Đề Thi Thử Trắc Nghiệm Online

Đề Thi Thử Trắc Nghiệm Online – Môn Giải Tích 3 tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm chứa đựng nhiều dạng bài tập, bài thi, cũng như các câu hỏi trắc nghiệm và bài kiểm tra, trong bộ Đại Học. Nội dung trắc nghiệm nhấn mạnh phần kiến thức nền tảng và chuyên môn sâu của học phần này. Mọi bộ đề trắc nghiệm đều cung cấp câu hỏi, đáp án cùng hướng dẫn giải cặn kẽ. Mời bạn thử sức làm bài nhằm ôn luyện và làm vững chắc kiến thức cũng như đánh giá năng lực bản thân!

Đề 01

Đề 02

Đề 03

Đề 04

Đề 05

Đề 06

Đề 07

Đề 08

Đề 09

Đề 10

Đề 11

Đề 12

Đề 13

Đề 14

Đề 15

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 01

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 1: Cho hàm số f(x, y) = x^3y^2 + sin(x) + e^y. Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f/∂x∂y.

6xy

6x^2y

3x^2y^2 + cos(x) + e^y

3x^2 + 2y

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp. Đầu tiên tính đạo hàm riêng theo x, sau đó lấy kết quả đạo hàm riêng theo y.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 2: Tìm miền xác định của hàm số f(x, y) = √(9 - x^2 - y^2) + ln(y - x^2).

x^2 + y^2 ≤ 9 và y ≥ x^2

x^2 + y^2 < 9 và y > x^2

x^2 + y^2 ≤ 9 và y > x^2

x^2 + y^2 ≥ 9 và y > x^2

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về miền xác định của hàm số hai biến, kết hợp điều kiện từ căn bậc hai (biểu thức dưới căn không âm) và logarithm (biểu thức trong logarit dương).

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 3: Tính tích phân đường loại 2 ∫_C (x^2 + y) dx + (y^2 - x) dy, với C là đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ.

2π

-2π

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân đường loại 2 trên đường tròn đơn vị. Có thể sử dụng định lý Green để chuyển về tích phân kép.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 4: Cho trường vector F(x, y, z) = (2x, -y, z^2). Tính div(F) tại điểm (1, 2, -1).

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính toán divergence của trường vector và thay giá trị tại một điểm cụ thể.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 5: Mặt cong S được tham số hóa bởi r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), u^2), với 0 ≤ u ≤ 2 và 0 ≤ v ≤ 2π. Tính diện tích mặt cong S.

4π

13π

8π

2π

Câu hỏi yêu cầu tính diện tích mặt cong tham số. Cần tính tích phân kép của độ dài vector pháp tuyến trên miền tham số.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 6: Xét tích phân ∫∫_D (x^2 + y^2) dA, với D là hình tròn tâm gốc tọa độ, bán kính 3. Chuyển sang tọa độ cực, tích phân trở thành:

∫_0^(2π) ∫_0^3 r^2 dr dθ

∫_0^(2π) ∫_0^3 r^3 dr dθ

∫_0^(2π) ∫_0^3 r^2 sin(θ) dr dθ

Câu hỏi kiểm tra khả năng chuyển đổi tích phân kép từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực. Nhận biết x^2 + y^2 = r^2 và dA = r dr dθ trong tọa độ cực.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 7: Tính tích phân bội ba ∫∫∫_V z dV, với V là khối trụ tròn giới hạn bởi x^2 + y^2 ≤ 1 và 0 ≤ z ≤ 2.

2π

4π

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ. Miền V là một trụ tròn, nên tọa độ trụ là phù hợp.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 8: Tìm gradient của hàm số f(x, y, z) = xy^2z^3 tại điểm (1, -1, 1).

(1, 2, 3)

(1, -2, 1)

(1, 2, 1)

(1, -2, 3)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính gradient của hàm số ba biến và thay giá trị tại một điểm.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 9: Cho trường vector F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần và đủ để F là trường vector bảo toàn trên miền D liên thông?

∂P/∂x = ∂Q/∂y

∂P/∂y = ∂Q/∂x

P = ∂f/∂x, Q = ∂f/∂y

div(F) = 0

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về trường vector bảo toàn và điều kiện để một trường vector là bảo toàn (liên quan đến đạo hàm riêng).

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 10: Sử dụng định lý Stokes để tính ∫_C F⋅dr, với F = (y, z, x) và C là giao tuyến của mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = 4 và mặt phẳng z = 1, hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ trên xuống.

-2π

2π

4π

-4π

Câu hỏi yêu cầu áp dụng định lý Stokes để tính tích phân đường. Cần chuyển tích phân đường thành tích phân mặt của curl(F).

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 11: Cho hàm số f(x, y) = x^2 - 2xy + 3y^2 - 2x + 4y + 1. Điểm dừng của hàm số này là:

(1, 1)

(2, 1)

(-1, -1)

(-1, 0)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm điểm dừng của hàm số hai biến bằng cách giải hệ phương trình đạo hàm riêng bằng 0.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 12: Tính Jacobian của phép biến đổi tọa độ cực (x, y) → (r, θ) tại điểm (x, y) = (1, 1).

√2

r^2

Câu hỏi yêu cầu tính Jacobian của phép biến đổi tọa độ. Jacobian là định thức của ma trận đạo hàm riêng.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 13: Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Xác định tính chất của điểm dừng (0, 0) của hàm số (cực đại, cực tiểu, hay điểm yên ngựa).

Cực đại

Cực tiểu

Điểm yên ngựa

Không xác định được

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng phân loại điểm dừng bằng tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai (định thức Hessian).

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 14: Tính tích phân ∫_0^1 ∫_x^1 e^(y^2) dy dx. Đổi thứ tự tích phân, tích phân trở thành:

∫_0^1 ∫_0^y e^(y^2) dx dy

∫_x^1 ∫_0^1 e^(y^2) dx dy

∫_0^1 ∫_y^1 e^(y^2) dx dy

Câu hỏi yêu cầu đổi thứ tự tích phân kép. Cần xác định lại miền tích phân sau khi đổi thứ tự.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 15: Sử dụng định lý Divergence để tính thông lượng của trường vector F = (x^3, y^3, z^3) qua mặt cầu S: x^2 + y^2 + z^2 = a^2.

πa^5

2πa^5

(12/5)πa^5

Câu hỏi yêu cầu áp dụng định lý Divergence để tính thông lượng. Chuyển tích phân mặt thành tích phân bội ba của divergence.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 16: Cho hàm số f(x, y) = xy, với ràng buộc x^2 + y^2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của f(x, y) bằng phương pháp nhân tử Lagrange.

2-Jan

√2/2

Câu hỏi yêu cầu tìm cực trị có điều kiện bằng phương pháp nhân tử Lagrange.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 17: Đường cong C được tham số hóa bởi r(t) = (cos(t), sin(t), t), 0 ≤ t ≤ 2π. Tính độ dài cung của đường cong C.

2π

2π√2

4π

Câu hỏi yêu cầu tính độ dài cung của đường cong tham số trong không gian 3 chiều.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 18: Tính curl(F) của trường vector F(x, y, z) = (y^2z, xz^2, xy^2).

(2xy - 2xz, y^2 - y^2, z^2 - 2yz)

(2xy - 2yz, y^2 - 2xz, z^2 - y^2)

(2xy - 2yz, z^2 - y^2, y^2 - 2xz)

(2xy - 2yz, y^2 - 2xz, y^2 - z^2)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính curl của trường vector trong không gian 3 chiều.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 19: Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Tính vi phân toàn phần df.

e^(x^2 + y^2) (dx + dy)

2xe^(x^2 + y^2) dx + 2ye^(x^2 + y^2) dy

(2x + 2y)e^(x^2 + y^2) dxdy

e^(x^2 + y^2) (xdx + ydy)

Câu hỏi yêu cầu tìm vi phân toàn phần của hàm số hai biến.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 20: Tích phân ∫∫_R xy dA, với R là hình chữ nhật [0, 2] × [1, 3], bằng:

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân kép trên miền hình chữ nhật. Tích phân có thể tách thành tích của hai tích phân đơn.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 21: Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x/2)^n.

(-2, 2)

[-2, 2]

(-∞, ∞)

{0}

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về miền hội tụ của chuỗi lũy thừa, sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert hoặc Cauchy.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 22: Tìm khai triển Taylor bậc 2 của hàm số f(x, y) = sin(xy) tại điểm (0, 0).

x + y

1 + xy

Câu hỏi yêu cầu tìm khai triển Taylor bậc 2 cho hàm số hai biến. Cần tính các đạo hàm riêng đến cấp 2.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 23: Tính tích phân đường ∫_C (x + y) ds, với C là đoạn thẳng nối điểm (0, 0) đến (1, 1).

√2

2√2

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân đường loại 1. Cần tham số hóa đoạn thẳng C và tính tích phân theo độ dài cung ds.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 24: Cho trường vector F(x, y, z) = (x, y, z). Tính công của trường vector F khi di chuyển một chất điểm dọc theo đường cong C: r(t) = (cos(t), sin(t), t), từ t = 0 đến t = 2π.

2π

2π^2

4π^2

Câu hỏi yêu cầu tính công của trường vector dọc theo một đường cong, tức là tích phân đường loại 2 ∫_C F⋅dr.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 25: Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - xy - x - y + 1.

Cực tiểu tại (1, 1)

Cực đại tại (1, 1)

Điểm yên ngựa tại (1, 1)

Không có cực trị

Câu hỏi yêu cầu tìm cực trị tự do của hàm số hai biến. Cần tìm điểm dừng và phân loại bằng tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 26: Tính tích phân ∫∫_D (x + y) dA, với D là miền giới hạn bởi y = x^2 và y = x.

2-Jan

6-Jan

3-Jan

24-May

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân kép trên miền phẳng giới hạn bởi hai đường cong. Cần xác định cận tích phân.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 27: Cho hàm số f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2. Tính đạo hàm theo hướng của vector v = (1, 1, 1) tại điểm (1, 0, 0).

2/√3

√3/2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm theo hướng. Cần chuẩn hóa vector hướng và tính tích vô hướng của gradient với vector hướng.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 28: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đạo hàm riêng ∂u/∂x = 2x + y.

u(x, y) = x^2 + xy + C

u(x, y) = x^2 + xy + g(x)

u(x, y) = x^2 + xy + g(y)

u(x, y) = x^2 + xy + g(x, y)

Câu hỏi kiểm tra kiến thức cơ bản về phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp một đơn giản.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 29: Xét tích phân đường ∫_C y dx - x dy, với C là biên của hình vuông [0, 1] × [0, 1], hướng ngược chiều kim đồng hồ. Giá trị của tích phân này là?

-2

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân đường loại 2 trên biên hình vuông. Có thể tính trực tiếp trên từng cạnh hoặc dùng định lý Green.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 01

Câu 30: Cho hàm số f(x, y) = √(x^2 + y^2). Hàm số này có khả vi tại điểm (0, 0) không?

Có, và vi phân là df = 0

Có, và vi phân là df = dx + dy

Không khả vi

Có, và vi phân là df = xdx + ydy

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tính khả vi của hàm số nhiều biến tại một điểm, đặc biệt là tại điểm gốc khi có dạng căn bậc hai.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 02

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 1: Cho hàm số hai biến f(x, y) = x^3y^2 + sin(x) - y. Tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp ∂²f/∂x∂y.

6xy

6x²y

3x²y

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp. Cần thực hiện đạo hàm riêng theo y trước, sau đó theo x (hoặc ngược lại, và kiểm tra tính bằng nhau nếu hàm đủ điều kiện).

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 2: Tìm miền xác định của hàm số f(x, y) = √(9 - x² - y²) + ln(y - x).

x² + y² ≤ 9 và y ≤ x

x² + y² < 9 và y > x

x² + y² ≤ 9 và y > x

x² + y² > 9 và y > x

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về miền xác định của hàm số hai biến, bao gồm điều kiện cho căn bậc hai (biểu thức dưới căn không âm) và logarit (biểu thức trong logarit dương).

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 3: Tính tích phân đường loại 2 ∫C (x² + y) dx + (y² - x) dy, với C là đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ.

2π

-π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường loại 2. Có thể sử dụng định lý Green để chuyển về tích phân kép trên miền giới hạn bởi C, hoặc tham số hóa đường tròn và tính trực tiếp.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 4: Cho trường vectơ F(x, y, z) = (2x, -y, z²). Tính div(F) tại điểm (1, -1, 2).

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về toán tử div (divergence) của trường vectơ. Cần tính đạo hàm riêng của từng thành phần theo biến tương ứng và cộng lại, sau đó thay điểm vào.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 5: Tính tích phân bội hai ∫∫D (x + 2y) dA, với D là miền tam giác có các đỉnh (0, 0), (1, 0), và (1, 2).

7/3

11/3

5/3

8/3

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bội hai trên miền tam giác. Cần xác định giới hạn tích phân phù hợp với miền D, sau đó tính tích phân lặp.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 6: Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy.

Cực tiểu tại (1, 1)

Cực đại tại (1, 1)

Cực tiểu tại (1, 1) và điểm yên ngựa tại (0, 0)

Cực đại tại (0, 0) và điểm yên ngựa tại (1, 1)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm cực trị địa phương của hàm số hai biến. Cần tìm điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình đạo hàm riêng bằng 0, sau đó sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai để xác định loại cực trị.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 7: Sử dụng tọa độ cực để tính tích phân ∫∫D e^(x²+y²) dA, với D là hình tròn tâm gốc bán kính 2.

π(e⁴ - 1)

2π(e⁴ - 1)

π/2 (e⁴ - 1)

π(e⁴ - 1)/2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng chuyển ??ổi sang tọa độ cực để tính tích phân bội hai. Việc chuyển đổi giúp đơn giản hóa biểu thức tích phân và miền tích phân khi miền có dạng tròn hoặc trụ.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 8: Tính tích phân mặt ∫∫S F · dS, với F(x, y, z) = (x, y, z) và S là mặt cầu đơn vị hướng ra ngoài.

2π

4π

8π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân mặt của trường vectơ. Có thể sử dụng định lý Gauss (divergence theorem) để chuyển về tích phân bội ba, hoặc tham số hóa mặt cầu và tính trực tiếp.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 9: Cho hàm số f(x, y, z) = xyz. Tính đạo hàm theo hướng của vectơ v = (1, 1, 1) tại điểm (1, 2, 3).

11/√3

9/√3

11√3

2√3

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm theo hướng. Cần tính gradient của f, chuẩn hóa vectơ v, sau đó lấy tích vô hướng của gradient và vectơ đơn vị của v.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 10: Tìm thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid z = x² + y² và mặt phẳng z = 4.

8π

16π

32π

4π

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng của tích phân bội hai (hoặc ba) để tính thể tích. Có thể sử dụng tích phân bội hai trong tọa độ cực hoặc tích phân bội ba trong tọa độ trụ.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 11: Cho hàm số f(x, y) = x² + 2y². Tìm giá trị lớn nhất của f trên đường tròn x² + y² = 1.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm cực trị có điều kiện (cực trị Lagrange). Cần thiết lập hàm Lagrange và giải hệ phương trình đạo hàm riêng bằng 0, hoặc tham số hóa đường tròn.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 12: Tính tích phân đường loại 1 ∫C (x + y) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (2, 1).

√5

2√5

3√5

5√5/2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường loại 1. Cần tham số hóa đoạn thẳng C, tính độ dài vi phân ds, và thay vào tích phân.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 13: Xác định dạng mặt bậc hai z = x² - y².

Paraboloid tròn xoay

Ellipsoid

Yên ngựa (Hyperbolic paraboloid)

Hyperboloid một tầng

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về các dạng mặt bậc hai cơ bản. Cần nhận biết dạng yên ngựa (hyperbolic paraboloid) dựa vào phương trình.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 14: Cho trường vectơ F(x, y) = (-y, x). Tính curl(F).

-2

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về toán tử curl (rotation) của trường vectơ hai chiều. Cần tính đạo hàm riêng theo công thức curl(F) = ∂Q/∂x - ∂P/∂y.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 15: Tính diện tích mặt của phần mặt nón z = √(x² + y²) nằm dưới mặt phẳng z = 3.

9π

9π√2

18π

18π√2

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng của tích phân mặt để tính diện tích mặt. Cần tham số hóa mặt nón, tính yếu tố diện tích mặt dS, và tích phân trên miền chiếu của mặt nón lên mặt phẳng xy.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 16: Tìm gradient của hàm số f(x, y, z) = x²yz + e^(xy).

(2xyz + ye^(xy), x²z + xe^(xy), x²y)

(2xyz, x²z, x²y)

(2xyz + ye^(xy), x²z + xe^(xy), x²y)

(2x, y, z)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính gradient của hàm số ba biến. Cần tính đạo hàm riêng theo từng biến và viết dưới dạng vectơ.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 17: Áp dụng định lý Stokes để tính tích phân đường ∫C F · dr, với F = (y, z, x) và C là giao tuyến của mặt cầu x² + y² + z² = 4 và mặt phẳng z = 1, hướng ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ trên xuống.

2π

3π

-3π

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng của định lý Stokes. Cần tính curl(F), tham số hóa mặt S giới hạn bởi C (đĩa tròn trên mặt phẳng z=1), và tính tích phân mặt của curl(F) · n trên S.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 18: Chuyển tích phân ∫₀¹ ∫₀√(1-x²) ∫₀√(4-x²-y²) dz dy dx sang tọa độ cầu.

∫₀^(π/2) ∫₀^(π/2) ∫₀² ρ²sin(φ) dρ dφ dθ

∫₀^(π/2) ∫₀^(π/2) ∫₀² ρsin(φ) dρ dφ dθ

∫₀^(π/2) ∫₀^(π/2) ∫₀² ρ³sin(φ) dρ dφ dθ

∫₀^(π/2) ∫₀^(π/2) ∫₀² ρ²cos(φ) dρ dφ dθ

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng chuyển đổi tích phân bội ba từ tọa độ Descartes sang tọa độ cầu. Cần xác định giới hạn mới cho ρ, φ, θ dựa trên miền tích phân ban đầu.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 19: Tìm Jacobian của phép biến đổi tọa độ cực x = rcos(θ), y = rsin(θ).

r²

sin(θ)cos(θ)

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về Jacobian của phép biến đổi tọa độ. Cần tính định thức của ma trận Jacobian của phép biến đổi từ (r, θ) sang (x, y).

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 20: Cho hàm số f(x, y) = xy / (x² + y²) nếu (x, y) ≠ (0, 0) và f(0, 0) = 0. Hàm số này có liên tục tại (0, 0) không?

Liên tục

Liên tục theo x nhưng không liên tục theo y

Không liên tục

Chỉ liên tục trên các đường thẳng qua gốc

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tính liên tục của hàm số nhiều biến. Cần xét giới hạn của hàm số khi (x, y) → (0, 0) theo các đường khác nhau hoặc sử dụng tọa độ cực.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 21: Tính tích phân đường ∫C (x² + y²) dx, với C là đường cong y = x² từ (0, 0) đến (1, 1).

1/3

2/3

4/3

7/15

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường loại 2. Cần tham số hóa đường cong C, thay vào biểu thức tích phân và tính tích phân xác định.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 22: Tìm phương trình mặt phẳng tiếp tuyến với mặt z = x² + y² tại điểm (1, 1, 2).

x + y - z = 0

2x + 2y - z = 2

x + y + z = 4

2x - 2y + z = 2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm phương trình mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cho trước tại một điểm. Cần tính gradient của hàm F(x, y, z) = x² + y² - z và sử dụng nó làm vectơ pháp tuyến.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 23: Cho trường vectơ F(x, y, z) = (P, Q, R). Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần và đủ để F là trường vectơGradient?

div(F) = 0

curl(F) ≠ 0

curl(F) = 0

∫C F · dr = 0 với mọi đường cong kín C

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về trường vectơ bảo toàn và điều kiện để một trường vectơ là trường gradient. Điều kiện cần và đủ liên quan đến curl của trường vectơ.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 24: Tính tích phân bội ba ∫∫∫E z dV, với E là khối trụ x² + y² ≤ 1 và 0 ≤ z ≤ 2.

