuộc W | tồn tại v thuộc V sao cho f(v) = w}.

Số chiều của không gian W.

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ trong không gian đích W là ảnh của ít nhất một vectơ nào đó trong không gian nguồn V. Im(f) = {w thuộc W | tồn tại v thuộc V sao cho f(v) = w}.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 14

Câu 30: Cho ma trận A cấp 3x4 có hạng (rank) bằng 2. Số chiều của không gian hạch (null space) của A là bao nhiêu?

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Theo Định lý Hạng-Không gian hạch (Rank-Nullity Theorem), đối với một ma trận A cấp m x n, ta có: rank(A) + nullity(A) = n, trong đó nullity(A) là số chiều của không gian hạch (kernel hoặc null space) của A, và n là số cột của A (số chiều của không gian nguồn). Trong trường hợp này, A có cấp 3x4, nên n=4 và rank(A)=2. nullity(A) = n - rank(A) = 4 - 2 = 2. Số chiều của không gian hạch là 2.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính - Đề 15

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 1: Cho ma trận . Định thức của ma trận là bao nhiêu?

-2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính định thức của ma trận vuông cấp 3. Sử dụng quy tắc Sarrus hoặc khai triển theo dòng/cột để tính toán.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 2: Cho hai ma trận vuông A và B cùng cấp n. Phát biểu nào sau đây về định thức là đúng?

det(A + B) = det(A) + det(B)

det(2A) = 2det(A)

det(AB) = det(A)det(B)

det(A⁻¹) = -det(A)

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về các tính chất của định thức, đặc biệt là định thức của tích hai ma trận và định thức của tổng hai ma trận (điều cần lưu ý là det(A+B) ≠ det(A) + det(B)).

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 3: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi:

det(A) ≠ 0

rank(A) = số ẩn

Hệ luôn có nghiệm tầm thường

det(A) = 0

Câu hỏi liên quan đến điều kiện để hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không trivial. Điều này xảy ra khi định thức của ma trận hệ số bằng 0, hoặc hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 4: Cho không gian vectơ V là không gian các đa thức bậc không quá 2. Xét tập hợp S = {1 + x, x - x², 1 + x²}. Tập hợp S có phải là cơ sở của V không? Vì sao?

Không, vì S độc lập tuyến tính nhưng không sinh ra V

Có, vì S độc lập tuyến tính và sinh ra V

Không, vì S là tập sinh nhưng không độc lập tuyến tính

Không thể xác định vì không biết chiều của V

Câu hỏi kiểm tra khái niệm về cơ sở của không gian vectơ. Để S là cơ sở của V, S phải là tập sinh và độc lập tuyến tính, đồng thời số vectơ trong S phải bằng chiều của V (dim(V) = 3).

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 5: Cho biến đổi tuyến tính T: R² → R³ xác định bởi T(x, y) = (x + y, x - y, 2x). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc của R² và R³ là:

Câu hỏi yêu cầu tìm ma trận biểu diễn của biến đổi tuyến tính. Cần áp dụng T lên các vectơ cơ sở của R² (e₁=(1,0), e₂=(0,1)) và viết kết quả dưới dạng tọa độ trong cơ sở chính tắc của R³.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 6: Cho hệ phương trình tuyến tính . Để hệ có nghiệm duy nhất thì giá trị của m phải thỏa mãn điều kiện nào?

m = 2

m = -1

m = 2 hoặc m = -1

m ≠ 2 và m ≠ -1

Câu hỏi về điều kiện có nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính. Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 7: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận (nếu có).

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm ma trận nghịch đảo. Sử dụng phương pháp Gauss-Jordan hoặc công thức ma trận phụ hợp để tìm nghịch đảo. Kiểm tra định thức khác 0 để đảm bảo ma trận khả nghịch.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 8: Cho không gian vectơ R³. Xét các vectơ u = (1, 2, -1), v = (0, 1, 2), w = (1, 3, 1). Vectơ w có phải là tổ hợp tuyến tính của u và v không? Nếu có, biểu diễn w qua u và v.

Không phải

Có, w = u + v

Có, w = 2u - v

Có, w = u - 2v

Câu hỏi kiểm tra khái niệm tổ hợp tuyến tính. Cần kiểm tra xem có tồn tại các hệ số c₁, c₂ sao cho w = c₁u + c₂v hay không, bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 9: Cho ma trận . Tìm hạng của ma trận A.

Câu hỏi yêu cầu tìm hạng của ma trận. Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận về dạng bậc thang và xác định số dòng khác không.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 10: Cho hệ phương trình tuyến tính AX = b. Nếu hệ có nghiệm duy nhất, thì ma trận A phải là ma trận gì?

Ma trận vuông bất kỳ

Ma trận vuông khả nghịch

Ma trận chữ nhật

Ma trận đường chéo

Câu hỏi về điều kiện để hệ AX=b có nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi ma trận hệ số A là ma trận vuông khả nghịch (định thức khác 0).