2π

4π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bội ba trên khối trụ. Nên sử dụng tọa độ trụ để đơn giản hóa tích phân và miền tích phân.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 25: Tìm vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) = x²y + y³.

df = (2xy + 3y²) dx

df = (2xy) dx + (x² + 3y²) dy

df = (2x + 3y²) dx + (x² + 3y²) dy

df = (2xy + y³) dx + (x² + 3y²) dy

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về vi phân toàn phần của hàm số hai biến. Cần tính đạo hàm riêng theo x và y, sau đó kết hợp lại thành biểu thức vi phân toàn phần.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 26: Cho hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3x - 3y. Xác định số điểm dừng của hàm số.

Vô số

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm điểm dừng của hàm số hai biến. Cần giải hệ phương trình đạo hàm riêng bằng 0 để tìm ra các điểm dừng.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 27: Miền D được giới hạn bởi y = x², y = 4. Tính ∫∫D x dA.

32/5

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bội hai trên miền không phải hình chữ nhật. Cần xác định giới hạn tích phân phù hợp với miền D và tính tích phân lặp.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 28: Cho trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z). Tính thông lượng (flux) của F qua mặt S là hình hộp chữ nhật 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3, hướng ra ngoài.

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng của định lý Gauss (divergence theorem) để tính thông lượng. Cần tính div(F) và tích phân bội ba của div(F) trên thể tích V giới hạn bởi S.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 29: Tìm xấp xỉ tuyến tính của hàm số f(x, y) = √(x² + y²) tại điểm (3, 4).

L(x, y) = 5 + (x - 3) + (y - 4)

L(x, y) = 5 + 3(x - 3) + 4(y - 4)

L(x, y) = 5 + (3/5)(x - 3) + (4/5)(y - 4)

L(x, y) = 3(x - 3) + 4(y - 4)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm xấp xỉ tuyến tính (linear approximation) của hàm số hai biến. Cần tính đạo hàm riêng tại điểm cho trước và sử dụng công thức xấp xỉ tuyến tính.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 02

Câu 30: Cho hàm số f(x, y) = e^(xy). Tính đạo hàm riêng ∂³f/∂x∂y².

x²e^(xy)

y²e^(xy)

(1 + xy)e^(xy)

(2x + x²y)e^(xy)

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp cao. Cần thực hiện đạo hàm riêng lần lượt theo y hai lần, sau đó theo x một lần.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 03

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 1: Cho hàm số hai biến z = f(x, y) = x^3y^2 + sin(x) - y. Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂^2z/∂x∂y.

6xy

6x^2y

6x^2y + cos(x)

3x^2y^2 + cos(x) - 1

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp của hàm số hai biến. Cần thực hiện đạo hàm riêng theo x trước, sau đó theo y (hoặc ngược lại theo định lý Clairaut nếu hàm đủ điều kiện).

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 2: Tìm gradient của hàm số f(x, y, z) = xe^(yz) tại điểm (1, 0, 1).

<e, e, 0>

<e, 0, e>

<1, e, 0>

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về gradient của hàm số nhiều biến và khả năng tính toán đạo hàm riêng và thay giá trị tại điểm cho trước.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 3: Tính tích phân đường ∫C (x^2 + y^2) ds, trong đó C là đoạn đường thẳng từ (0, 0) đến (3, 4).

125

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường vô hướng. Cần tham số hóa đường cong C, tính ds và thay vào tích phân.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 4: Cho trường vectơ F(x, y) = . Tính công thực hiện bởi trường vectơ F khi di chuyển một hạt dọc theo đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ điểm (1, 0).

-2π

2π

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tích phân đường vectơ và công của trường vectơ. Cần tham số hóa đường tròn đơn vị và tính tích phân đường loại hai.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 5: Tính diện tích bề mặt của phần mặt phẳng z = x + 2y nằm trên miền D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}.

√6

2√6

3√6

4√6

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính diện tích bề mặt. Cần sử dụng công thức tính diện tích bề mặt thông qua tích phân kép.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 6: Tính tích phân kép ∫∫R (x + y) dA, với R là miền tam giác có các đỉnh (0, 0), (1, 0), và (0, 1).

1/2

1/3

1/4

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân kép trên miền tam giác. Cần xác định giới hạn tích phân và tính tích phân lặp.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 7: Sử dụng tọa độ cực để tính tích phân kép ∫∫D e^(x^2+y^2) dA, với D là hình tròn có bán kính 2 tâm gốc tọa độ.

π(e^4 - 1)

2π(e^4 - 1)

π(e^2 - 1)

π(e^4 - 1)

Câu hỏi kiểm tra khả năng chuyển đổi sang tọa độ cực để đơn giản hóa tích phân kép trên miền hình tròn.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 8: Tính phân kỳ (divergence) của trường vectơ F(x, y, z) = .

2xz - 6y^2 + 2xz

2x - 6y + 2z

<2xz, -6y^2, 2xz>

x^2 - 6y^2 + z^2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính phân kỳ của trường vectơ trong không gian ba chiều.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 9: Tính xoáy (curl) của trường vectơ G(x, y, z) = .

<-1 - 2x, 0, 2y>

<2y, 2z, 0>

<0, 0, 0>

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính xoáy của trường vectơ trong không gian ba chiều.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 10: Phát biểu nào sau đây là đúng về định lý Green?

Định lý Green liên hệ tích phân mặt với tích phân đường.

Định lý Green áp dụng cho trường vectơ trong không gian ba chiều.

Định lý Green liên hệ tích phân đường dọc theo biên của miền phẳng với tích phân kép trên miền đó.

Định lý Green chỉ áp dụng cho trường vectơ bảo toàn.

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết về định lý Green, mối liên hệ giữa tích phân đường và tích phân kép.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 11: Cho trường vectơ F(x, y, z) = . Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để F là trường vectơ bảo toàn?

div F = 0

curl F ≠ 0

grad div F = 0

curl F = 0

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về trường vectơ bảo toàn và điều kiện để một trường vectơ là bảo toàn.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 12: Tính tích phân bội ba ∫∫∫E z dV, trong đó E là khối trụ giới hạn bởi x^2 + y^2 ≤ 1 và 0 ≤ z ≤ 2.

2π

4π

8π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ. Cần chuyển sang tọa độ trụ và xác định giới hạn tích phân.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 13: Sử dụng tọa độ cầu để tính thể tích của hình nón tròn xoay có đỉnh tại gốc tọa độ, trục là trục z dương, góc ở đỉnh là 60 độ và bán kính đáy là 1.

π/√3

2π/√3

2π

Câu hỏi kiểm tra khả năng sử dụng tọa độ cầu để tính thể tích. Cần xác định giới hạn tích phân trong tọa độ cầu cho hình nón.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 14: Định lý Stokes liên hệ tích phân nào với tích phân nào?

Tích phân đường kín với tích phân kép.

Tích phân kép với tích phân bội ba.

Tích phân đường vectơ với tích phân mặt.

Tích phân mặt với tích phân bội ba.

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết về định lý Stokes và mối liên hệ giữa các loại tích phân.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 15: Cho mặt S là mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = 4. Tính thông lượng của trường vectơ F(x, y, z) = qua mặt S hướng ra ngoài.

8π

16π

32π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính thông lượng (flux) và có thể áp dụng định lý phân kỳ Gauss để đơn giản hóa.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 16: Tìm điểm cực trị của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5.

Không có cực trị

Cực tiểu tại (1, 2)

Cực đại tại (1, 2)

Điểm yên ngựa tại (1, 2)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm cực trị của hàm số hai biến. Cần tìm điểm dừng và sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 17: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = xy trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 1}.

1/4

1/2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng và bị chặn. Có thể dùng phương pháp nhân tử Lagrange hoặc xét biên và điểm trong.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 18: Tham số hóa đường cong giao tuyến của mặt trụ x^2 + y^2 = 4 và mặt phẳng z = x + 1.

r(t) = <2cos(t), 2sin(t), t>

r(t) = <t, √(4-t^2), t+1>

r(t) = <2t, √(4-4t^2), 2t+1>

r(t) = <2cos(t), 2sin(t), 2cos(t)+1>

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tham số hóa đường cong trong không gian. Cần chọn tham số và biểu diễn x, y, z theo tham số đó.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 19: Tính Jacobian của phép biến đổi tọa độ từ tọa độ cực (r, θ) sang tọa độ Descartes (x, y).

r^2

1/r

1/r^2

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về Jacobian và kỹ năng tính định thức Jacobian cho phép biến đổi tọa độ.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 20: Cho hàm số f(x, y) = {xy / (x^2 + y^2) nếu (x, y) ≠ (0, 0); 0 nếu (x, y) = (0, 0)}. Hàm số này có liên tục tại (0, 0) không?

Liên tục

Không liên tục

Liên tục theo từng biến nhưng không liên tục đồng thời

Chưa đủ thông tin để kết luận

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tính liên tục của hàm số hai biến tại một điểm. Cần xét giới hạn của hàm số khi (x, y) → (0, 0).

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 21: Tìm phương trình mặt phẳng tiếp tuyến với mặt z = x^2 + y^2 tại điểm (1, 2, 5).

z = x + 2y + 2

z = 2x + 4y - 5

z = x + y + 3

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm phương trình mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong cho trước tại một điểm.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 22: Tính tích phân đường ∫C · dr, với C là đường cong y = x^2 từ (0, 0) đến (1, 1).

1/2

2/3

5/6

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường vectơ. Cần tham số hóa đường cong và tính tích phân đường loại hai.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 23: Ứng dụng của tích phân bội ba trong vật lý là gì?

Tính diện tích bề mặt

Tính khối lượng và mômen quán tính của vật thể

Tính độ dài đường cong

Tính diện tích miền phẳng

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết về ứng dụng của tích phân bội ba trong thực tế.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 24: Phát biểu nào sau đây là đúng về đạo hàm riêng?

Đạo hàm riêng của f theo x tại một điểm cho biết tốc độ thay đổi của f theo hướng x khi các biến khác được giữ cố định.

Đạo hàm riêng của f theo x và y luôn bằng nhau.

Đạo hàm riêng chỉ tồn tại cho hàm số một biến.

Đạo hàm riêng là một vectơ.

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết về khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm riêng.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 25: Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:

(0, 0) duy nhất

(1, 1) duy nhất

(0, 0) và (1, 1)

Không có điểm dừng

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm điểm dừng của hàm số hai biến. Cần giải hệ phương trình đạo hàm riêng bậc nhất bằng 0.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 26: Định lý phân kỳ Gauss (Divergence Theorem) liên hệ tích phân nào với tích phân nào?

Tích phân đường với tích phân mặt.

Tích phân mặt kín với tích phân bội ba.

Tích phân đường với tích phân bội ba.

Tích phân kép với tích phân mặt.

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết về định lý phân kỳ Gauss và mối liên hệ giữa các loại tích phân.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 27: Cho trường vectơ F(x, y) = <-y, x>. Tính tích phân đường kín ∫C F · dr, với C là đường tròn x^2 + y^2 = 9 theo chiều kim đồng hồ.

9π

-9π

18π

-18π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường kín và có thể áp dụng định lý Green.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 28: Điều kiện nào sau đây đảm bảo hàm số f(x, y) có cực đại địa phương tại điểm dừng (x0, y0)?

fxx > 0 và fyy > 0 tại (x0, y0)

fxx < 0 và fyy < 0 tại (x0, y0)

fxx < 0 và D > 0 tại (x0, y0), với D = fxx fyy - (fxy)^2

fxx > 0 và D < 0 tại (x0, y0), với D = fxx fyy - (fxy)^2

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai cho cực trị địa phương của hàm số hai biến.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 29: Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑(n=0 đến ∞) (x/2)^n là:

(-2, 2]

(-2, 2)

[-2, 2]

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về chuỗi lũy thừa và miền hội tụ. Đây là kiến thức thường được nhắc đến trong Giải tích 3 như là một phần mở rộng của chuỗi số.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 03

Câu 30: Ứng dụng của tích phân đường trong vật lý là gì?

Tính công của lực dọc theo một đường cong

Tính thể tích vật thể

Tính diện tích bề mặt

Tính khối lượng vật thể

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết về ứng dụng của tích phân đường trong thực tế.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 04

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 1: Cho hàm số f(x, y) = x^3y^2 + sin(xy). Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂²f/∂x∂y.

6xy + ycos(xy)

6xy + cos(xy) - xy sin(xy)

6xy + xcos(xy)

3x^2y^2 + cos(xy)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp. Cần áp dụng quy tắc đạo hàm riêng lần lượt theo y rồi theo x.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 2: Tìm gradient của hàm số f(x, y, z) = xe^y + yz^2 tại điểm (1, 0, -1).

<1, 1, 0>

<e, 1, 2>

<1, 1, 0>

<0, e, -2>

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về gradient của hàm nhiều biến. Cần tính các đạo hàm riêng theo x, y, z và thay điểm vào.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 3: Tính tích phân đường ∫C (x^2 + y^2) ds, với C là đoạn thẳng nối từ (0, 0) đến (3, 4).

100

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường theo độ dài cung. Cần tham số hóa đường C và tính tích phân.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 4: Cho trường vectơ F(x, y) = . Tính div(F) và curl(F).

div(F) = 0, curl(F) = -2

div(F) = 2, curl(F) = 0

div(F) = -2, curl(F) = 0

div(F) = 0, curl(F) = 2

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về divergence và curl của trường vectơ 2 chiều. Cần áp dụng công thức tính div và curl.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 5: Tính tích phân bội hai ∫∫R (x + y) dA, với R là miền tam giác giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, và x + y = 1.

1/2

1/3

1/4

1/6

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bội hai trên miền tam giác. Cần xác định giới hạn tích phân và tính toán.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 6: Sử dụng tọa độ cực để tính tích phân bội hai ∫∫D e^(−(x²+y²)) dA, với D là hình tròn x² + y² ≤ 4.

π(1 - e⁻⁴)

2π(1 - e⁻²)

π(1 - e⁻⁴)

2π(1 - e⁻⁴)

Câu hỏi yêu cầu chuyển sang tọa độ cực để tính tích phân bội hai. Nhận biết miền D là hình tròn và tích phân hàm e^(-r^2).

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 7: Phát biểu nào sau đây là đúng về định lý Green?

Định lý Green liên hệ tích phân mặt với tích phân đường.

Định lý Green áp dụng cho trường vectơ trong không gian 3 chiều.

Định lý Green chỉ áp dụng cho miền không đơn liên.

Định lý Green liên hệ tích phân đường dọc theo biên của một miền phẳng với tích phân bội hai trên miền đó.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về định lý Green. Yêu cầu chọn phát biểu chính xác về mối liên hệ giữa tích phân đường và tích phân bội hai.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 8: Cho hàm số f(x, y) = x² + 2y² và ràng buộc g(x, y) = x + y - 1 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của f(x, y) trên ràng buộc này bằng phương pháp nhân tử Lagrange.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị có điều kiện.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 9: Tính tích phân bội ba ∫∫∫E z dV, với E là khối trụ tròn x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2.

2π

3π

4π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ. Cần chuyển sang tọa độ trụ và tính tích phân.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 10: Cho trường vectơ F(x, y, z) = . Tính thông lượng (flux) của F qua mặt cầu S: x² + y² + z² = 1, hướng ra ngoài.

2π

4π

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về thông lượng và có thể sử dụng định lý Gauss (Divergence Theorem) để giải.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 11: Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy.

Điểm cực tiểu địa phương tại (1, 1), điểm yên ngựa tại (0, 0).

Điểm cực đại địa phương tại (1, 1), điểm yên ngựa tại (0, 0).

Điểm cực tiểu địa phương tại (-1, -1), điểm yên ngựa tại (0, 0).

Điểm cực đại địa phương tại (-1, -1), điểm yên ngựa tại (0, 0).

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm cực trị địa phương của hàm hai biến. Cần tìm điểm dừng và sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 12: Tính tích phân đường loại hai ∫C y dx + x dy, với C là đường tròn đơn vị x² + y² = 1, ngược chiều kim đồng hồ.

2π

-2π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường loại hai. Có thể sử dụng tham số hóa hoặc định lý Green.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 13: Cho mặt cong S được tham số hóa bởi r(u, v) = , với 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1. Tính diện tích mặt cong S.

π/3

π/6

(5√5 - 1)π/6

(5√5 - 1)/6

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính diện tích mặt cong tham số hóa. Cần tính tích phân bội hai của độ dài vectơ pháp tuyến.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 14: Phát biểu nào sau đây là đúng về định lý Stokes?

Định lý Stokes liên hệ tích phân bội hai với tích phân đường.

Định lý Stokes áp dụng cho trường vô hướng.

Định lý Stokes liên hệ tích phân đường của một trường vectơ dọc theo biên của một mặt với tích phân mặt của curl của trường vectơ đó trên mặt.

Định lý Stokes chỉ áp dụng cho mặt phẳng.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về định lý Stokes. Yêu cầu chọn phát biểu chính xác về mối liên hệ giữa tích phân đường và tích phân mặt.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 15: Tính tích phân lặp ∫₀¹ ∫<0,√{1-x²}> xy dy dx.

1/8

1/4

1/2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân lặp. Cần tính tích phân trong theo y trước, sau đó tích phân theo x.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 16: Cho hàm số f(x, y) = ln(x² + y²). Tính Laplace của f(x, y), Δf = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y².

2/(x² + y²)

-2/(x² + y²)

4/(x² + y²)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính toán Laplace của hàm hai biến. Cần tính các đạo hàm riêng cấp hai và cộng lại.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 17: Chuyển tích phân bội hai ∫₀² ∫ f(x, y) dy dx sang thứ tự tích phân ngược lại.

∫₀² ∫<0,y> f(x, y) dx dy

∫<0,₂> ∫<0,y> f(x, y) dx dy

∫<0,₂> ∫<y,₂> f(x, y) dx dy

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng đổi thứ tự tích phân bội hai. Cần vẽ miền tích phân và xác định giới hạn mới.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 18: Tính công của trường vectơ F(x, y) = khi di chuyển một hạt dọc theo đường cong C: y = x² từ (0, 0) đến (1, 1).

1/2

2/3

3/4

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng của tích phân đường trong tính công. Cần tham số hóa đường cong C và tính tích phân đường loại hai.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 19: Cho hàm số f(x, y, z) = xyz. Tìm đạo hàm theo hướng của f tại điểm (1, 1, 1) theo hướng vectơ v = <1, 2, -1>.

√6

-√6

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm theo hướng. Cần tính gradient và tích vô hướng với vectơ đơn vị theo hướng v.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 20: Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (x/2)^n.

(-1, 1)

[-2, 2]

(-2, 2)

(-∞, ∞)

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Cần sử dụng tiêu chuẩn tỷ lệ hoặc căn để tìm bán kính hội tụ.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 21: Tìm chuỗi Taylor của hàm số f(x) = sin(x) tại x = 0.

∑<n=0,∞> (-1)^n x^(2n)/(2n)!

∑<n=0,∞> x^n/n!

∑<n=0,∞> x^(2n+1)/(2n+1)!

∑<n=0,∞> (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về chuỗi Taylor. Yêu cầu nhớ hoặc tính chuỗi Taylor của sin(x).

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 22: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong r = 2cos(θ).

π/2

2π

4π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính diện tích trong tọa độ cực. Cần sử dụng công thức tính diện tích trong tọa độ cực.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 23: Cho trường vectơ F(x, y, z) = <-y, x, z>. Tính curl(F).

<0, 0, 2>

<2, 0, 0>

<0, 2, 0>

<2, 2, 2>

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính curl của trường vectơ 3 chiều. Cần áp dụng công thức tính curl.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 24: Tìm điểm trên mặt paraboloid z = x² + y² gần điểm (3, 2, 0) nhất.

(1, 1, 2)

(2, 1, 5)

(3/2, 1, 13/4)

(2, 2, 8)

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng của cực trị trong không gian. Cần tối thiểu hóa khoảng cách từ điểm (3, 2, 0) đến mặt paraboloid.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 25: Tính tích phân mặt ∫∫S x dS, với S là phần mặt phẳng x + y + z = 1 nằm trong октан thứ nhất.

1/2

√3/2

1/√3

√3/6

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân mặt vô hướng. Cần tham số hóa mặt phẳng và tính tích phân.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 26: Cho hàm số f(x, y) = { (xy)/(x²+y²) nếu (x,y) ≠ (0,0) ; 0 nếu (x,y) = (0,0) }. Hàm số này có liên tục tại (0,0) không?

Không liên tục

Liên tục

Liên tục riêng theo x nhưng không liên tục theo y

Liên tục riêng theo y nhưng không liên tục theo x

Câu hỏi kiểm tra khái niệm liên tục của hàm nhiều biến. Cần xét giới hạn của hàm số khi (x, y) → (0, 0) theo các đường khác nhau.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 27: Sử dụng tọa độ cầu để tính tích phân bội ba ∫∫∫B (x² + y² + z²) dV, với B là hình cầu x² + y² + z² ≤ R².

(4/3)πR⁵

(4/5)πR⁵

(2/5)πR⁵

(2/3)πR⁵

Câu hỏi yêu cầu chuyển sang tọa độ cầu để tính tích phân bội ba. Nhận biết miền B là hình cầu và tích phân hàm ρ².

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 28: Cho trường vectơ F(x, y) = . Điều kiện nào sau đây đảm bảo trường vectơ F là trườngGradient (trường bảo toàn)?

∂P/∂x = ∂Q/∂y

∂P/∂y + ∂Q/∂x = 0

∂P/∂y = ∂Q/∂x

P = Q

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về trường vectơ bảo toàn và điều kiện cần và đủ để một trường vectơ là trường gradient trong 2D.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 29: Tìm chuỗi Maclaurin của hàm số f(x) = e^(-x²).

∑<n=0,∞> x^(2n)/(n)!

∑<n=0,∞> (-1)^n x^(n)/(n)!

∑<n=0,∞> (-1)^n x^(2n)/(2n)!

∑<n=0,∞> (-1)^n x^(2n)/(n)!

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng suy ra chuỗi Maclaurin từ chuỗi đã biết. Sử dụng chuỗi Maclaurin của e^u với u = -x².

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 04

Câu 30: Ứng dụng của tích phân bội ba trong vật lý là gì?

Tính diện tích bề mặt

Tính khối lượng và mômen quán tính của vật thể

Tính độ dài đường cong

Tính diện tích hình phẳng

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về ứng dụng thực tế của tích phân bội ba, đặc biệt trong lĩnh vực vật lý.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 05

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 1: Cho hàm số hai biến z = f(x, y) = x^3y - 2xy^2 + 3. Tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp ∂²z/∂x∂y.

3x² - 4y

3x²y - 4xy

3x² - 4y²

6xy - 4y

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp. Cần tính đạo hàm riêng theo x trước, sau đó lấy đạo hàm riêng kết quả theo y.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 2: Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong z = x² + y² tại điểm (1, 2, 5) có phương trình là:

z - 5 = (x - 1) + 2(y - 2)

z - 5 = 2(x - 1) + 4(y - 2)

z - 5 = (x + 1) + 2(y + 2)

z - 5 = 2x + 4y

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng đạo hàm riêng để tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc. Cần tính gradient tại điểm đó và sử dụng nó làm vector pháp tuyến.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 3: Tính tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) = xy dọc theo đường cong C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).

1/2

√2/2

1/4

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường loại 1. Cần tham số hóa đoạn thẳng và tính tích phân.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 4: Cho trường vector F(x, y) = (y, -x). Tính công của trường vector này dọc theo đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ.

-2π

2π

Câu hỏi kiểm tra tích phân đường loại 2 và khái niệm công trong trường vector. Cần tham số hóa đường tròn và tính tích phân.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 5: Tính tích phân bội hai ∫∫_D (x + y) dA, với D là miền tam giác giới hạn bởi các đường thẳng y = 0, x = 1, và y = x.

5/6

1/2

2/3

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bội hai trên miền tam giác. Cần xác định giới hạn tích phân và tính toán.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 6: Sử dụng tọa độ cực để tính tích phân bội hai ∫∫_D e^(x²+y²) dA, với D là hình tròn x² + y² ≤ 4.

π(e^4 - 1)

π/2 (e^4 - 1)

2π(e^4 - 1)

4π(e^4 - 1)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng chuyển đổi sang tọa độ cực để tính tích phân bội hai. Nhận biết dạng tích phân phù hợp với tọa độ cực và thực hiện đổi biến.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 7: Tính tích phân bội ba ∫∫∫_V x dV, với V là khối hộp chữ nhật 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bội ba trên khối hộp chữ nhật. Thiết lập giới hạn và tính tích phân.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 8: Cho trường vector F(x, y, z) = (x, y, z). Tính div F (divergence của F).

(1, 1, 1)

xyz

Câu hỏi kiểm tra khái niệm và cách tính divergence của trường vector. Áp dụng công thức divergence.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 9: Cho trường vector G(x, y, z) = (y, z, x). Tính curl G (rotor của G).

(0, 0, 0)

(-1, -1, -1)

(1, 1, 1)

(x, y, z)

Câu hỏi kiểm tra khái niệm và cách tính curl của trường vector. Áp dụng công thức curl.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 10: Định lý Green liên hệ giữa tích phân đường và tích phân mặt nào?

Tích phân bội hai

Tích phân mặt

Tích phân đường loại 1

Tích phân bội ba

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về định lý Green và mối liên hệ của nó. Nhớ lại phát biểu định lý Green.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 11: Định lý Stokes liên hệ giữa tích phân đường và tích phân mặt nào?

Tích phân bội hai

Tích phân mặt

Tích phân đường loại 1

Tích phân bội ba

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về định lý Stokes và mối liên hệ của nó. Nhớ lại phát biểu định lý Stokes.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 12: Định lý Divergence (Gauss) liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân nào?

Tích phân bội hai

Tích phân mặt khác

Tích phân đường

Tích phân bội ba

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về định lý Divergence và mối liên hệ của nó. Nhớ lại phát biểu định lý Divergence.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 13: Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy.

Điểm cực tiểu địa phương tại (1, 1)

Điểm cực đại địa phương tại (1, 1)

Điểm yên ngựa tại (1, 1)

Không có cực trị địa phương

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm cực trị địa phương của hàm hai biến. Cần tìm điểm dừng và sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 14: Tính diện tích mặt nón z = √(x² + y²) nằm dưới mặt phẳng z = 3.

9π

9π√2

18π

18π√2

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng tích phân mặt để tính diện tích mặt cong. Cần tham số hóa mặt nón và tính tích phân.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 15: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid z = x² + y² và mặt phẳng z = 4.

4π

8π

16π

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng tích phân bội ba để tính thể tích. Sử dụng tọa độ trụ hoặc cực để tính tích phân.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 16: Cho trường vector F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện nào sau đây đảm bảo F là trường vector bảo toàn?

∂P/∂x = ∂Q/∂y

∂P/∂y + ∂Q/∂x = 0

∂P/∂x + ∂Q/∂y = 0

∂P/∂y = ∂Q/∂x

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về trường vector bảo toàn và điều kiện để một trường vector là bảo toàn. Nhớ lại điều kiện cần và đủ.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 17: Tìm vi phân toàn phần của hàm số z = f(x, y) = sin(xy).

dz = cos(xy) dx + cos(xy) dy

dz = ycos(xy) dx + xcos(xy) dy

dz = xcos(xy) dx + ycos(xy) dy

dz = -ycos(xy) dx - xcos(xy) dy

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính vi phân toàn phần của hàm hai biến. Áp dụng công thức vi phân toàn phần.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 18: Tính Jacobian của phép biến đổi tọa độ từ Cartesian (x, y) sang Polar (r, θ).

r²

1/r

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về Jacobian và cách tính Jacobian cho phép biến đổi tọa độ. Tính định thức Jacobian ma trận.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 19: Cho hàm số f(x, y) = x² + y². Tìm hướng mà hàm số tăng nhanh nhất tại điểm (1, 2).

(1, 2)

(-1, -2)

(2, 1)

(2, 4)

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng của gradient trong việc tìm hướng tăng nhanh nhất. Hướng tăng nhanh nhất là hướng của gradient.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 20: Tính tích phân đường ∫_C (x² + y²) ds, với C là nửa đường tròn x² + y² = 1, y ≥ 0.

π/2

2π

3π/2

Câu hỏi kiểm tra tích phân đường loại 1 trên đường cong nửa đường tròn. Tham số hóa nửa đường tròn và tính tích phân.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 21: Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x/2)^n.

(-1, 1)

[-2, 2]

(-2, 2)

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về chuỗi lũy thừa và miền hội tụ. Sử dụng tiêu chuẩn tỷ số hoặc căn để tìm bán kính hội tụ.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 22: Chuỗi Taylor của hàm số f(x) = e^x tại x = 0 là gì?

∑_(n=0)^∞ x^n/n!

∑_(n=0)^∞ x^n

∑_(n=1)^∞ x^n/n!

∑_(n=1)^∞ (-1)^n x^n/n!

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về chuỗi Taylor và khai triển Taylor của hàm e^x. Nhớ lại khai triển Taylor cơ bản.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 23: Tính tích phân mặt ∫∫_S F · dS, với F = (x, y, z) và S là mặt cầu đơn vị x² + y² + z² = 1, hướng ra ngoài.

2π

4π

Câu hỏi kiểm tra tích phân mặt và tính flux. Sử dụng định lý Divergence hoặc tính trực tiếp tích phân mặt.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 24: Cho hàm số f(x, y) = xy. Tính đạo hàm theo hướng của vector v = (1, 1) tại điểm (2, 3).

5√2/2

Câu hỏi kiểm tra đạo hàm theo hướng. Tính gradient và chiếu lên vector đơn vị theo hướng v.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 25: Trong tọa độ trụ, biểu thức dV được biểu diễn như thế nào?

dr dθ dz

r dr dθ dz

r² sin(φ) dr dθ dφ

ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về hệ tọa độ trụ và yếu tố thể tích dV. Nhớ lại công thức dV trong tọa độ trụ.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 26: Trong tọa độ cầu, biểu thức dV được biểu diễn như thế nào?

dr dθ dz

r dr dθ dz

r² sin(φ) dr dθ dφ

ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về hệ tọa độ cầu và yếu tố thể tích dV. Nhớ lại công thức dV trong tọa độ cầu.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 27: Mặt cong nào sau đây có thể được tham số hóa bởi r(u, v) = ?

Paraboloid

Mặt nón

Mặt trụ

Mặt phẳng

Câu hỏi kiểm tra khả năng nhận diện mặt cong từ tham số hóa. Phân tích dạng tham số hóa để xác định loại mặt.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 28: Tính diện tích hình bình hành được tạo bởi các vector u = <1, 2, 3> và v = <4, 5, 6>.

√3

3√2

3√3

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng tích có hướng để tính diện tích hình bình hành. Diện tích bằng độ dài của tích có hướng.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 29: Cho hàm số f(x, y) = {xy / (x² + y²) nếu (x, y) ≠ (0, 0), 0 nếu (x, y) = (0, 0)}. Hàm số này có liên tục tại (0, 0) không?

Liên tục

Không liên tục

Liên tục theo x nhưng không liên tục theo y

Liên tục theo y nhưng không liên tục theo x

Câu hỏi kiểm tra khái niệm liên tục của hàm nhiều biến. Xét giới hạn của hàm số khi (x, y) tiến đến (0, 0) theo các đường khác nhau.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 05

Câu 30: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = x + y trên miền D = {(x, y) | x² + y² ≤ 1}.

√2/2

√2

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên miền đóng và bị chặn. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange hoặc xét biên và điểm trong.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 06

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 1: Cho hàm số hai biến $f(x, y) = x^3y - 2xy^2 + 3x$. Tìm đạo hàm riêng cấp hai $frac{partial^2 f}{partial x partial y}$.

3x^2 - 4y

3x^2 - 4xy - 2y^2 + 3

3x^2 - 4y

6xy - 4y

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp của hàm số hai biến. Cần thực hiện đạo hàm riêng theo y trước, sau đó theo x.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 2: Cho vectơ $vec{a} = (1, -2, 3)$ và $vec{b} = (2, 1, -1)$. Tính tích có hướng $vec{a} imes vec{b}$.

(-1, 7, 5)

(1, -7, -5)

(5, 7, -1)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích có hướng của hai vectơ trong không gian ba chiều.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 3: Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 14$ tại điểm $M(1, 2, 3)$.

$x + 2y + 3z = 0$

$2x + 4y + 6z = 14$

$x - 2y + 3z = 6$

$x + 2y + 3z = 14$

Câu hỏi yêu cầu vận dụng kiến thức về gradient để tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong tại một điểm.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 4: Tính tích phân đường loại 1 $int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối từ điểm $A(0, 0)$ đến $B(3, 4)$.

100

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường loại 1. Cần tham số hóa đường cong C và tính tích phân.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 5: Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $sum_{n=1}^{infty} frac{(x-2)^n}{n cdot 3^n}$.

$(-3, 3)$

$[-3, 3)$

$[-1, 5)$

$(-1, 5]$

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về chuỗi lũy thừa và phương pháp tìm miền hội tụ (tiêu chuẩn D'Alembert hoặc Cauchy).

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 6: Tìm cực trị địa phương của hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$.

Hàm số không có cực trị địa phương

Cực tiểu tại (1, 1)

Cực đại tại (1, 1)

Cực đại tại (0, 0)

Câu hỏi yêu cầu tìm cực trị địa phương của hàm số hai biến. Cần tìm điểm dừng và sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 7: Tính tích phân bội hai $iint_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = x$.

1/2

1/6

5/12

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bội hai trên một miền phẳng. Cần xác định giới hạn tích phân và tính tích phân lặp.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 8: Cho trường vectơ $vec{F}(x, y, z) = (2x, -y, z^2)$. Tính div $vec{F}$ tại điểm $P(1, 2, -1)$.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về toán tử divergence của trường vectơ.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 9: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn phần $(2xy + 3)dx + (x^2 - 1)dy = 0$.

$x^2y + 3x - y = C$

$x^2y + 3x + y = C$

$x^2y + 3x - y = C$

$xy^2 + 3x - y = C$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng giải phương trình vi phân toàn phần.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 10: Tính diện tích mặt paraboloid $z = x^2 + y^2$ nằm dưới mặt phẳng $z = 4$.

$frac{8pi}{3}(5sqrt{5}-1)$

$frac{pi}{6}(17sqrt{17}-1)$

$frac{pi}{3}(10sqrt{10}-1)$

$frac{2pi}{3}(8sqrt{8}-1)$

Câu hỏi yêu cầu ứng dụng tích phân bội hai để tính diện tích mặt cong.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 11: Cho hàm số $f(x, y) = e^{xy}$. Tính gradient của $f$ tại điểm $(1, 0)$.

$(e, 0)$

$(0, e)$

$(1, 0)$

$(0, 1)$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính gradient của hàm số hai biến.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 12: Tính tích phân đường loại 2 $oint_C (y dx + x dy)$, với $C$ là đường tròn đơn vị $x^2 + y^2 = 1$ theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.

$pi$

$2pi$

$0$

$-pi$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường loại 2 trên đường cong kín. Có thể sử dụng định lý Green.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 13: Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt $z = x^2 + y^2$ và $z = 8 - x^2 - y^2$.

$8pi$

$16pi$

$32pi$

$4pi$

Câu hỏi yêu cầu ứng dụng tích phân bội ba hoặc tích phân trụ để tính thể tích vật thể.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 14: Cho trường vectơ $vec{F}(x, y) = (-y, x)$. Tính curl $vec{F}$.

(-1, 1)

$(1, -1)$

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về toán tử curl của trường vectơ hai chiều.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 15: Sử dụng tọa độ cực để tính tích phân $iint_D e^{-(x^2+y^2)} dA$, với $D = mathbb{R}^2$.

$pi$

$2pi$

$1$

$epi$

Câu hỏi yêu cầu chuyển đổi sang tọa độ cực để tính tích phân suy rộng trên toàn mặt phẳng.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 16: Tìm đạo hàm theo hướng của hàm số $f(x, y) = x^2y$ tại điểm $(2, 1)$ theo hướng vectơ $vec{v} = (1, 1)$.

$2sqrt{2}$

$3sqrt{2}$

$4sqrt{2}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm theo hướng. Cần chuẩn hóa vectơ hướng và sử dụng gradient.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 17: Cho hàm số $z = f(x, y)$ khả vi. Biết tại điểm $(1, 2)$, $frac{partial f}{partial x} = 3$ và $frac{partial f}{partial y} = -1$. Tính vi phân toàn phần $dz$ tại điểm $(1, 2)$.

$dz = 3dx + dy$

$dz = 3dx - dy$

$dz = -dx + 3dy$

$dz = -dx - 3dy$

Câu hỏi kiểm tra khái niệm vi phân toàn phần của hàm số hai biến.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 18: Tính tích phân mặt $iint_S vec{F} cdot dvec{S}$, với $vec{F} = (x, y, z)$ và $S$ là mặt cầu đơn vị $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ hướng ra ngoài.

$pi$

$2pi$

$3pi$

$4pi$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân mặt của trường vectơ. Có thể sử dụng định lý Divergence.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 19: Tìm điểm dừng của hàm số $f(x, y) = x^2 + 2y^2 - 2xy - 2x + 4y + 5$.

$(0, -1)$

$(1, 0)$

(-1, 0)

$(0, 1)$

Câu hỏi yêu cầu tìm điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình đạo hàm riêng bằng 0.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 20: Cho đường cong $C$ là giao tuyến của mặt trụ $x^2 + y^2 = 4$ và mặt phẳng $z = x + y$. Tham số hóa đường cong $C$.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tham số hóa đường cong trong không gian ba chiều.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 21: Tính tích phân suy rộng $int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} frac{1}{(1+x^2+y^2)^{3/2}} dA$.

$2pi$

$4pi$

$pi$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân suy rộng bội hai, nên chuyển sang tọa độ cực.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 22: Cho hàm số $f(x, y, z) = xyz$. Tính $
abla^2 f = frac{partial^2 f}{partial x^2} + frac{partial^2 f}{partial y^2} + frac{partial^2 f}{partial z^2}$.

$xyz$

$xy + yz + zx$

$0$

$x + y + z$

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về toán tử Laplace (Laplacian) của hàm số ba biến.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 23: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x, y) = xy$ trên miền $D = {(x, y) mid x^2 + y^2 le 1}$.

$-1$

1/2

Câu hỏi yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền đóng và bị chặn. Sử dụng phương pháp Lagrange hoặc xét biên và điểm trong.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 24: Áp dụng định lý Stokes để tính $oint_C vec{F} cdot dvec{r}$, với $vec{F} = (y, z, x)$ và $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1, z = 2$ hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ trên xuống.

$-pi$

$pi$

$2pi$

$-2pi$

Câu hỏi yêu cầu ứng dụng định lý Stokes để chuyển tích phân đường thành tích phân mặt.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 25: Xác định tính hội tụ của tích phân $int_1^infty int_1^infty frac{1}{x^2 + y^2} dy dx$.

Hội tụ

Phân kỳ

Không xác định

Cần thêm điều kiện để xác định

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tích phân suy rộng bội hai và điều kiện hội tụ.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 26: Cho hàm số $f(x,y) = begin{cases} frac{xy}{sqrt{x^2 + y^2}}, & (x,y)
eq (0,0) 0, & (x,y) = (0,0) end{cases}$. Xét tính liên tục của $f(x, y)$ tại $(0, 0)$.