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 11: Trong mô hình Input-Output Leontief, ma trận hệ số kỹ thuật A được cho. Ý nghĩa của phần tử aᵢⱼ của ma trận A là gì?

Tổng sản lượng của ngành i

Yêu cầu cuối cùng của ngành j

Lượng đầu vào của ngành i để sản xuất 1 đơn vị đầu ra của ngành j

Giá trị gia tăng của ngành j

Câu hỏi về ứng dụng của đại số tuyến tính trong kinh tế, cụ thể là mô hình Input-Output. aᵢⱼ biểu thị lượng đầu vào của ngành i cần thiết để sản xuất một đơn vị đầu ra của ngành j.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 12: Cho không gian con W của R³ sinh bởi các vectơ {(1, 0, -1), (2, 1, 0), (0, 1, 2)}. Tìm chiều của không gian con W.

Câu hỏi yêu cầu tìm chiều của không gian con sinh bởi một tập hợp các vectơ. Chiều của W bằng hạng của ma trận có các vectơ sinh là các dòng (hoặc cột).

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 13: Cho ánh xạ tuyến tính f: R² → R² có ma trận biểu diễn trong cơ sở chính tắc là . Tính f(2, 3).

(5, 8)

(8, 5)

(7, 7)

(7, 8)

Câu hỏi về áp dụng ánh xạ tuyến tính. Để tính f(2, 3), ta nhân ma trận biểu diễn của f với vectơ cột biểu diễn của (2, 3).

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 14: Cho ma trận vuông A cấp n. Phát biểu nào sau đây là tương đương với việc A khả nghịch?

det(A) = 0

Các cột của A phụ thuộc tuyến tính

Hệ AX = 0 chỉ có nghiệm tầm thường

rank(A) < n

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về các điều kiện tương đương của ma trận khả nghịch. Các điều kiện bao gồm định thức khác 0, hạng bằng n, hệ AX = 0 chỉ có nghiệm tầm thường, các cột (dòng) độc lập tuyến tính.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 15: Cho không gian vectơ V và W là không gian con của V. Giao của hai không gian con W₁ ∩ W₂ có phải là không gian con của V không? Vì sao?

Không nhất thiết

Có, vì giao của hai không gian con luôn là không gian con

Chỉ khi W₁ = W₂

Chỉ khi dim(W₁) = dim(W₂)

Câu hỏi kiểm tra tính chất không gian con. Giao của hai không gian con luôn là không gian con. Cần chứng minh giao đóng kín với phép cộng vectơ và phép nhân với số vô hướng.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 16: Tìm tất cả các giá trị riêng của ma trận .

λ = 1, λ = 2

λ = -1, λ = -2

λ = 1, λ = 3

λ = -1, λ = 3

Câu hỏi yêu cầu tìm giá trị riêng của ma trận. Cần giải phương trình đặc trưng det(A - λI) = 0.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 17: Cho giá trị riêng λ = 2 của ma trận . Tìm không gian con riêng ứng với giá trị riêng λ = 2.

span{(1, 0)}

span{(1, 1)}

span{(0, 1)}

span{(1, -1)}

Câu hỏi yêu cầu tìm không gian con riêng. Cần giải hệ phương trình (A - λI)v = 0 với λ = 2 để tìm các vectơ riêng v, và không gian con riêng là không gian sinh bởi các vectơ riêng này.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 18: Ma trận A được gọi là ma trận trực giao nếu thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

A = Aᵀ

A = -Aᵀ

A² = I

AᵀA = I

Câu hỏi kiểm tra định nghĩa ma trận trực giao. Ma trận trực giao là ma trận vuông mà tích của nó với ma trận chuyển vị bằng ma trận đơn vị (AᵀA = AAᵀ = I).

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 19: Cho tích vô hướng trong R² là = u₁v₁ + 2u₂v₂. Với u = (1, 1), v = (2, -1), tính .

-1

Câu hỏi về tích vô hướng tổng quát. Áp dụng định nghĩa tích vô hướng đã cho để tính giá trị .

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 20: Cho cơ sở B = {u₁, u₂} của R², với u₁ = (1, 2), u₂ = (-1, 1). Tìm tọa độ của vectơ v = (3, 4) trong cơ sở B.

([4], [1])

([7/3], [2/3])

([2/3], [7/3])

([1], [4])

Câu hỏi yêu cầu tìm tọa độ của vectơ trong một cơ sở cho trước. Cần tìm các hệ số c₁, c₂ sao cho v = c₁u₁ + c₂u₂. Giải hệ phương trình tuyến tính để tìm c₁ và c₂.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 21: Cho không gian vectơ nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 là V. Nếu hạng của ma trận A là r và số ẩn là n, thì chiều của không gian nghiệm V là bao nhiêu?

n - r

r - n

Câu hỏi về định lý hạng - chiều. Chiều của không gian nghiệm (nullity) cộng với hạng (rank) của ma trận bằng số ẩn (n). dim(V) = n - r.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 22: Cho ma trận A là ma trận vuông cấp n. Nếu det(A) = 3, thì det(2A⁻¹) bằng bao nhiêu?