Liên tục

Gián đoạn

Liên tục theo x nhưng gián đoạn theo y

Gián đoạn theo x nhưng liên tục theo y

Câu hỏi kiểm tra tính liên tục của hàm số hai biến tại gốc tọa độ, cần xét giới hạn khi $(x,y) o (0,0)$.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 27: Tìm chuỗi Taylor của hàm số $f(x) = sin(x^2)$ tại $x = 0$ đến số hạng $x^6$.

$x^2 - frac{x^6}{3!} + ...$

$x^2 + frac{x^6}{3!} + ...$

$x^2 - frac{x^6}{3!} + O(x^8)$

$x^2 + frac{x^6}{3!} + O(x^8)$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng khai triển Taylor của hàm số.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 28: Tính công của trường lực $vec{F}(x, y) = (x^2, y^2)$ khi di chuyển vật thể từ điểm $A(0, 0)$ đến $B(1, 1)$ dọc theo đường thẳng $y = x$.

1/2

2/3

3/2

Câu hỏi ứng dụng tích phân đường loại 2 để tính công của trường lực.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 29: Cho mặt cong $S$ được tham số bởi $vec{r}(u, v) = (ucos v, usin v, u^2)$, với $0 le u le 1, 0 le v le 2pi$. Tính diện tích mặt $S$.

$pi$

$2pi$

$frac{pi}{2}(5sqrt{5}-1)$

$frac{pi}{6}(5sqrt{5}-1)$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính diện tích mặt cong tham số.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 06

Câu 30: Phát biểu nào sau đây là đúng về định lý Green?

Định lý Green liên hệ tích phân mặt với tích phân đường trong không gian.

Định lý Green luôn đúng cho mọi đường cong kín và trường vectơ.

Định lý Green liên hệ tích phân đường trên đường cong kín phẳng với tích phân bội hai trên miền phẳng giới hạn bởi đường cong đó.

Định lý Green chỉ áp dụng cho trường vectơ bảo toàn.

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về định lý Green và điều kiện áp dụng.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 07

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 1: Cho hàm số hai biến $f(x, y) = x^3y^2 + e^{xy}$. Đạo hàm riêng cấp hai $frac{partial^2 f}{partial x partial y}$ là:

$6xy + e^{xy}$

$6xy + e^{xy}(xy + 1)$

$6xy + ye^{xy}$

$6xy + xye^{xy}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp. Cần tính đạo hàm riêng theo x trước, sau đó theo y (hoặc ngược lại) và áp dụng quy tắc đạo hàm cho từng thành phần.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 2: Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5$. Điểm cực tiểu của hàm số là:

$(2, 1)$

$(0, 0)$

$(2, -1)$

Câu hỏi về tìm cực trị hàm hai biến. Cần tìm điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình đạo hàm riêng bậc nhất bằng 0, sau đó sử dụng định thức Hessian để xác định loại cực trị.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 3: Tính tích phân lặp $int_{0}^{1} int_{x}^{1} xy , dy , dx$.

$1/24$

$1/12$

$1/8$

$1/6$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân lặp hai lớp. Cần tính tích phân bên trong theo y trước, với x xem như hằng số, sau đó tính tích phân kết quả theo x.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 4: Miền $D$ được giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = x$. Tích phân $iint_{D} x , dA$ bằng:

$1/12$

$1/20$

$1/30$

$1/60$

Câu hỏi về tích phân kép trên miền xác định. Cần xác định cận tích phân dựa trên giao điểm của hai đường cong và thiết lập tích phân kép phù hợp.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 5: Cho trường vectơ $mathbf{F}(x, y, z) = (2x, -y, z^2)$. Tính div $mathbf{F}$ tại điểm $(1, 2, 3)$.

$2$

$3$

$4$

$5$

Câu hỏi kiểm tra khái niệm divergence của trường vectơ. Cần tính đạo hàm riêng của từng thành phần vectơ và cộng lại, sau đó thay điểm đã cho.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 6: Đường cong $C$ tham số hóa bởi $mathbf{r}(t) = (cos t, sin t, t)$ với $0 le t le 2pi$. Tính tích phân đường $int_{C} z , ds$.

$0$

$pi^2$

$2pi^2$

$2pi^2sqrt{2}$

Câu hỏi về tích phân đường vô hướng. Cần tính độ dài vi phân $ds = ||mathbf{r}'(t)|| dt$, sau đó thiết lập và tính tích phân.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 7: Tính diện tích mặt $S$ là phần mặt paraboloid $z = x^2 + y^2$ nằm dưới mặt phẳng $z = 1$.

$pi/3$

$pi/2$

$frac{pi}{6}(5sqrt{5}-1)$

$pisqrt{5}$

Câu hỏi về diện tích mặt cong. Cần tham số hóa mặt, tính pháp tuyến và độ lớn của tích vectơ pháp tuyến, sau đó tính tích phân kép.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 8: Cho trường vectơ $mathbf{F}(x, y) = (-y, x)$. Tính công của trường vectơ này dọc theo đường tròn đơn vị $x^2 + y^2 = 1$ theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.

$0$

$pi$

$2pi/3$

$2pi$

Câu hỏi về công của trường vectơ (tích phân đường vectơ). Cần tham số hóa đường tròn, tính tích vô hướng $mathbf{F} cdot mathbf{r}'(t)$ và tích phân.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 9: Sử dụng định lý Green để tính tích phân đường $oint_{C} (y^2 , dx + x , dy)$, với $C$ là biên của hình vuông có các đỉnh $(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)$ theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.

$0$

$-2$

$1$

$2$

Câu hỏi áp dụng định lý Green. Cần xác định $P(x, y) = y^2$ và $Q(x, y) = x$, tính $frac{partial Q}{partial x} - frac{partial P}{partial y}$, sau đó tính tích phân kép trên miền hình vuông.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 10: Tính tích phân mặt $iint_{S} mathbf{F} cdot dmathbf{S}$, với $mathbf{F} = (x, y, z)$ và $S$ là mặt cầu đơn vị $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ với pháp tuyến hướng ra ngoài.

$0$

$pi$

$frac{4pi}{3}$

$4pi$

Câu hỏi về tích phân mặt vectơ (flux). Có thể sử dụng tham số hóa mặt cầu hoặc định lý Divergence. Nếu dùng tham số hóa, cần tính tích vectơ pháp tuyến và tích vô hướng.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 11: Cho hàm số $f(x, y) = ln(x^2 + y^2)$. Tính $
abla^2 f = frac{partial^2 f}{partial x^2} + frac{partial^2 f}{partial y^2}$ (Laplacian của $f$) với $(x, y)
eq (0, 0)$.

$0$

$frac{2}{x^2 + y^2}$

$frac{4}{(x^2 + y^2)^2}$

$frac{-2}{(x^2 + y^2)^2}$

Câu hỏi kiểm tra khái niệm Laplacian. Cần tính đạo hàm riêng cấp hai theo x và y, rồi cộng lại. Yêu cầu tính toán cẩn thận với hàm logarithm.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 12: Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $sum_{n=0}^{infty} frac{(x-2)^n}{n+1}$.

Câu hỏi về chuỗi lũy thừa. Cần sử dụng tiêu chuẩn tỷ lệ hoặc căn để tìm bán kính hội tụ, sau đó kiểm tra hội tụ tại các đầu mút của khoảng hội tụ.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 13: Khai triển hàm số $f(x) = sin x$ thành chuỗi Maclaurin đến số hạng $x^5$.

Câu hỏi về chuỗi Maclaurin. Cần nhớ công thức khai triển Maclaurin hoặc tính các đạo hàm của $sin x$ tại $x=0$ để xây dựng chuỗi.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 14: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất $y'' - 3y' + 2y = 0$.

Câu hỏi về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai. Cần giải phương trình đặc trưng để tìm nghiệm cơ bản và viết nghiệm tổng quát.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 15: Cho phương trình vi phân $rac{dy}{dx} = xy$. Đây là phương trình vi phân loại nào?

Tách biến số

Tuyến tính cấp nhất

Bernoulli

Exact

Câu hỏi về phân loại phương trình vi phân. Cần nhận diện dạng của phương trình để xác định loại (tách biến số, tuyến tính, Bernoulli, ...).

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 16: Giải phương trình vi phân $rac{dy}{dx} = 2x$ với điều kiện ban đầu $y(1) = 2$. Giá trị của $y(2)$ là:

$2$

$3$

$5$

$6$

Câu hỏi về phương trình vi phân với bài toán giá trị ban đầu. Cần tích phân phương trình và sử dụng điều kiện ban đầu để tìm hằng số tích phân.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 17: Cho hàm số $f(x, y) = begin{cases} frac{xy}{x^2 + y^2} & ext{nếu } (x, y)
eq (0, 0) 0 & ext{nếu } (x, y) = (0, 0) end{cases}$. Hàm số $f(x, y)$ có liên tục tại $(0, 0)$ không?

Liên tục

Không liên tục

Chỉ liên tục theo biến x

Chỉ liên tục theo biến y

Câu hỏi về tính liên tục của hàm hai biến. Cần xét giới hạn của hàm số khi $(x, y) o (0, 0)$ theo các đường khác nhau để kiểm tra tính liên tục.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 18: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt $z = x^2 - y^2$ tại điểm $(1, 2, -3)$.

Câu hỏi về vectơ pháp tuyến của mặt cong. Cần tìm gradient của hàm $g(x, y, z) = z - x^2 + y^2 = 0$ tại điểm đã cho.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 19: Tính thể tích khối trụ tròn xoay được tạo ra khi quay miền phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, và $x = 2$ quanh trục $x$.

$4pi$

$8pi$

$frac{32pi}{5}$

$16pi$

Câu hỏi về ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay. Sử dụng phương pháp đĩa hoặc vỏ trụ để thiết lập tích phân.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 20: Cho tích phân $int_{0}^{infty} e^{-x^2} dx = frac{sqrt{pi}}{2}$. Tính $int_{-infty}^{infty} e^{-x^2/2} dx$.

$frac{sqrt{pi}}{2}$

$sqrt{2pi}$

$pi$

$2sqrt{pi}$

Câu hỏi về tích phân suy rộng và biến đổi tích phân. Cần sử dụng phép đổi biến để đưa tích phân cần tính về dạng tích phân đã cho.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 21: Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân $y'' + y = cos x$.

Câu hỏi về phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất. Cần tìm nghiệm riêng bằng phương pháp hệ số bất định hoặc biến thiên hằng số.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 22: Sử dụng định lý Stokes để tính $oint_{C} mathbf{F} cdot dmathbf{r}$, với $mathbf{F} = (y, z, x)$ và $C$ là giao tuyến của mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ và mặt phẳng $z = 0$, hướng ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ trục $z$ dương.

$-2pi$

$0$

$2pi$

$pi$

Câu hỏi áp dụng định lý Stokes. Cần tính curl $mathbf{F}$, chọn mặt $S$ giới hạn bởi $C$ (đĩa tròn), và tính tích phân mặt.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 23: Cho hàm số $f(x, y) = xy$. Tìm đạo hàm theo hướng của $mathbf{v} = (1, 1)$ tại điểm $(1, 2)$.

$frac{1}{sqrt{2}}$

$sqrt{2}$

$3sqrt{2}$

Câu hỏi về đạo hàm theo hướng. Cần tính gradient của $f$, chuẩn hóa vectơ $mathbf{v}$, và tính tích vô hướng.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 24: Tính tích phân bội ba $iiint_{E} dV$, với $E$ là khối hộp chữ nhật $0 le x le 1, 0 le y le 2, 0 le z le 3$.

$2$

$3$

$6$

$12$

Câu hỏi về tích phân bội ba. Tích phân trên khối hộp chữ nhật đơn giản là tích của độ dài các cạnh.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 25: Chuyển tích phân $int_{0}^{1} int_{0}^{sqrt{1-x^2}} dy , dx$ sang tọa độ cực.

Câu hỏi về chuyển đổi tọa độ trong tích phân kép. Cần xác định miền tích phân trong tọa độ Descartes và biểu diễn nó trong tọa độ cực, sau đó thay đổi Jacobian.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 26: Cho hàm số $f(x,y) = x^2 + 2y^2$. Tìm giá trị lớn nhất của $f(x,y)$ trên miền $x^2 + y^2 le 1$.

Câu hỏi về tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng và bị chặn. Cần tìm cực trị trong miền và trên biên, so sánh các giá trị.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 27: Tính curl của trường vectơ $mathbf{F}(x, y, z) = (y^2z, xz^2, xy^2)$.

$(2xy - 2xz, -y^2, z^2)$

$(2xy, -2xz, -y^2)$

$(2xy - 2xz, -y^2, z^2 - 2yz)$

$(2xy + 2xz, y^2, z^2 + 2yz)$

Câu hỏi về curl của trường vectơ. Cần áp dụng công thức tính curl, là một toán tử vi phân vectơ.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 28: Tính tích phân đường loại hai $int_C x dy - y dx$ dọc theo đường cong $C: mathbf{r}(t) = (cos t, sin t), 0 le t le pi$.

$0$

$pi/2$

$pi$

Câu hỏi về tích phân đường loại hai. Cần thay thế $x(t), y(t), dx = x'(t)dt, dy = y'(t)dt$ vào tích phân và tính.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 29: Cho phương trình vi phân $y' + frac{1}{x}y = x^2$. Tìm thừa số tích phân.

$x^{-1}$

$x$

$ln|x|$

$e^x$

Câu hỏi về phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất. Cần xác định hệ số $P(x)$ và tính thừa số tích phân $e^{int P(x) dx}$.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 07

Câu 30: Phát biểu nào sau đây là đúng về định lý Divergence?

Định lý Divergence liên hệ tích phân đường với tích phân mặt.

Định lý Divergence chỉ áp dụng cho trường vectơ 2 chiều.

Định lý Divergence liên hệ thông lượng (flux) của trường vectơ qua một mặt kín với tích phân bội ba của divergence bên trong thể tích được bao bởi mặt đó.

Định lý Divergence luôn đơn giản hóa việc tính tích phân đường.

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi về lý thuyết định lý Divergence. Cần chọn phát biểu chính xác về mối liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân bội ba của divergence.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 08

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 1: Cho hàm số hai biến z = f(x, y) = x^3y^2 + 3x - 2y + 5. Tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp ∂²z/∂x∂y.

6xy

6x²y

3x²y

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp. Ta cần tính đạo hàm riêng theo x trước, sau đó lấy đạo hàm riêng kết quả theo y.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 2: Tìm gradient của hàm số f(x, y, z) = xe^(yz) tại điểm (1, 0, 2).

<e², 2e², 0>

<e², e², 0>

<e², 2e², 0>

<e, 2e, 0>

Câu hỏi yêu cầu tìm gradient của hàm số ba biến tại một điểm. Gradient là vector chứa các đạo hàm riêng theo từng biến.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 3: Tính tích phân đường ∫C (x² + y²) ds, với C là đoạn đường thẳng từ (0, 0) đến (3, 4).

100

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường vô hướng. Cần tham số hóa đường thẳng C và tính tích phân theo tham số.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 4: Cho trường vector F(x, y) = . Tính công của trường vector F khi di chuyển một hạt dọc theo đường cong C: r(t) = , 0 ≤ t ≤ π/2.

-1

π/2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính công của trường vector dọc theo đường cong. Công được tính bằng tích phân đường vector.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 5: Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy.

Hàm số có cực đại tại (0, 0) và cực tiểu tại (1, 1).

Hàm số có cực tiểu tại (1, 1) và không có cực đại địa phương.

Hàm số có cực đại tại (1, 1) và không có cực tiểu địa phương.

Hàm số không có cực trị địa phương.

Câu hỏi yêu cầu tìm cực trị địa phương. Cần tìm điểm dừng bằng cách giải hệ đạo hàm riêng bằng 0, sau đó dùng định thức Hesse để xác định loại cực trị.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 6: Tính tích phân lặp ∫₀¹ ∫<0,√{1-x²}> xy dy dx.

1/2

1/4

1/8

1/16

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân lặp hai lớp. Cần tính tích phân bên trong theo y trước, sau đó tính tích phân bên ngoài theo x.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 7: Chuyển tích phân lặp ∫<0,2> ∫<0,√(4-x²)> ∫<√(x²+y²),2> dz dy dx sang tọa độ trụ.

∫₀^(π/2) ∫₀² ∫<r,2> r dz dr dθ

∫₀^(2π) ∫₀² ∫<r,2> r dz dr dθ

∫₀^(π/2) ∫₀² ∫<0,2> r dz dr dθ

∫₀^(π/2) ∫₀² ∫<r,2> r dz dr dθ

Câu hỏi yêu cầu chuyển đổi tích phân từ tọa độ Descartes sang tọa độ trụ. Cần xác định giới hạn tích phân mới trong tọa độ trụ.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 8: Sử dụng định lý Green để tính tích phân đường ∫C (y² dx + x dy), với C là biên của hình tròn x² + y² = 4, ngược chiều kim đồng hồ.

2π

4π

8π

Câu hỏi yêu cầu áp dụng định lý Green. Cần xác định miền D giới hạn bởi C và tính tích phân kép trên D.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 9: Tính diện tích bề mặt của phần mặt paraboloid z = x² + y² nằm dưới mặt phẳng z = 4.

π/6 (5√5 - 1)

2π/3 (5√5 - 1)

π/6 (17√17 - 1)

π/3 (17√17 - 1)

Câu hỏi yêu cầu tính diện tích bề mặt. Cần sử dụng công thức tính diện tích bề mặt và tính tích phân kép.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 10: Tính lưu lượng của trường vector F(x, y, z) = qua mặt cầu S: x² + y² + z² = 9, hướng ra ngoài.

9π

18π

36π

108π

Câu hỏi yêu cầu tính lưu lượng (flux). Có thể sử dụng định lý Gauss (định lý phân kỳ) để chuyển tích phân mặt thành tích phân khối.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 11: Cho hàm số f(x,y) = ln(x² + y²). Tính ∇²f (toán tử Laplace của f).

2/(x² + y²)

-2/(x² + y²)²

4/(x² + y²)

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về toán tử Laplace. Toán tử Laplace là tổng các đạo hàm riêng cấp hai.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 12: Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (x-2)^n / n².

(1, 3)

[1, 3)

[1, 3]

(1, 3]

Câu hỏi về chuỗi lũy thừa. Cần sử dụng tiêu chuẩn tỷ lệ hoặc căn để tìm bán kính hội tụ và kiểm tra tại biên.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 13: Tìm khai triển Taylor của hàm số f(x, y) = sin(xy) tại điểm (0, 0) đến bậc 2.

1 + xy

xy + (xy)²/2!

1 + xy + (xy)²/2!

Câu hỏi yêu cầu khai triển Taylor cho hàm hai biến. Cần tính các đạo hàm riêng đến cấp 2 tại điểm (0, 0).

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 14: Giải phương trình vi phân đạo hàm riêng u + u = 0. Phương trình này thuộc loại phương trình đạo hàm riêng nào?

Parabolic

Elliptic

Hyperbolic

Tuyến tính

Câu hỏi nhận biết loại phương trình đạo hàm riêng. Phương trình Laplace là một dạng phương trình elliptic.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 15: Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân toàn phần (2xy + y²) dx + (x² + 2xy) dy = 0.

x²y + xy² = C

xy² + y³ = C

x³y + xy² = C

x²y + xy² = C

Câu hỏi về phương trình vi phân toàn phần. Cần kiểm tra tính toàn phần và tìm hàm thế.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 16: Tính tích phân bội ba ∫∫∫E (x + y + z) dV, với E là hình hộp chữ nhật 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.

Câu hỏi tính tích phân bội ba trên hình hộp chữ nhật. Tích phân có thể tách thành tích của các tích phân một biến.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 17: Cho trường vector F(x, y, z) = <-y, x, z>. Tính curl F.

<0, 0, 2>

<2, 0, 0>

<0, 2, 0>

<2, 2, 2>

Câu hỏi tính curl của trường vector. Curl đo độ xoáy của trường vector.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 18: Áp dụng định lý Stokes để tính ∫C F · dr, với F = <-y², x, z²> và C là giao tuyến của mặt trụ x² + y² = 1 và mặt phẳng z = 2, hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ trên xuống.

2π

3π

4π

Câu hỏi áp dụng định lý Stokes. Cần tính tích phân mặt của curl F trên mặt S giới hạn bởi C.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 19: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = xy trên miền D = {(x, y) | x² + y² ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0}.

Câu hỏi tìm giá trị lớn nhất trên miền đóng và bị chặn. Cần xét điểm dừng trong miền và trên biên.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 20: Cho hàm số f(x, y) = x² + y² và ràng buộc g(x, y) = x + y = 2. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị.

Cực đại tại (1, 1)

Cực tiểu tại (0, 2) và (2, 0)

Cực tiểu tại (1, 1)

Không có cực trị

Câu hỏi sử dụng nhân tử Lagrange. Cần giải hệ phương trình ∇f = λ∇g và g(x, y) = 0.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 21: Tính tích phân đường loại hai ∫C P dx + Q dy + R dz, nếu F = là trường bảo toàn và C là đường cong bất kỳ từ điểm A đến điểm B. Giá trị tích phân phụ thuộc vào yếu tố nào?

Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C

Hình dạng của đường cong C

Tham số hóa của đường cong C

Hướng của đường cong C

Câu hỏi về tính chất của trường bảo toàn. Tích phân đường của trường bảo toàn chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 22: Cho hàm số f(x, y) = { (x³y) / (x² + y²) nếu (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 nếu (x, y) = (0, 0) }. Hàm số có liên tục tại (0, 0) không?

Liên tục

Không liên tục

Liên tục theo x nhưng không liên tục theo y

Liên tục theo y nhưng không liên tục theo x

Câu hỏi về tính liên tục của hàm số hai biến tại gốc tọa độ. Cần xét giới hạn của hàm số khi (x, y) → (0, 0).

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 23: Tìm vi phân toàn phần của hàm số z = f(x, y) = x²sin(y).

dz = 2xcos(y) dx + x²cos(y) dy

dz = 2xsin(y) dx + x²sin(y) dy

dz = 2xsin(y) dx + x²cos(y) dy

dz = x²cos(y) dx + 2xsin(y) dy

Câu hỏi về vi phân toàn phần. Vi phân toàn phần dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 24: Tính tích phân suy rộng ∫∫R² e^(-(x²+y²)) dA trên toàn mặt phẳng R².

π/2

3π/2

Câu hỏi về tích phân suy rộng trên R². Nên chuyển sang tọa độ cực để tính.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 25: Cho phép biến đổi tọa độ u = x - 2y, v = 3x + y. Tính Jacobian ∂(x, y) / ∂(u, v).

1/5

-1/7

1/7

-1/5

Câu hỏi tính Jacobian. Cần giải hệ phương trình để biểu diễn x, y theo u, v và tính định thức Jacobian.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 26: Xác định tính hội tụ của tích phân đường loại hai ∫C y dx - x dy, với C là đường tròn x² + y² = 1.

Hội tụ

Phân kỳ

Không xác định

Hội tụ đến vô cùng

Câu hỏi về tích phân đường. Tích phân đường trên đường cong đóng có thể liên quan đến định lý Green.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 27: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng y'' - 4y' + 4y = 0.

y = C₁e^(2x) + C₂e^(-2x)

y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)

y = C₁e^(2x) + C₂xe^(2x)

y = C₁ + C₂e^(4x)

Câu hỏi về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng. Cần giải phương trình đặc trưng.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 28: Cho mặt S được tham số hóa bởi r(u, v) = , với 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1. Tính vector pháp tuyến đơn vị của mặt S.

<2u, 2v, -1> / √(4u² + 4v² + 1)

<-2u, -2v, 1> / √(4u² + 4v² + 1)

<1, 1, 2u + 2v> / √(2 + (2u + 2v)²)

<-2u, -2v, 1> / √(4u² + 4v² + 1)

Câu hỏi về vector pháp tuyến đơn vị của mặt tham số. Cần tính tích vector đạo hàm riêng ru × rv và chuẩn hóa.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 29: Tính tích phân mặt ∫∫S z dS, với S là phần mặt nón z = √(x² + y²) nằm dưới mặt phẳng z = 1.

π/2

2π√2 / 3

π√2

2π

Câu hỏi tính tích phân mặt vô hướng. Cần tham số hóa mặt nón và tính dS.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 08

Câu 30: Ứng dụng của tích phân bội ba trong vật lý là gì?

Tính diện tích bề mặt

Tính độ dài đường cong

Tính khối lượng và mô men quán tính của vật thể

Tính công của lực dọc theo đường cong

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi về ứng dụng thực tế của tích phân bội ba. Tích phân bội ba được dùng để tính khối lượng, mô men quán tính, trọng tâm của vật thể trong không gian.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 09

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 1: Cho hàm số hai biến z = f(x, y) = x^3y - 2xy^2 + 3. Tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp ∂²z/∂x∂y.

3x² - 4y

3x² - 4xy

3x² - 4y²

6xy - 4y

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp của hàm số hai biến. Cần thực hiện đạo hàm riêng theo y trước, sau đó theo x (hoặc ngược lại) và nhận ra tính bằng nhau của đạo hàm hỗn hợp nếu hàm đủ điều kiện.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 2: Tìm vector gradient của hàm số f(x, y) = e^(x² + y) tại điểm (1, 0).

<2e, e>

<e, 2e>

<2, 1>

Câu hỏi kiểm tra khái niệm vector gradient và kỹ năng tính toán đạo hàm riêng để tìm gradient tại một điểm cụ thể.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 3: Cho trường vector F(x, y, z) = <2x, -y², z³>. Tính divergence của trường vector này tại điểm (1, 2, -1).

-1

-5

Câu hỏi kiểm tra khái niệm divergence của trường vector và kỹ năng tính toán đạo hàm riêng để tìm divergence tại một điểm.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 4: Tính tích phân đường ∫C (x² + y) ds, trong đó C là đoạn thẳng nối từ điểm (0, 0) đến (2, 1).

14√5/3

7√5/3

7√5/6

14√5/3

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường vô hướng. Cần tham số hóa đường cong C và tính tích phân theo tham số.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 5: Tính tích phân bội hai ∫∫R xy dA, với R là miền hình chữ nhật [0, 1] × [1, 2].

1/2

3/4

3/2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bội hai trên miền hình chữ nhật. Cần tính tích phân lặp.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 6: Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (x-2)^n / n*3^n từ n=1 đến ∞.

(-3, 3)

[-3, 3]

[-1, 5)

(-1, 5]

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về chuỗi lũy thừa và kỹ năng xác định miền hội tụ bằng tiêu chuẩn tỷ số hoặc căn thức.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 7: Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy.

Hàm số có cực tiểu địa phương tại (1, 1)

Hàm số có cực đại địa phương tại (1, 1)

Hàm số có điểm yên ngựa tại (1, 1)

Hàm số không có cực trị địa phương

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm cực trị địa phương của hàm số hai biến. Cần tìm điểm dừng và sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 8: Sử dụng tọa độ cực để tính tích phân ∫∫D e^(x²+y²) dA, với D là hình tròn tâm gốc bán kính 2.

π(e⁴ - 1)

2π(e⁴ - 1)

π/2(e⁴ - 1)

π(e⁴ - 1)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng chuyển sang tọa độ cực để tính tích phân bội hai, đặc biệt khi miền tích phân có dạng hình tròn và hàm số chứa x²+y².

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 9: Cho mặt S là phần mặt paraboloid z = x² + y² nằm dưới mặt phẳng z = 4. Tính diện tích mặt S.

π/6 (17√17 - 1)

π/3 (17√17 - 1)

2π/3 (17√17 - 1)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính diện tích mặt cong. Cần sử dụng công thức tính diện tích mặt tham số hoặc mặt cho dưới dạng hàm z = f(x, y).

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 10: Tính tích phân đường loại hai ∫C y dx + x dy, với C là đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ.

2π

-π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường vector loại hai. Có thể tham số hóa đường tròn hoặc sử dụng định lý Green (trong trường hợp này định lý Green không cần thiết nhưng có thể dẫn đến kết quả nhanh hơn nếu nhận ra trường vector bảo toàn).

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 11: Phát biểu nào sau đây về định lý Green là đúng?

Định lý Green liên hệ giữa tích phân đường trên đường cong kín trong không gian với tích phân mặt trên mặt giới h??n bởi đường cong đó.

Định lý Green liên hệ giữa tích phân đường trên đường cong kín phẳng với tích phân bội hai trên miền phẳng giới hạn bởi đường cong đó.

Định lý Green chỉ áp dụng cho trường vector bảo toàn.

Định lý Green áp dụng cho mọi đường cong và mọi trường vector.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về định lý Green và điều kiện áp dụng của nó.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 12: Tính curl của trường vector F(x, y, z) = .

<cos(z) - x sin(z), -y sin(z), cos(z) - sin(z)>

<cos(z) + x sin(z), y sin(z), cos(z) + sin(z)>

<cos(z) - x sin(z), y sin(z), cos(z) - sin(z)>

<0, -y sin(z) - x cos(z), cos(z) - sin(z)>

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính curl của trường vector. Cần áp dụng công thức tính curl.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 13: Cho hàm số f(x, y) = xy/(x² + y²) nếu (x, y) ≠ (0, 0) và f(0, 0) = 0. Hàm số này có liên tục tại (0, 0) không?

Liên tục

Không liên tục dọc theo đường thẳng y = x nhưng liên tục dọc theo trục x và trục y.

Không liên tục

Không xác định được tính liên tục.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm liên tục của hàm số nhiều biến. Cần xét giới hạn của hàm số khi (x, y) → (0, 0) theo các đường khác nhau.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 14: Tính tích phân mặt ∫∫S F · dS, với F = và S là mặt cầu đơn vị hướng ra ngoài.

4π

2π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân mặt của trường vector. Có thể tham số hóa mặt cầu hoặc sử dụng định lý Divergence.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 15: Tìm khai triển Taylor bậc hai của hàm số f(x, y) = sin(xy) tại điểm (0, 0).

1 + xy

1 - xy

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm khai triển Taylor của hàm số hai biến. Cần tính các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai tại điểm (0, 0).

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 16: Cho miền D là tam giác với các đỉnh (0, 0), (1, 0), (1, 2). Tính ∫∫D x dA.

1/2

1/3

2/3

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bội hai trên miền tam giác. Cần xác định giới hạn tích phân và tính tích phân lặp.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 17: Phương trình tiếp tuyến với đường cong r(t) = tại t = 1 là gì?

r(u) = <1+u, 1+2u, 0-u>

r(u) = <1+2u, 1+3u, 0-u>

r(u) = <1+u, 1+3u, 0+u>

r(u) = <2u, 3u, -u>

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về đường cong tham số và kỹ năng tìm phương trình tiếp tuyến tại một điểm.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 18: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt phẳng z = 0 và mặt paraboloid z = 4 - x² - y².

8π

4π

16π

32π

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng của tích phân bội hai để tính thể tích. Cần thiết lập tích phân bội hai trên miền đáy của vật thể.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 19: Cho trường vector F(x, y) = <-y, x> / (x² + y²). Tính tích phân đường ∫C F · dr, với C là đường tròn đơn vị tâm gốc ngược chiều kim đồng hồ.

-2π

2π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường vector và nhận biết trường vector không bảo toàn nhưng tích phân trên đường cong kín vẫn có thể tính được (trong trường hợp này bằng 2π).

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 20: Xác định hình dạng của level surface f(x, y, z) = x² + y² - z² = 1.

Mặt cầu

Paraboloid

Hyperboloid một tầng

Hyperboloid hai tầng

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về level surfaces và khả năng nhận diện các bề mặt bậc hai cơ bản.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 21: Tính tích phân ∫0^1 ∫x^1 xy dy dx.

1/8

1/4

1/2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân lặp hai lần với giới hạn biến đổi.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 22: Cho hàm số f(x, y) = x² + 2y². Tìm hướng mà tại đó đạo hàm theo hướng của f tại điểm (1, 1) là lớn nhất.

<2, 4>

<1, 2>

<4, 2>

<-2, -4>

Câu hỏi kiểm tra khái niệm đạo hàm theo hướng và gradient. Hướng đạo hàm theo hướng lớn nhất là hướng của gradient.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 23: Phát biểu nào sau đây là đúng về định lý Divergence?

Định lý Divergence liên hệ tích phân đường với tích phân bội hai.

Định lý Divergence chỉ áp dụng cho trường vector bảo toàn.

Định lý Divergence liên hệ tích phân mặt của trường vector trên mặt kín với tích phân bội ba của divergence của trường vector trong miền giới hạn bởi mặt đó.

Định lý Divergence áp dụng cho mọi mặt và mọi trường vector.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về định lý Divergence và mối liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân bội ba.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 24: Sử dụng tọa độ trụ để tính tích phân ∫∫∫E z dV, với E là miền trụ x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2.

2π

3π

2π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng chuyển sang tọa độ trụ để tính tích phân bội ba, đặc biệt khi miền tích phân có dạng trụ.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 25: Tìm Jacobian của phép biến đổi tọa độ cực (x, y) → (r, θ).

r²

sin(θ)cos(θ)

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về Jacobian và kỹ năng tính định thức Jacobian cho phép biến đổi tọa độ cực.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 26: Cho đường cong C tham số hóa bởi r(t) = , 0 ≤ t ≤ 2π. Tính độ dài cung của C.

2π

2π√2

4π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính độ dài cung của đường cong tham số trong không gian.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 27: Xác định miền hội tụ của chuỗi hàm số ∑ (x^n)/(n!) từ n=0 đến ∞.

(-∞, ∞)

[-1, 1]

(-1, 1)

[0, ∞)

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về chuỗi hàm số và miền hội tụ. Chuỗi này là khai triển Taylor của e^x và hội tụ trên toàn trục số thực.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 28: Tìm mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = x² + y² tại điểm (1, 2, 5).

2x + 4y - z = 5

x + 2y - z = -2

2x + 4y + z = 15

2x + 4y - z = 5

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong cho dưới dạng z = f(x, y). Cần tính đạo hàm riêng và sử dụng công thức mặt phẳng tiếp xúc.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 29: Cho trường vector F(x, y, z) = <-y, x, z>. Tính tích phân đường ∫C F · dr, với C là đường tròn x² + y² = 1, z = 0, ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ trên xuống.

-2π

2π

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường vector. Đường cong C nằm trong mặt phẳng xy và trường vector có thành phần z độc lập với xy. Tích phân này tương đương với ví dụ câu 19.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 09

Câu 30: Sử dụng tọa độ cầu để tính tích phân ∫∫∫B dV, với B là hình cầu x² + y² + z² ≤ R².

πR³/3

2πR³/3

4πR³/3

4πR²

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng chuyển sang tọa độ cầu để tính tích phân bội ba, đặc biệt khi miền tích phân có dạng hình cầu. Tích phân này đơn giản là tính thể tích hình cầu.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 10

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 1: Cho hàm số hai biến $f(x, y) = x^3y - 2xy^2 + 3x$. Tìm đạo hàm riêng cấp hai $frac{partial^2 f}{partial x partial y}$.

$3x^2 - 4y$

$3x^2 - 4y^2$

$6xy - 4y$

$6xy - 4x$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp. Cần tính đạo hàm riêng theo y trước, sau đó lấy đạo hàm riêng kết quả theo x.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 2: Tìm gradient của hàm số $g(x, y, z) = xe^{yz} + y^2z$ tại điểm $(1, 0, 2)$.

$langle e^0, 2z, y^2 rangle = langle 1, 4, 0 rangle$

$langle e^{yz}, xyz e^{yz} + 2yz, xy^2 e^{yz} + y^2 rangle = langle 1, 2, 0 rangle$

$langle e^{yz}, xze^{yz} + 2yz, xye^{yz} + y^2 rangle = langle 1, 2, 0 rangle$

$langle e^{yz}, xze^{yz} + 2y, xye^{yz} + y^2 rangle = langle 1, 4, 0 rangle$

Câu hỏi yêu cầu tính gradient của hàm số ba biến tại một điểm. Cần tính các đạo hàm riêng theo x, y, z và thay điểm vào.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 3: Tính tích phân đường $int_C (x^2 + y) ds$, trong đó $C$ là đoạn thẳng từ $(0, 0)$ đến $(2, 1)$.

$frac{16sqrt{5}}{3}$

$frac{8sqrt{5}}{3}$

$frac{16}{3}$

$frac{8}{3}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường vô hướng. Cần tham số hóa đường cong C, tính ds và thay vào tích phân.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 4: Cho trường vectơ $mathbf{F}(x, y, z) = langle 2x, -y, z^2 rangle$. Tính divergence của $mathbf{F}$ tại điểm $(1, -1, 2)$.

$-1$

$2$

$4$

$3$

Câu hỏi yêu cầu tính divergence của trường vectơ. Cần tính tổng các đạo hàm riêng thành phần theo biến tương ứng.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 5: Miền $D$ được giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$. Tính tích phân kép $iint_D y , dA$.

$frac{32}{5}$

$frac{64}{5}$

$frac{128}{5}$

$frac{256}{5}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân kép trên miền phẳng. Cần xác định giới hạn tích phân và tính tích phân lặp.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 6: Phương trình tham số nào sau đây biểu diễn đường tròn bán kính 3, tâm tại gốc tọa độ, nằm trong mặt phẳng xy?

$mathbf{r}(t) = langle 3cos(t), 3sin(t), 3 rangle, 0 le t le 2pi$

$mathbf{r}(t) = langle 3cos(t), 3sin(t), 0 rangle, 0 le t le 2pi$

$mathbf{r}(t) = langle cos(3t), sin(3t), 0 rangle, 0 le t le 2pi$

$mathbf{r}(t) = langle 9cos(t), 9sin(t), 0 rangle, 0 le t le 2pi$

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về phương trình tham số của đường tròn. Cần chọn phương trình thỏa mãn bán kính và vị trí tâm.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 7: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt phẳng $z = 0$, $z = 4 - y^2$ và trụ $x^2 + y^2 = 4$.

$8pi$

$16pi$

$24pi$

$32pi$

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng tích phân kép để tính thể tích. Cần thiết lập tích phân kép trên miền hình tròn và giới hạn bởi các mặt.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 8: Cho trường vectơ $mathbf{F}(x, y) = langle -y, x rangle$. Tính curl của $mathbf{F}$.

$langle 0, 0, 0 rangle$

$langle 0, 0, 1 rangle$

$langle 0, 0, 2 rangle$

$langle 0, 0, -2 rangle$

Câu hỏi yêu cầu tính curl của trường vectơ hai chiều. Áp dụng công thức curl cho trường 2D.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 9: Xét chuỗi số $sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$. Chuỗi này hội tụ theo tiêu chuẩn nào?

Tiêu chuẩn Leibniz (chuỗi đan dấu)

Tiêu chuẩn so sánh giới hạn

Tiêu chuẩn tỷ số D'Alembert

Tiêu chuẩn căn Cauchy

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi số. Chuỗi này là chuỗi đan dấu và thỏa mãn tiêu chuẩn Leibniz.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 10: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $sum_{n=0}^{infty} frac{(x-2)^n}{3^n}$.

$(-3, 3)$

$(-1, 5)$

$[-1, 5)$

$[-1, 5]$

Câu hỏi yêu cầu tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Sử dụng tiêu chuẩn tỷ số để tìm bán kính hội tụ và xét tại biên.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 11: Tính tích phân mặt $iint_S z , dS$, với $S$ là phần mặt nón $z = sqrt{x^2 + y^2}$ nằm giữa $z = 1$ và $z = 3$.

$8pisqrt{2}$

$16pisqrt{2}$

$24pisqrt{2}$

$26pisqrt{2}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân mặt vô hướng. Cần tham số hóa mặt nón và tính dS.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 12: Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm điểm cực tiểu địa phương của $f(x, y)$.

$(0, 0)$

$(1, 0)$

$(1, 2)$

$(0, 2)$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm cực trị địa phương của hàm hai biến. Cần tìm điểm dừng và xét định thức Hessian.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 13: Sử dụng tọa độ cực để tính tích phân kép $iint_D e^{-(x^2+y^2)} , dA$, với $D$ là hình tròn $x^2 + y^2 le 4$.

$pi(1 - e^{-4})$

$2pi(1 - e^{-4})$

$2pi(1 - e^{-2})$

Câu hỏi yêu cầu chuyển sang tọa độ cực để tính tích phân kép. Việc chuyển đổi giúp đơn giản hóa tích phân.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 14: Cho trường vectơ $mathbf{F}(x, y, z) = langle yz, xz, xy rangle$. Tính curl của $mathbf{F}$.

$langle 0, 0, 0 rangle$

$langle x, y, z rangle$

$langle yz, xz, xy rangle$

$langle 1, 1, 1 rangle$

Câu hỏi yêu cầu tính curl của trường vectơ ba chiều. Áp dụng công thức curl cho trường 3D.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 15: Tính công của trường lực $mathbf{F}(x, y) = langle x^2, y rangle$ khi di chuyển một hạt dọc theo đường cong $C: mathbf{r}(t) = langle cos(t), sin(t) rangle, 0 le t le pi/2$.

$0$

$frac{1}{3}$

$frac{2}{3}$

$frac{1}{3}$

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng tích phân đường vectơ để tính công. Cần tính tích phân đường của trường lực dọc theo đường cong.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 16: Tìm khai triển Taylor bậc 2 của hàm số $f(x, y) = sin(xy)$ tại điểm $(0, 0)$.

$xy + o(|(x, y)|^2)$

$1 + xy + o(|(x, y)|^2)$

$x + y + xy + o(|(x, y)|^2)$

Câu hỏi yêu cầu tìm khai triển Taylor của hàm hai biến. Cần tính các đạo hàm riêng đến cấp 2 và áp dụng công thức.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 17: Cho miền $E$ giới hạn bởi $x^2 + y^2 + z^2 le 9$ và $z ge 0$. Tính tích phân bội ba $iiint_E z , dV$ sử dụng tọa độ cầu.

$81pi/4$

$81pi/2$

$81pi/4$

$27pi/2$

Câu hỏi yêu cầu chuyển sang tọa độ cầu để tính tích phân bội ba. Việc chuyển đổi phù hợp với miền hình cầu.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 18: Phát biểu nào sau đây là định lý Green?

"$oint_C mathbf{F} cdot dmathbf{r} = iint_D

ext{div} mathbf{F} , dA$"

"$oint_C mathbf{F} cdot dmathbf{r} = iiint_E

ext{curl} mathbf{F} , dV$"

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về định lý Green. Chọn phát biểu chính xác về mối liên hệ giữa tích phân đường và tích phân kép.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 19: Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm đạo hàm theo hướng của $f$ tại điểm $(1, 0)$ theo hướng vectơ $mathbf{v} = langle 1, 1 rangle$.

$e$

$2sqrt{2}e$

$2e$

$sqrt{2}e$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm theo hướng. Cần tính gradient và chuẩn hóa vectơ hướng.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 20: Xét chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{n!}{n^n}$. Sử dụng tiêu chuẩn tỷ số D'Alembert, chuỗi này:

Phân kỳ

Hội tụ có điều kiện

Hội tụ tuyệt đối

Không xác định được

Câu hỏi yêu cầu áp dụng tiêu chuẩn tỷ số để xét sự hội tụ của chuỗi. Cần tính giới hạn tỷ số của các số hạng liên tiếp.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 21: Tính diện tích mặt của phần mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ nằm bên trong trụ $x^2 + y^2 = 1$.

$4pi(2 - sqrt{3})$

$2pi(2 - sqrt{3})$

$4pisqrt{3}$

$2pisqrt{3}$

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng tích phân kép để tính diện tích mặt. Cần tham số hóa mặt cầu và tính dS.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 22: Cho trường vectơ $mathbf{F}(x, y, z) = langle x, y, z rangle$. Tính thông lượng (flux) của $mathbf{F}$ qua mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 9$.

$36pi$

$72pi$

$108pi$

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng định lý divergence để tính thông lượng. Có thể dùng tích phân mặt trực tiếp hoặc định lý divergence.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 23: Tìm điểm trên mặt paraboloid $z = x^2 + y^2 + 3$ gần điểm $(2, -1, 0)$ nhất.

$(1, -0.5, 4.25)$

$(2, -1, 8)$

$(0, 0, 3)$

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng cực trị có điều kiện hoặc tối ưu hóa khoảng cách. Cần thiết lập hàm khoảng cách và tìm điểm cực tiểu.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 24: Phát biểu nào sau đây là định lý Stokes?

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về định lý Stokes. Chọn phát biểu chính xác về mối liên hệ giữa tích phân mặt curl và tích phân đường.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 25: Cho hàm số $f(x, y) = ln(1 + x^2 + y^2)$. Tìm vi phân toàn phần $df$.

$df = frac{2x}{1 + x^2 + y^2} dx + frac{2y}{1 + x^2 + y^2} dy$

$df = frac{x}{1 + x^2 + y^2} dx + frac{y}{1 + x^2 + y^2} dy$

$df = frac{2x}{1 + x^2} dx + frac{2y}{1 + y^2} dy$

$df = frac{2x}{1 + x^2 + y^2} dx + frac{2y}{1 + x^2 + y^2} dy$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính vi phân toàn phần của hàm hai biến. Cần tính các đạo hàm riêng và kết hợp với dx, dy.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 26: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $r = 2 + cos heta$ trong tọa độ cực.

$4pi$

$5pi$

$frac{7pi}{2}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính diện tích trong tọa độ cực. Sử dụng công thức tích phân diện tích trong tọa độ cực.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 27: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $sum_{n=0}^{infty} frac{n!}{n^n} x^n$.

$1$

$e^{-1}$

$e$

$infty$

Câu hỏi yêu cầu tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Sử dụng tiêu chuẩn tỷ số để tìm bán kính hội tụ.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 28: Cho hàm số $f(x, y) = xy$ với ràng buộc $x^2 + y^2 = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $f(x, y)$ sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange.

$frac{1}{2}$

$1$

$sqrt{2}/2$

$frac{1}{sqrt{2}}$

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị có điều kiện.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 29: Tính tích phân đường loại hai $int_C y , dx + x , dy$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.

$pi$

$2pi$

$-pi$

$0$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường vectơ loại hai. Có thể tham số hóa đường tròn hoặc sử dụng định lý Green.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 10

Câu 30: Cho miền $D$ là tam giác với các đỉnh $(0, 0), (1, 0), (1, 2)$. Tính tích phân kép $iint_D x , dA$.

$frac{1}{2}$

$frac{1}{3}$

$frac{2}{3}$

$frac{4}{3}$

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân kép trên miền tam giác. Cần xác định giới hạn tích phân phù hợp với miền tam giác.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 11

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 1: Cho hai vector $vec{a} = (1, -2, 3)$ và $vec{b} = (0, 4, -1)$. Tính tích vô hướng $vec{a} cdot vec{b}$.

-11

(-2, -4, -12)

Câu hỏi kiểm tra kiến thức cơ bản về phép tính tích vô hướng giữa hai vector trong không gian 3 chiều. Tích vô hướng được tính bằng tổng các tích của các thành phần tương ứng: $vec{a} cdot vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 2: Tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $P(2, -1, 3)$ và song song với vector $vec{v} = (4, 0, -5)$.

$x = 4 + 2t, y = 0 - t, z = -5 + 3t$

$x = 2 + 4t, y = -1 + 0t, z = 3 - 5t$

$x = 2 + 4t, y = -1, z = 3 - 5t$

$x = 4t, y = -t, z = -5t$

Câu hỏi kiểm tra khả năng viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian khi biết một điểm và vector chỉ phương. Phương trình tham số có dạng $(x, y, z) = (x_0 + at, y_0 + bt, z_0 + ct)$, trong đó $(x_0, y_0, z_0)$ là điểm đi qua và $(a, b, c)$ là vector chỉ phương.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 3: Cho mặt phẳng có phương trình $2x - y + 3z = 6$. Vector pháp tuyến của mặt phẳng này là gì?

(6, -1, 3)

(2, 3, -1)

(2, -1, 6)

(2, -1, 3)

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về vector pháp tuyến của mặt phẳng. Đối với phương trình mặt phẳng dạng $Ax + By + Cz = D$, vector pháp tuyến là $vec{n} = (A, B, C)$.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 4: Tính đạo hàm riêng $frac{partial f}{partial x}$ của hàm số $f(x, y) = x^3 y^2 - 5xy + y^4$ tại điểm $(1, 2)$.

-1

Câu hỏi yêu cầu tính đạo hàm riêng theo x và sau đó thay giá trị của x và y vào. Để tính $frac{partial f}{partial x}$, ta coi y là hằng số và lấy đạo hàm theo x. Sau đó, thay x=1 và y=2 vào kết quả.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 5: Tìm đạo hàm theo hướng của hàm số $f(x, y) = x^2 y + sin(xy)$ tại điểm $(1, 0)$ theo hướng của vector $vec{v} = (3, -4)$.

$3/5$

$4/5$

$-4/5$

$-3/5$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tính đạo hàm theo hướng. Đầu tiên, tính vector gradient $nabla f = (frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y})$. Sau đó, chuẩn hóa vector hướng $vec{u} = frac{vec{v}}{|vec{v}|}$. Cuối cùng, tính đạo hàm theo hướng bằng $nabla f(1, 0) cdot vec{u}$.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 6: Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$. Vector gradient $nabla f$ tại điểm $(1, -1)$ là gì?

(2, -2)

(1, -1)

(2, 2)

(-2, -2)

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về vector gradient. Gradient của hàm $f(x, y)$ là vector chứa các đạo hàm riêng: $nabla f = (frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y})$. Sau khi tính đạo hàm riêng, thay điểm (1, -1) vào.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 7: Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt $z = x^2 y + ln(x+y)$ tại điểm $(1, 0, 1)$.

$z - 1 = 0(x-1) + 1(y-0)$

$z - 1 = 0(x-1) + 2(y-0)$

$z - 1 = 2(x-1) + 1(y-0)$

$z - 1 = 2(x-1) + 2(y-0)$

Câu hỏi yêu cầu tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt $z = f(x, y)$ tại $(x_0, y_0, z_0)$ là $z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$. Cần tính các đạo hàm riêng $f_x, f_y$ và giá trị của chúng tại (1, 0).

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 8: Tính tích phân kép $iint_R xy , dA$ trên miền chữ nhật $R = [1, 2] times [0, 3]$.

$9/2$

$3/2$

$27/4$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tính tích phân kép trên miền chữ nhật. Tích phân có thể được viết thành tích phân lặp: $int_1^2 int_0^3 xy , dy , dx$ hoặc $int_0^3 int_1^2 xy , dx , dy$.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 9: Chuyển tích phân kép $iint_D (x^2 + y^2) , dA$ sang tọa độ cực, với $D$ là miền được giới hạn bởi đường tròn $x^2 + y^2 = 4$.

$int_0^{2pi} int_0^2 r^2 , dr , dtheta$

$int_0^{2pi} int_0^2 r^3 , dr , dtheta$

$int_0^{2pi} int_0^4 r^3 , dr , dtheta$

$int_0^{2pi} int_0^4 r^2 , dr , dtheta$

Câu hỏi yêu cầu chuyển tích phân kép sang tọa độ cực. Công thức chuyển đổi là $x = rcostheta$, $y = rsintheta$, $dA = r , dr , dtheta$. Miền $x^2+y^2 le 4$ trong tọa độ cực tương ứng với $0 le r le 2$ và $0 le theta le 2pi$. Biểu thức $x^2+y^2$ trở thành $r^2$.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 10: Tính diện tích của miền $D$ được giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = x + 2$.

$9/2$

$3$

$11/3$

$5$

Câu hỏi yêu cầu sử dụng tích phân kép để tính diện tích miền phẳng. Diện tích được tính bằng $iint_D dA$. Miền D được giới hạn bởi hai đồ thị, ta cần tìm giao điểm để xác định cận tích phân theo x, sau đó xác định cận tích phân theo y. Giao điểm: $x^2 = x+2 Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 Rightarrow (x-2)(x+1) = 0 Rightarrow x = -1, x = 2$. Trên đoạn $[-1, 2]$, đường $y = x+2$ nằm trên đường $y = x^2$. Diện tích là $int_{-1}^2 int_{x^2}^{x+2} dy , dx = int_{-1}^2 (x+2 - x^2) , dx$.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 11: Tìm điểm cực trị địa phương của hàm số $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 9x - 6y + 10$.

$(-4, 1)$

$(1, -4)$

$(-4, -1)$

$(4, 1)$

Câu hỏi yêu cầu tìm điểm dừng và sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai để phân loại. Tính các đạo hàm riêng cấp nhất $f_x, f_y$, giải hệ $f_x = 0, f_y = 0$ để tìm điểm dừng. Sau đó, tính các đạo hàm riêng cấp hai $f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}$ và định thức Hessian $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ tại điểm dừng.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 12: Tính tích phân đường loại I $int_C (x^2 + y^2) , ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối điểm $(0, 0)$ và $(1, 1)$.

$2sqrt{2}/3$

$sqrt{2}/3$

$4sqrt{2}/3$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tính tích phân đường loại I. Tham số hóa đường cong $C$. Đoạn thẳng nối $(0,0)$ và $(1,1)$ có thể tham số hóa là $vec{r}(t) = (t, t)$ với $0 le t le 1$. Khi đó $ds = |vec{r}'(t)| , dt$. Tính $|vec{r}'(t)| = |(1, 1)| = sqrt{1^2 + 1^2} = sqrt{2}$. $x = t, y = t$. Tích phân trở thành $int_0^1 (t^2 + t^2) sqrt{2} , dt = int_0^1 2sqrt{2} t^2 , dt$.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 13: Tìm miền xác định của hàm số $f(x, y) = sqrt{4 - x^2 - y^2}$.

Toàn bộ mặt phẳng xy

Miền bên ngoài đường tròn $x^2 + y^2 = 4$

Đường tròn $x^2 + y^2 = 4$

Miền bên trong và trên đường tròn $x^2 + y^2 = 4$

Câu hỏi kiểm tra khả năng xác định miền xác định của hàm nhiều biến. Biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải không âm. $4 - x^2 - y^2 ge 0 Leftrightarrow x^2 + y^2 le 4$. Đây là miền bên trong và trên đường tròn tâm (0,0) bán kính 2.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 14: Cho hàm số $f(x, y, z) = x cos(yz)$. Tính đạo hàm riêng $frac{partial f}{partial y}$.

$-xz sin(yz)$

$x sin(yz)$

$-x sin(yz)$

$z sin(yz)$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tính đạo hàm riêng theo một biến khi hàm có ba biến. Coi x và z là hằng số, lấy đạo hàm theo y.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 15: Sử dụng quy tắc chuỗi để tính $frac{dw}{dt}$ biết $w = x^2 + y^2$, $x = cos t$, $y = sin t$.

$2cos t - 2sin t$

$2cos t + 2sin t$

$2t$

Câu hỏi kiểm tra khả năng áp dụng quy tắc chuỗi cho hàm nhiều biến phụ thuộc vào một biến độc lập. $frac{dw}{dt} = frac{partial w}{partial x} frac{dx}{dt} + frac{partial w}{partial y} frac{dy}{dt}$. Tính các đạo hàm riêng và đạo hàm thường, sau đó thay vào công thức.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 16: Tính tích phân ba $iiint_E z , dV$, trong đó $E$ là hình hộp chữ nhật $E = [0, 1] times [0, 2] times [0, 3]$.

$3/2$

$9$

$18$

$27/2$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tính tích phân ba trên miền hình hộp chữ nhật. Tích phân có thể viết thành tích phân lặp: $int_0^1 int_0^2 int_0^3 z , dz , dy , dx$.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 17: Chuyển tích phân ba $iiint_E (x^2 + y^2 + z^2) , dV$ sang tọa độ cầu, trong đó $E$ là phần của khối cầu $x^2 + y^2 + z^2 le 1$ với $z ge 0$.

$int_0^{2pi} int_0^{pi/2} int_0^1 rho^4 sinphi , drho , dphi , dtheta$

$int_0^{2pi} int_0^{pi/2} int_0^1 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta$

$int_0^{2pi} int_0^{pi} int_0^1 rho^4 sinphi , drho , dphi , dtheta$

$int_0^{2pi} int_0^{pi/2} int_0^1 rho^2 , drho , dphi , dtheta$

Câu hỏi yêu cầu chuyển tích phân ba sang tọa độ cầu. Công thức chuyển đổi: $x = rhosinphicostheta$, $y = rhosinphisintheta$, $z = rhocosphi$, $dV = rho^2sinphi , drho , dphi , dtheta$. Miền $x^2+y^2+z^2 le 1$ là $rho le 1$. Điều kiện $z ge 0$ tương ứng với $rhocosphi ge 0$. Vì $rho ge 0$, nên $cosphi ge 0$, suy ra $0 le phi le pi/2$. Góc $theta$ quét hết vòng tròn: $0 le theta le 2pi$. Biểu thức $x^2+y^2+z^2$ trở thành $rho^2$.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 18: Tìm độ dài cung của đường cong $vec{r}(t) = (cos t, sin t, t)$ với $0 le t le pi$.

$pi$

$sqrt{2}pi/2$

$2pi$

$sqrt{2}pi$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tính độ dài cung của đường cong tham số trong không gian. Công thức độ dài cung là $L = int_a^b |vec{r}'(t)| , dt$. Tính đạo hàm $vec{r}'(t) = (-sin t, cos t, 1)$, sau đó tính độ lớn $|vec{r}'(t)| = sqrt{(-sin t)^2 + (cos t)^2 + 1^2} = sqrt{sin^2 t + cos^2 t + 1} = sqrt{1 + 1} = sqrt{2}$. Tích phân từ 0 đến $pi$.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 19: Tìm điểm trên mặt phẳng $x + 2y + 3z = 6$ gần gốc tọa độ nhất.

$(3/7, 6/7, 9/7)$

$(1, 2, 3)$

$(1/2, 1, 3/2)$

$(6, 3, 2)$

Câu hỏi là một bài toán tối ưu hóa có ràng buộc, có thể giải bằng phương pháp nhân tử Lagrange hoặc bằng cách biểu diễn z theo x, y và tối thiểu hóa bình phương khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm (x, y, z). Sử dụng Lagrange: $L(x, y, z, lambda) = x^2 + y^2 + z^2 - lambda(x + 2y + 3z - 6)$. Tìm các đạo hàm riêng theo x, y, z, $lambda$ và giải hệ phương trình.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 20: Tính tích phân đường loại II $int_C vec{F} cdot dvec{r}$, với $vec{F}(x, y) = (y^2, 2xy)$ và $C$ là đường parabol $y = x^2$ từ $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.

$1/2$

$1$

$2$

$5$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tính tích phân đường loại II. Tham số hóa đường cong $C$: $vec{r}(t) = (t, t^2)$ với $0 le t le 1$. Khi đó $dvec{r} = vec{r}'(t) , dt = (1, 2t) , dt$. Thay $x=t, y=t^2$ vào $vec{F}$: $vec{F}(vec{r}(t)) = ((t^2)^2, 2t(t^2)) = (t^4, 2t^3)$. Tích phân trở thành $int_0^1 (t^4, 2t^3) cdot (1, 2t) , dt = int_0^1 (t^4 cdot 1 + 2t^3 cdot 2t) , dt = int_0^1 (t^4 + 4t^4) , dt = int_0^1 5t^4 , dt$.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 21: Cho trường vector $vec{F}(x, y) = (2xy, x^2 + 3y^2)$. Kiểm tra xem $vec{F}$ có phải là trường vector bảo toàn (conservative) hay không. Nếu có, tìm hàm thế vị $f(x, y)$ sao cho $nabla f = vec{F}$.

Có, $f(x, y) = x^2y + xy^2 + C$

Không phải trường bảo toàn.

Có, $f(x, y) = xy^2 + y^3 + C$

Có, $f(x, y) = x^2y + y^3 + C$

Câu hỏi kiểm tra điều kiện để trường vector 2D là bảo toàn ($P_y = Q_x$) và khả năng tìm hàm thế vị. Với $vec{F} = (P, Q)$, điều kiện là $frac{partial P}{partial y} = frac{partial Q}{partial x}$. Nếu điều kiện thỏa mãn, tìm hàm thế vị bằng cách tích phân P theo x và tích phân Q theo y, sau đó kết hợp các kết quả.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 22: Sử dụng Định lý Green để tính tích phân đường $oint_C (x^2 y , dx + xy^2 , dy)$, với $C$ là đường biên của hình vuông $[0, 1] times [0, 1]$ theo chiều dương.

$1/3$

$-1/3$

$2/3$

Câu hỏi kiểm tra khả năng áp dụng Định lý Green. Định lý Green phát biểu $oint_C P , dx + Q , dy = iint_D (frac{partial Q}{partial x} - frac{partial P}{partial y}) , dA$, trong đó D là miền được bao bởi C. Với $P = x^2y, Q = xy^2$, ta tính $frac{partial Q}{partial x} = y^2$ và $frac{partial P}{partial y} = x^2$. Tích phân kép là $iint_{[0,1]times[0,1]} (y^2 - x^2) , dA = int_0^1 int_0^1 (y^2 - x^2) , dy , dx$.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 23: Tính Curl của trường vector $vec{F}(x, y, z) = (xz, xyz, -y^2)$.

$(xy - 0, x - 0, yz - z)$

$(-2y - xy, x - 0, yz - z)$

$(-2y - xy, x - z, yz)$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tính Curl của trường vector 3D. Curl của $vec{F} = (P, Q, R)$ được tính bằng định thức: $ ext{curl} vec{F} =
abla imes vec{F} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ frac{partial}{partial x} & frac{partial}{partial y} & frac{partial}{partial z} \ P & Q & R end{vmatrix}$.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 24: Tính Divergence của trường vector $vec{F}(x, y, z) = (x^2 y, yz^2, zx^2)$.

$2xy + z^2 + x^2$

$2x + z^2 + 2zx$

$2xy + 2yz + 2zx$

$2xy + z^2 + 2zx$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tính Divergence của trường vector 3D. Divergence của $vec{F} = (P, Q, R)$ được tính bằng $ ext{div} vec{F} =
abla cdot vec{F} = frac{partial P}{partial x} + frac{partial Q}{partial y} + frac{partial R}{partial z}$.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 25: Xác định xem trường vector $vec{F}(x, y, z) = (yz, xz, xy)$ có phải là trường vector không xoáy (irrotational) hay không. Nếu có, tìm hàm thế vị.

Không phải trường không xoáy.

Có, $f(x, y, z) = xyz + C$

Có, $f(x, y, z) = xy + yz + zx + C$

Có, $f(x, y, z) = x^2yz/2 + xy^2z/2 + xyz^2/2 + C$

Câu hỏi kiểm tra điều kiện để trường vector 3D là không xoáy (tương đương bảo toàn nếu miền xác định đơn liên) và khả năng tìm hàm thế vị. Điều kiện không xoáy là $text{curl} vec{F} = vec{0}$. Tính curl và kiểm tra. Nếu bằng 0, tìm hàm thế vị $f$ sao cho $nabla f = vec{F}$.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 26: Tính diện tích mặt của phần mặt trụ $x^2 + z^2 = 9$ nằm giữa các mặt phẳng $y = 0$ và $y = 2$, và trong góc phần tám thứ nhất ($x ge 0, y ge 0, z ge 0$).

$3pi$

$6pi$

$9pi/2$

$12pi$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tính diện tích mặt. Tham số hóa mặt trụ: $x = 3cos heta, z = 3sin heta, y = y$. Điều kiện $x ge 0, z ge 0$ trong mặt phẳng xz tương ứng với $0 le heta le pi/2$. Điều kiện $0 le y le 2$. Vector pháp tuyến $vec{r}_y imes vec{r}_ heta$. Diện tích mặt là $iint_S dS = iint_D |vec{r}_y imes vec{r}_ heta| , dA$ trên miền tham số D ($0 le y le 2, 0 le heta le pi/2$).

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 27: Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$. Sử dụng vi phân toàn phần để xấp xỉ giá trị của $f(1.01, 2.02)$.

5.05

5.06

5.1

5.12

Câu hỏi kiểm tra khả năng sử dụng vi phân toàn phần để xấp xỉ giá trị hàm. Vi phân toàn phần $df = f_x(x_0, y_0)dx + f_y(x_0, y_0)dy$. Giá trị xấp xỉ $f(x_0+Delta x, y_0+Delta y) approx f(x_0, y_0) + df$. Chọn $(x_0, y_0) = (1, 2)$, $Delta x = 0.01, Delta y = 0.02$. Tính $f(1, 2)$, $f_x(x, y) = 2x$, $f_y(x, y) = 2y$, $f_x(1, 2) = 2$, $f_y(1, 2) = 4$. $f(1, 2) = 1^2 + 2^2 = 5$. $df = 2(0.01) + 4(0.02) = 0.02 + 0.08 = 0.1$. Xấp xỉ: $5 + 0.1 = 5.1$.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 28: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f(x, y) = x^2 + 2y^2$ trên miền đóng và bị chặn $D = {(x, y) mid x^2 + y^2 le 1}$.

Min=0, Max=1

Min=1, Max=2

Min=0, Max=1.5

Min=0, Max=2

Câu hỏi kiểm tra khả năng tìm cực trị tuyệt đối trên miền đóng. Cần kiểm tra các điểm dừng bên trong miền và các điểm cực trị trên biên. Biên là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$. Trên biên, $f(x, y) = x^2 + 2(1-x^2) = 2 - x^2$. Xét hàm $g(x) = 2 - x^2$ trên $[-1, 1]$. Điểm dừng bên trong: $f_x = 2x = 0, f_y = 4y = 0 Rightarrow (0, 0)$. $f(0, 0) = 0$. Trên biên: $g'(x) = -2x = 0 Rightarrow x = 0$. $x=0 Rightarrow y = pm 1$. Điểm $(0, pm 1)$. Tại biên $x=pm 1$, $y=0$. Điểm $(pm 1, 0)$. Tính giá trị tại các điểm: $f(0, 0) = 0$, $f(0, pm 1) = 2$, $f(pm 1, 0) = 1$. So sánh các giá trị để tìm min/max.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 29: Tính tích phân mặt loại II $iint_S vec{F} cdot dvec{S}$, với $vec{F}(x, y, z) = (0, 0, z)$ và $S$ là mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ với hướng ra ngoài.

$4pi/3$

$2pi/3$

$pi$

Câu hỏi kiểm tra khả năng tính tích phân thông lượng (tích phân mặt loại II). Có thể tính trực tiếp bằng cách tham số hóa mặt cầu hoặc sử dụng Định lý Divergence. Sử dụng Định lý Divergence: $iint_S vec{F} cdot dvec{S} = iiint_E text{div} vec{F} , dV$, với E là khối cầu đơn vị. $text{div} vec{F} = frac{partial(0)}{partial x} + frac{partial(0)}{partial y} + frac{partial z}{partial z} = 0 + 0 + 1 = 1$. Tích phân trở thành $iiint_E 1 , dV$, đây chính là thể tích của khối cầu đơn vị, $V = frac{4}{3}pi r^3 = frac{4}{3}pi (1)^3 = frac{4}{3}pi$.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 11

Câu 30: Cho hàm số $f(x, y) = frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$. Xét giới hạn khi $(x, y) to (0, 0)$ dọc theo đường thẳng $y = mx$. Kết quả của giới hạn này phụ thuộc vào m như thế nào?

Không phụ thuộc vào m

Phụ thuộc vào m

Luôn bằng 0

Luôn bằng 1

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra khả năng kiểm tra sự tồn tại của giới hạn hàm hai biến bằng cách xét giới hạn dọc theo các đường khác nhau. Thay $y = mx$ vào biểu thức: $f(x, mx) = frac{x^2 - (mx)^2}{x^2 + (mx)^2} = frac{x^2(1 - m^2)}{x^2(1 + m^2)} = frac{1 - m^2}{1 + m^2}$ (với $x ne 0$). Khi $(x, y) to (0, 0)$ dọc theo $y=mx$, điều này tương đương với $x to 0$. Giới hạn là $lim_{x to 0} frac{1 - m^2}{1 + m^2} = frac{1 - m^2}{1 + m^2}$. Vì kết quả phụ thuộc vào $m$, giới hạn của hàm khi $(x, y) to (0, 0)$ không tồn tại.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 12

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 1: Cho hàm số f(x, y) = x^3y^2 + 2xy^3 + 5. Tính đạo hàm riêng cấp một theo x, ký hiệu là f_x(x, y).

3x^2y^2 + 2y^3 + 5

x^3y^2 + 2xy^3

3x^2y^2 + 2y^3

2x^3y + 6xy^2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp một theo biến x, coi y là hằng số. f_x(x, y) = ∂/∂x (x^3y^2 + 2xy^3 + 5) = 3x^2y^2 + 2y^3.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 2: Cho hàm số g(x, y) = e^(xy) + ln(x^2 + y^2). Tính đạo hàm riêng cấp một theo y tại điểm (1, 0), ký hiệu là g_y(1, 0).

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp một theo biến y và đánh giá tại một điểm cụ thể. g_y(x, y) = ∂/∂y (e^(xy) + ln(x^2 + y^2)) = x*e^(xy) + (2y)/(x^2 + y^2). Tại (1, 0), g_y(1, 0) = 1*e^(1*0) + (2*0)/(1^2 + 0^2) = 1*e^0 + 0/1 = 1.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 3: Tìm gradient của hàm số f(x, y, z) = xsin(yz) tại điểm P(1, π/2, 0).

(0, 0, π/2)

(sin(0), 1*0*cos(0), 1*π/2*cos(0))

(0, 0, 0)

(0, 1, π/2)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính gradient của hàm ba biến và đánh giá tại một điểm. Gradient ∇f = (f_x, f_y, f_z). f_x = sin(yz), f_y = xzcos(yz), f_z = xycos(yz). Tại (1, π/2, 0): f_x(1, π/2, 0) = sin(π/2 * 0) = sin(0) = 0. f_y(1, π/2, 0) = 1 * 0 * cos(0) = 0. f_z(1, π/2, 0) = 1 * π/2 * cos(0) = π/2 * 1 = π/2. Vậy ∇f(1, π/2, 0) = (0, 0, π/2).

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 4: Hướng nào tại điểm (2, 1) hàm số f(x, y) = x^2y + y^3 tăng nhanh nhất?

(-4, -7)

(2, 1)

(1, 0)

(4, 7)

Câu hỏi kiểm tra ý nghĩa hình học của gradient. Hàm số tăng nhanh nhất theo hướng của vector gradient. ∇f = (f_x, f_y). f_x = 2xy, f_y = x^2 + 3y^2. Tại (2, 1): f_x(2, 1) = 2(2)(1) = 4. f_y(2, 1) = 2^2 + 3(1)^2 = 4 + 3 = 7. Vector gradient tại (2, 1) là (4, 7).

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 5: Tính đạo hàm theo hướng của hàm số f(x, y) = x^2 - y^2 tại điểm P(1, 2) theo hướng vector v = (3, 4).

(-2, -4)

-2

-10/5

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm theo hướng. Đầu tiên, tìm gradient: ∇f = (2x, -2y). Tại P(1, 2), ∇f(1, 2) = (2*1, -2*2) = (2, -4). Chuẩn hóa vector v: |v| = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5. Vector đơn vị theo hướng v là u = v/|v| = (3/5, 4/5). Đạo hàm theo hướng là ∇f • u = (2, -4) • (3/5, 4/5) = (2)(3/5) + (-4)(4/5) = 6/5 - 16/5 = -10/5 = -2.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 6: Tìm phương trình mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong z = x^2 + y^2 tại điểm (1, 2, 5).

2x + 4y - z - 5 = 0

x + 2y - z + 5 = 0

2x + 4y + z - 11 = 0

x - 2 + 2(y - 2) - (z - 5) = 0

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm phương trình mặt phẳng tiếp tuyến. Đặt F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z = 0. Vector pháp tuyến của mặt phẳng tiếp tuyến là ∇F tại điểm đó. ∇F = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) = (2x, 2y, -1). Tại (1, 2, 5), ∇F(1, 2, 5) = (2*1, 2*2, -1) = (2, 4, -1). Phương trình mặt phẳng tiếp tuyến có dạng A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0, với (A, B, C) là vector pháp tuyến và (x₀, y₀, z₀) là điểm. Vậy phương trình là 2(x - 1) + 4(y - 2) - 1(z - 5) = 0. Rút gọn: 2x - 2 + 4y - 8 - z + 5 = 0 => 2x + 4y - z - 5 = 0.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 7: Sử dụng vi phân toàn phần để xấp xỉ giá trị của √(3.01² + 3.99²).

5.000

5.002

4.996

4.998

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng sử dụng xấp xỉ tuyến tính (vi phân toàn phần). Xét hàm f(x, y) = √(x² + y²). Chọn điểm 'gần' (3.01, 3.99) mà dễ tính giá trị hàm và đạo hàm riêng, ví dụ (3, 4). f(3, 4) = √(3² + 4²) = √25 = 5. Tính đạo hàm riêng: f_x = x/√(x²+y²), f_y = y/√(x²+y²). Tại (3, 4): f_x(3, 4) = 3/5, f_y(3, 4) = 4/5. Xấp xỉ tuyến tính: f(x, y) ≈ f(x₀, y₀) + f_x(x₀, y₀)Δx + f_y(x₀, y₀)Δy. Với (x₀, y₀) = (3, 4), Δx = 3.01 - 3 = 0.01, Δy = 3.99 - 4 = -0.01. Xấp xỉ: 5 + (3/5)(0.01) + (4/5)(-0.01) = 5 + 0.03/5 - 0.04/5 = 5 - 0.01/5 = 5 - 0.002 = 4.998.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 8: Cho z = f(x, y) với x = r cosθ, y = r sinθ. Áp dụng quy tắc chuỗi để biểu diễn ∂z/∂r theo các đạo hàm riêng của f.

(∂z/∂x)cosθ + (∂z/∂y)sinθ

(∂z/∂x)rsinθ + (∂z/∂y)rcosθ

(∂z/∂r) = (∂z/∂x) + (∂z/∂y)

(∂z/∂x)sinθ + (∂z/∂y)cosθ

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng áp dụng quy tắc chuỗi cho hàm nhiều biến. z phụ thuộc vào x và y, x và y phụ thuộc vào r và θ. Ta có cây phụ thuộc: z -> x, y; x -> r, θ; y -> r, θ. ∂z/∂r = (∂z/∂x)(∂x/∂r) + (∂z/∂y)(∂y/∂r). ∂x/∂r = cosθ, ∂y/∂r = sinθ. Vậy ∂z/∂r = (∂z/∂x)cosθ + (∂z/∂y)sinθ.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 9: Tìm các điểm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5.

Hàm số không có điểm cực trị địa phương.

(1, 2) là điểm cực tiểu địa phương.

(1, 2) là điểm cực đại địa phương.

(1, 2) là điểm yên ngựa (saddle point).

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm cực trị địa phương bằng cách tìm điểm dừng và sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai. Tìm điểm dừng: f_x = 2x - 2 = 0 => x = 1. f_y = 2y - 4 = 0 => y = 2. Điểm dừng là (1, 2). Tính đạo hàm riêng cấp hai: f_xx = 2, f_yy = 2, f_xy = 0. Định thức Hessian D(x, y) = f_xx f_yy - (f_xy)² = (2)(2) - 0² = 4. Tại (1, 2), D(1, 2) = 4 > 0 và f_xx(1, 2) = 2 > 0. Do đó, (1, 2) là điểm cực tiểu địa phương.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 trên miền đóng và bị chặn D = {(x, y) | x² + y² ≤ 4}.

Không có giá trị nhỏ nhất vì miền biên là đường tròn.

-4

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm cực trị tuyệt đối trên miền đóng và bị chặn. Tìm điểm dừng bên trong miền: f_x = 2x = 0 => x=0. f_y = 2y = 0 => y=0. Điểm dừng (0, 0) nằm trong miền D. Giá trị f(0, 0) = 0. Xét trên biên x² + y² = 4. Trên biên, f(x, y) = x² + y² = 4. Vậy giá trị nhỏ nhất trên biên là 4. So sánh các giá trị: f(0, 0) = 0 và giá trị trên biên là 4. Giá trị nhỏ nhất là 0.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 11: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm giá trị lớn nhất của f(x, y) = xy với điều kiện ràng buộc x + y = 10.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange. Lập hàm Lagrange: L(x, y, λ) = xy - λ(x + y - 10). Tìm điểm dừng của L: ∂L/∂x = y - λ = 0 => y = λ. ∂L/∂y = x - λ = 0 => x = λ. ∂L/∂λ = -(x + y - 10) = 0 => x + y = 10. Thay x=λ, y=λ vào phương trình ràng buộc: λ + λ = 10 => 2λ = 10 => λ = 5. Vậy x = 5, y = 5. Giá trị của f tại (5, 5) là f(5, 5) = 5*5 = 25. Miền ràng buộc là đường thẳng, không đóng và bị chặn, nhưng bài toán này có thể giải bằng Lagrange và điểm tìm được thường là điểm cực trị (trong trường hợp này là cực đại).

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 12: Tính tích phân kép ∫∫_R (x + y) dA trên miền chữ nhật R = [1, 2] × [0, 1].

3/2

5/2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân kép trên miền chữ nhật. Tích phân có thể tính theo thứ tự bất kỳ. Chọn dV = dy dx. ∫ from 1 to 2 [ ∫ from 0 to 1 (x + y) dy ] dx. ∫ from 0 to 1 (x + y) dy = [xy + y²/2] from 0 to 1 = (x*1 + 1²/2) - (x*0 + 0²/2) = x + 1/2. Tiếp theo, tích phân theo x: ∫ from 1 to 2 (x + 1/2) dx = [x²/2 + x/2] from 1 to 2 = (2²/2 + 2/2) - (1²/2 + 1/2) = (2 + 1) - (1/2 + 1/2) = 3 - 1 = 2.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 13: Đổi thứ tự lấy tích phân của ∫ từ 0 đến 1 ∫ từ y đến 1 f(x, y) dx dy.

∫ từ 0 đến 1 ∫ từ 0 đến x f(x, y) dy dx

∫ từ 0 đến 1 ∫ từ x đến 1 f(x, y) dy dx

∫ từ 0 đến 1 ∫ từ 0 đến y f(x, y) dx dy

∫ từ 0 đến 1 ∫ từ x đến 1 f(x, y) dx dy

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng đổi thứ tự tích phân kép. Miền tích phân được xác định bởi 0 ≤ y ≤ 1 và y ≤ x ≤ 1. Đây là miền tam giác với các đỉnh (0, 0), (1, 0), (1, 1). Để đổi thứ tự thành dx dy, ta cố định x trước. x chạy từ 0 đến 1. Với một giá trị x cố định, y chạy từ 0 đến đường thẳng y = x. Vậy miền được mô tả là 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x. Tích phân sau khi đổi thứ tự là ∫ từ 0 đến 1 ∫ từ 0 đến x f(x, y) dy dx.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 14: Thiết lập tích phân kép trong hệ tọa độ cực để tính diện tích của miền D giới hạn bởi đường tròn x^2 + y^2 = 9.

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 3 dr dθ

∫ từ 0 đến 3 ∫ từ 0 đến 2π r dθ dr

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 3 r dr dθ

∫ từ 0 đến 3 ∫ từ 0 đến 2π dr dθ

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng thiết lập tích phân kép trong tọa độ cực để tính diện tích. Diện tích miền D được tính bằng ∫∫_D dA. Trong tọa độ cực, dA = r dr dθ. Đường tròn x² + y² = 9 có bán kính 3, tương ứng r = 3. Miền là toàn bộ hình tròn, nên r chạy từ 0 đến 3, θ chạy từ 0 đến 2π. Tích phân diện tích là ∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 3 r dr dθ.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 15: Tính tích phân kép ∫∫_D e^(-x²-y²) dA, trong đó D là miền giới hạn bởi nửa đường tròn x² + y² = 4 với y ≥ 0.

π(1 - e^(-4))

2π(1 - e^(-4))

π/2 * e^(-4)

π/2 * (1 - e^(-4))

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng sử dụng tọa độ cực để tính tích phân. Miền D là nửa hình tròn tâm O bán kính 2 ở phía trên trục Ox. Trong tọa độ cực, x² + y² = r², dA = r dr dθ. Miền D được mô tả bởi 0 ≤ r ≤ 2 và 0 ≤ θ ≤ π. Hàm e^(-x²-y²) trở thành e^(-r²). Tích phân là ∫ từ 0 đến π ∫ từ 0 đến 2 e^(-r²) r dr dθ. Tính tích phân theo r: ∫ from 0 to 2 e^(-r²) r dr. Đặt u = -r², du = -2r dr => r dr = -1/2 du. Khi r=0, u=0. Khi r=2, u=-4. Tích phân becomes ∫ from 0 to -4 e^u (-1/2 du) = -1/2 ∫ from 0 to -4 e^u du = 1/2 ∫ from -4 to 0 e^u du = 1/2 [e^u] from -4 to 0 = 1/2 (e^0 - e^-4) = 1/2 (1 - e^-4). Tiếp theo, tích phân theo θ: ∫ từ 0 đến π [1/2 (1 - e^-4)] dθ = [1/2 (1 - e^-4) θ] from 0 to π = 1/2 (1 - e^-4) π.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 16: Một tấm phẳng có mật độ khối lượng δ(x, y) = 2x + y. Tấm chiếm miền D giới hạn bởi các đường y = x², y = √x. Thiết lập tích phân kép để tính khối lượng của tấm.

∫ từ 0 đến 1 ∫ từ x² đến √x (2x + y) dy dx

∫ từ 0 đến 1 ∫ từ x² đến √x (2x + y) dx dy

∫ từ 0 đến 1 ∫ từ √x đến x² (2x + y) dy dx

∫ từ 0 đến 1 ∫ từ 0 đến 1 (2x + y) dy dx

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng thiết lập tích phân kép để tính khối lượng. Khối lượng M = ∫∫_D δ(x, y) dA. Miền D giới hạn bởi y = x² và y = √x. Tìm giao điểm: x² = √x => x⁴ = x => x⁴ - x = 0 => x(x³ - 1) = 0 => x = 0 hoặc x = 1. Trên đoạn [0, 1], √x ≥ x². Vậy miền D được mô tả bởi 0 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ √x. Tích phân khối lượng là ∫ từ 0 đến 1 ∫ từ x² đến √x (2x + y) dy dx.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 17: Tính tích phân bội ba ∫∫∫_E z dV, trong đó E là hình hộp chữ nhật E = [0, 1] × [-1, 2] × [0, 3].

9/2

27/2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bội ba trên miền hình hộp chữ nhật. Tích phân là ∫ từ 0 đến 1 ∫ từ -1 đến 2 ∫ từ 0 đến 3 z dz dy dx. Tính tích phân trong cùng theo z: ∫ from 0 to 3 z dz = [z²/2] from 0 to 3 = 3²/2 - 0²/2 = 9/2. Tiếp theo, tích phân theo y: ∫ from -1 to 2 (9/2) dy = [9y/2] from -1 to 2 = (9*2/2) - (9*(-1)/2) = 9 - (-9/2) = 9 + 9/2 = 27/2. Cuối cùng, tích phân theo x: ∫ từ 0 đến 1 (27/2) dx = [27x/2] from 0 to 1 = 27*1/2 - 27*0/2 = 27/2.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 18: Thiết lập tích phân bội ba để tính thể tích của miền E giới hạn bởi mặt trụ y² + z² = 9 và các mặt phẳng x = 0, x = 2, y = 0 (với y ≥ 0), z = 0 (với z ≥ 0).

∫ từ 0 đến 3 ∫ từ 0 đến 2 ∫ từ 0 đến √(9-y²) dx dy dz

∫ từ 0 đến 2 ∫ từ 0 đến 3 ∫ từ 0 đến 9-y² dz dy dx

∫ từ 0 đến 2 ∫ từ 0 đến 3 ∫ từ 0 đến √(9-z²) dy dz dx

∫ từ 0 đến 2 ∫ từ 0 đến 3 ∫ từ 0 đến √(9-y²) dz dy dx

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng thiết lập tích phân bội ba để tính thể tích. Thể tích V = ∫∫∫_E dV. Miền E được mô tả bởi: 0 ≤ x ≤ 2 (giữa x=0 và x=2). y và z nằm trong phần tư thứ nhất của đường tròn y² + z² = 9 (vì y ≥ 0, z ≥ 0). Trong mặt phẳng yz, đây là phần tư hình tròn bán kính 3. Vậy 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ √(9 - y²). Tích phân thể tích là ∫ từ 0 đến 2 ∫ từ 0 đến 3 ∫ từ 0 đến √(9-y²) dz dy dx.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 19: Sử dụng hệ tọa độ trụ để thiết lập tích phân bội ba tính thể tích của vật thể nằm trên mặt phẳng z = x² + y² và dưới mặt phẳng z = 4.

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 2 ∫ từ 0 đến 4 r dz dr dθ

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 2 ∫ từ r² đến 4 r dz dr dθ

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 4 ∫ từ r² đến 4 dz dr dθ

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 2 (4 - r²) r dr dθ

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng thiết lập tích phân trong tọa độ trụ. Vật thể nằm giữa z = x² + y² và z = 4. Hình chiếu của vật thể lên mặt phẳng xy là miền D mà x² + y² ≤ 4 (đường tròn giao tuyến của z=4 và z=x²+y²). Trong tọa độ trụ: x = r cosθ, y = r sinθ, z = z, dV = r dz dr dθ. Mặt paraboloid z = x² + y² trở thành z = r². Mặt phẳng z = 4 giữ nguyên z = 4. Hình chiếu D là r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π. Với mỗi (r, θ) trong D, z chạy từ r² đến 4. Tích phân thể tích là ∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 2 ∫ từ r² đến 4 r dz dr dθ.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 20: Sử dụng hệ tọa độ cầu để thiết lập tích phân bội ba tính thể tích của khối cầu đơn vị x² + y² + z² ≤ 1.

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến π ∫ từ 0 đến 1 ρ² sinφ dρ dφ dθ

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến π/2 ∫ từ 0 đến 1 ρ² sinφ dρ dφ dθ

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến π ∫ từ 0 đến 1 ρ² dρ dφ dθ

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến π ∫ từ 0 đến 1 sinφ dρ dφ dθ

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng thiết lập tích phân trong tọa độ cầu. Khối cầu x² + y² + z² ≤ 1 có bán kính 1. Trong tọa độ cầu: x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ, dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ. Với khối cầu đơn vị, ρ chạy từ 0 đến 1. Góc φ (góc từ trục z dương xuống) chạy từ 0 đến π. Góc θ (góc trong mặt phẳng xy từ trục x dương) chạy từ 0 đến 2π. Tích phân thể tích là ∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến π ∫ từ 0 đến 1 ρ² sinφ dρ dφ dθ.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 21: Cho miền D là tam giác với các đỉnh (0, 0), (1, 0), (0, 2). Tính tích phân kép ∫∫_D (x + 2y) dA.

4/3

5/3

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân kép trên miền tam giác. Cạnh huyền của tam giác đi qua (1, 0) và (0, 2). Phương trình đường thẳng qua hai điểm này là y - 0 = (2 - 0)/(0 - 1) * (x - 1) => y = -2(x - 1) => y = -2x + 2. Miền D có thể mô tả là 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ -2x + 2. Tích phân là ∫ từ 0 đến 1 ∫ từ 0 đến -2x+2 (x + 2y) dy dx. Tính tích phân trong: ∫ from 0 to -2x+2 (x + 2y) dy = [xy + y²] from 0 to -2x+2 = x(-2x + 2) + (-2x + 2)² - (0 + 0) = -2x² + 2x + (4x² - 8x + 4) = 2x² - 6x + 4. Tính tích phân ngoài: ∫ từ 0 đến 1 (2x² - 6x + 4) dx = [2x³/3 - 3x² + 4x] from 0 to 1 = (2(1)³/3 - 3(1)² + 4(1)) - (0) = 2/3 - 3 + 4 = 2/3 + 1 = 5/3.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 22: Cho hàm số f(x, y) = xy. Tìm các điểm cực trị địa phương của f(x, y) trong miền mở R².

(0, 0) là điểm cực tiểu.

(0, 0) là điểm cực đại.

(0, 0) là điểm yên ngựa, không có cực trị địa phương.

Có vô số điểm cực trị địa phương.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm cực trị địa phương và xác định điểm yên ngựa. Tìm điểm dừng: f_x = y = 0. f_y = x = 0. Điểm dừng là (0, 0). Tính đạo hàm riêng cấp hai: f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = 1. Định thức Hessian D(x, y) = f_xx f_yy - (f_xy)² = (0)(0) - 1² = -1. Tại (0, 0), D(0, 0) = -1 < 0. Do đó, (0, 0) là điểm yên ngựa. Hàm số không có cực trị địa phương.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 23: Cho hàm số f(x, y) = √(x² + y²). Giá trị của f(x, y) tại (0, 0) là 0. Hàm số này có khả vi tại (0, 0) hay không? Giải thích.

Có, vì f(0, 0) tồn tại.

Có, vì đạo hàm riêng theo x và y tồn tại tại (0, 0).

Không, vì hàm số không liên tục tại (0, 0).

Không, vì đạo hàm riêng của hàm số không tồn tại hoặc không liên tục tại (0, 0).

Câu hỏi kiểm tra khái niệm khả vi cho hàm nhiều biến. Hàm f(x, y) = √(x² + y²) là hàm khoảng cách từ gốc tọa độ. Đồ thị của hàm này là một hình nón với đỉnh nhọn tại (0, 0, 0). Tại điểm nhọn này, mặt tiếp tuyến không tồn tại duy nhất. Hàm không có đạo hàm riêng tại (0, 0) (hoặc đạo hàm riêng không liên tục tại (0,0), tùy theo định nghĩa được dùng, nhưng kết quả là không khả vi). f_x = x/√(x²+y²), f_y = y/√(x²+y²). Các đạo hàm riêng này không xác định tại (0, 0). Do đó, hàm số không khả vi tại (0, 0).

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 24: Cho tích phân lặp ∫ từ 0 đến 2 ∫ từ 0 đến √(4-x²) (x² + y²) dy dx. Miền tích phân này trong hệ tọa độ cực là gì?

0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/2

0 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ π/2

0 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ π

Câu hỏi kiểm tra khả năng chuyển đổi miền tích phân từ Descartes sang cực. Miền tích phân được cho bởi 0 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ √(4 - x²). Từ y ≤ √(4 - x²), ta có y² ≤ 4 - x² hay x² + y² ≤ 4, là miền trong đường tròn bán kính 2. y ≥ 0 chỉ ra miền nằm phía trên trục Ox. x ≥ 0 chỉ ra miền nằm phía bên phải trục Oy. Kết hợp lại, đây là miền nằm trong phần tư thứ nhất của hình tròn tâm O bán kính 2. Trong tọa độ cực, miền này được mô tả bởi 0 ≤ r ≤ 2 và 0 ≤ θ ≤ π/2.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 25: Một vật thể có hình dạng là khối trụ x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2. Mật độ khối lượng tại mỗi điểm là ρ(x, y, z) = z. Tính khối lượng của vật thể.

2π

4π

π/2

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính khối lượng bằng tích phân bội ba, sử dụng tọa độ trụ. Khối lượng M = ∫∫∫_E ρ(x, y, z) dV. Miền E là khối trụ với đáy là hình tròn đơn vị trong mặt phẳng xy (x² + y² ≤ 1) và chiều cao từ z=0 đến z=2. Trong tọa độ trụ: x = r cosθ, y = r sinθ, z = z, dV = r dz dr dθ. Mật độ ρ = z. Miền E trong tọa độ trụ: 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ 2. Tích phân khối lượng là ∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 1 ∫ từ 0 đến 2 z * r dz dr dθ. Tính tích phân trong cùng theo z: ∫ from 0 to 2 z dz = [z²/2] from 0 to 2 = 4/2 - 0 = 2. Tiếp theo, tích phân theo r: ∫ from 0 to 1 2r dr = [r²] from 0 to 1 = 1² - 0² = 1. Cuối cùng, tích phân theo θ: ∫ từ 0 đến 2π 1 dθ = [θ] from 0 to 2π = 2π - 0 = 2π.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 26: Miền E là phần của khối cầu x² + y² + z² ≤ 4 nằm trong góc phần tám thứ nhất (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). Thiết lập tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu để tính thể tích của E.

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến π ∫ từ 0 đến 2 ρ² sinφ dρ dφ dθ

∫ từ 0 đến π/2 ∫ từ 0 đến π/2 ∫ từ 0 đến 4 ρ² sinφ dρ dφ dθ

∫ từ 0 đến π/2 ∫ từ 0 đến π/2 ∫ từ 0 đến 2 ρ² sinφ dρ dφ dθ

∫ từ 0 đến π ∫ từ 0 đến π ∫ từ 0 đến 2 ρ² sinφ dρ dφ dθ

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng thiết lập tích phân trong tọa độ cầu cho một phần của khối cầu. Khối cầu x² + y² + z² ≤ 4 có bán kính 2, tương ứng ρ ≤ 2. Góc phần tám thứ nhất (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) trong tọa độ cầu được mô tả bởi 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ π/2 (vì z ≥ 0), và 0 ≤ θ ≤ π/2 (vì x ≥ 0, y ≥ 0). Tích phân thể tích (dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ) là ∫ từ 0 đến π/2 ∫ từ 0 đến π/2 ∫ từ 0 đến 2 ρ² sinφ dρ dφ dθ.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 27: Một hàm số f(x, y) có f_x(a, b) > 0. Điều này có ý nghĩa gì về hành vi của hàm số tại điểm (a, b)?

Hàm số f tăng khi y tăng tại (a, b).

Hàm số f tăng khi x tăng, giữ y cố định, tại (a, b).

Hàm số f có cực tiểu tại (a, b).

Hàm số f giảm khi x tăng, giữ y cố định, tại (a, b).

Câu hỏi kiểm tra ý nghĩa của đạo hàm riêng. Đạo hàm riêng f_x(a, b) biểu thị tốc độ thay đổi của hàm f khi chỉ có x thay đổi (y được giữ cố định tại b). Nếu f_x(a, b) > 0, điều đó có nghĩa là khi x tăng (từ a), giá trị của f(x, b) cũng tăng, giữ y cố định.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 28: Cho tích phân kép ∫∫_R f(x, y) dA, trong đó R là miền được mô tả bởi 1 ≤ x ≤ 2 và x ≤ y ≤ 2x. Miền R có thể được mô tả bằng cách đổi thứ tự tích phân như thế nào?

∫ từ 1 đến 2 ∫ từ y đến y/2 f(x, y) dx dy

∫ từ 1 đến 4 ∫ từ y đến y/2 f(x, y) dx dy

∫ từ 1 đến 2 ∫ từ y đến 2 f(x, y) dx dy + ∫ từ 2 đến 4 ∫ từ y đến 2 f(x, y) dx dy

∫ từ 1 đến 2 ∫ từ y đến 2 f(x, y) dx dy + ∫ từ 2 đến 4 ∫ từ y/2 đến 2 f(x, y) dx dy

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng phân tích miền tích phân để đổi thứ tự. Miền R được giới hạn bởi x=1, x=2, y=x, y=2x. Để đổi thứ tự thành dx dy, ta cần xác định khoảng giá trị của y. Giá trị nhỏ nhất của y là khi y=x tại x=1, tức y=1. Giá trị lớn nhất của y là khi y=2x tại x=2, tức y=4. Với một giá trị y cố định trong khoảng [1, 4], x chạy từ đường nào đến đường nào? Nếu 1 ≤ y ≤ 2, x chạy từ đường y=x (x=y) đến đường x=2. Nếu 2 < y ≤ 4, x chạy từ đường y=2x (x=y/2) đến đường x=2. Miền cần chia thành hai phần: R₁: 1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2. R₂: 2 < y ≤ 4, y/2 ≤ x ≤ 2. Tích phân sau khi đổi thứ tự là ∫ từ 1 đến 2 ∫ từ y đến 2 f(x, y) dx dy + ∫ từ 2 đến 4 ∫ từ y/2 đến 2 f(x, y) dx dy.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 29: Cho hàm số f(x, y) = ln(x² + y²). Tìm miền xác định của hàm số này.

Tất cả các điểm (x, y) trong R².

Miền D = {(x, y) | x > 0, y > 0}.

Tất cả các điểm (x, y) trong R² ngoại trừ điểm (0, 0).

Miền D = {(x, y) | x² + y² ≥ 0}.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về miền xác định của hàm nhiều biến, cụ thể là hàm logarithm. Hàm ln(u) chỉ xác định khi u > 0. Do đó, x² + y² phải lớn hơn 0. x² + y² = 0 chỉ khi x = 0 và y = 0. Vậy, miền xác định là tất cả các điểm (x, y) trong R² trừ điểm gốc (0, 0).

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 12

Câu 30: Khối lượng riêng của một vật thể hình nón được cho bởi ρ(x, y, z) = x² + y². Vật thể là hình nón đặc với đỉnh tại gốc tọa độ, đáy là hình tròn x² + y² ≤ 4 trên mặt phẳng z = 2. Thiết lập tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ để tính khối lượng của vật thể.

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 2 ∫ từ r đến 2 r³ dz dr dθ

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 2 ∫ từ 0 đến 2 r³ dz dr dθ

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 2 ∫ từ r đến 2 (x² + y²) dz dr dθ

∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 4 ∫ từ r đến 2 r³ dz dr dθ

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng thiết lập tích phân trong tọa độ trụ cho vật thể hình nón với khối lượng riêng thay đổi. Đáy hình tròn x² + y² ≤ 4 trên z = 2 có bán kính 2. Phương trình mặt nón nối gốc (0,0,0) với đường tròn x² + y² = 4, z = 2 là z = √(x² + y²). Trong tọa độ trụ, x² + y² = r², nên phương trình mặt nón là z = r. Vật thể nằm dưới mặt phẳng z=2 và trên mặt nón z=r. Hình chiếu lên mặt phẳng xy là đáy hình tròn x² + y² ≤ 4, tức 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π. Với mỗi (r, θ) trong hình chiếu, z chạy từ mặt nón (z=r) đến mặt phẳng (z=2). Mật độ ρ = x² + y² = r². dV = r dz dr dθ. Tích phân khối lượng là ∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 2 ∫ từ r đến 2 (r²) r dz dr dθ = ∫ từ 0 đến 2π ∫ từ 0 đến 2 ∫ từ r đến 2 r³ dz dr dθ.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 13

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 1: Miền xác định của hàm số f(x, y) = ln(x - y^2) là tập hợp các điểm (x, y) trong mặt phẳng sao cho:

x ≥ y²

x < y²

x > y²

x ≠ y²

Hàm logarit chỉ xác định khi đối số dương. Do đó, x - y² > 0, tương đương với x > y². Miền xác định là tập hợp các điểm nằm bên phải parabol x = y².

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 2: Cho hàm số f(x, y) = x³y² + sin(xy). Đạo hàm riêng theo biến y của hàm số f(x, y) là:

2x³y + xcos(xy)

3x²y² + ycos