2/3

8/3

2ⁿ/3

Câu hỏi về tính chất của định thức. Sử dụng các tính chất det(kA) = kⁿdet(A) và det(A⁻¹) = 1/det(A).

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 23: Cho biến đổi tuyến tính T: R³ → R² xác định bởi T(x, y, z) = (x + y, y - z). Tìm hạt nhân (kernel) của T.

{(x, -x, x) | x ∈ R}

{(x, -x, -x) | x ∈ R}

{(x, x, x) | x ∈ R}

{(x, y, 0) | x, y ∈ R}

Câu hỏi yêu cầu tìm hạt nhân của biến đổi tuyến tính. Hạt nhân Ker(T) là tập hợp các vectơ v sao cho T(v) = 0. Cần giải hệ phương trình T(x, y, z) = (0, 0).

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 24: Cho hai không gian con U và W của không gian vectơ V. Phát biểu nào sau đây về tổng U + W là đúng?

U + W = U ∩ W

U + W ⊆ U ∩ W

U + W là không gian con của V

U + W không phải là không gian con của V

Câu hỏi về tổng của hai không gian con. Tổng U + W là tập hợp tất cả các vectơ u + w với u ∈ U và w ∈ W. Tổng này luôn là không gian con của V.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 25: Cho ma trận A và vectơ b. Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình AX = b có nghiệm là gì?

rank(A) = rank([A|b])

rank(A) < rank([A|b])

rank(A) > rank([A|b])

det(A) ≠ 0

Câu hỏi về điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính AX = b. Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số A bằng hạng của ma trận bổ sung [A|b].

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 26: Cho ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở C là P_C←B. Nếu tọa độ của vectơ v trong cơ sở B là [v]_B, thì tọa độ của v trong cơ sở C là:

[v]B = PC←B[v]C

[v]C = PC←B[v]B

[v]C = (PC←B)⁻¹[v]B

[v]B = (PC←B)⁻¹[v]C

Câu hỏi về ma trận chuyển cơ sở. Công thức chuyển tọa độ là [v]_C = P_C←B[v]_B.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 27: Cho dạng toàn phương q(x, y) = 2x² + 4xy + 5y². Dạng toàn phương này là:

Xác định âm

Bán xác định dương

Không xác định

Xác định dương

Câu hỏi về phân loại dạng toàn phương. Xét định thức con chính hoặc đưa về dạng chính tắc để xác định tính xác định dương, xác định âm, bán xác định dương, bán xác định âm hoặc không xác định.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 28: Cho không gian Euclide R³ với tích vô hướng chính tắc. Tìm hình chiếu trực giao của vectơ u = (1, 2, 3) lên không gian con W = span{(1, 0, 0), (0, 1, 0)}.

(0, 0, 3)

(1, 2, 0, 0)

(1, 2, 0)

(0, 0, 0)

Câu hỏi về hình chiếu trực giao. Không gian con W là mặt phẳng xy. Hình chiếu trực giao của u lên W là vectơ có hai thành phần đầu giống u và thành phần cuối bằng 0.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 29: Cho ma trận A là ma trận vuông cấp n có các giá trị riêng λ₁, λ₂, ..., λ_n. Định thức của ma trận A bằng:

λ₁ * λ₂ * ... * λn

λ₁ + λ₂ + ... + λn

max{λ₁, λ₂, ..., λn}

min{λ₁, λ₂, ..., λn}

Câu hỏi về mối liên hệ giữa định thức và giá trị riêng. Định thức của ma trận bằng tích của tất cả các giá trị riêng của nó.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Đại số tuyến tính

Tags: Bộ đề 15

Câu 30: Cho biến đổi tuyến tính T: V → W. Phát biểu nào sau đây về mối quan hệ giữa chiều của không gian ảnh Im(T) và chiều của hạt nhân Ker(T) là đúng (định lý hạng - chiều)?

dim(Ker(T)) - dim(Im(T)) = dim(V)

dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)

dim(Ker(T)) * dim(Im(T)) = dim(V)

dim(Ker(T)) = dim(Im(T))

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi về định lý hạng - chiều cho biến đổi tuyến tính. Định lý hạng - chiều phát biểu rằng dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(V).

Đề trắc nghiệm liên quan:

Đề Thi Thử Trắc Nghiệm Online – Môn Kĩ Thuật Điện
Đề Thi Thử Trắc Nghiệm Online – Môn Kiểm Toán
Đề Thi Thử Trắc Nghiệm Online – Môn Nghiên Cứu Eu
Đề Thi Thử Trắc Nghiệm Online – Môn Luật Thực Phẩm
Đề Thi Thử Trắc Nghiệm Online – Môn Giao Tiếp Kinh Doanh

Đề 01

Đề 02

Đề 03

Đề 04

Đề 05

Đề 06

Đề 07

Đề 08

Đề 09

Đề 10

Đề 11

Đề 12

Đề 13

Đề 14

Đề 15

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Đề trắc nghiệm liên quan:

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha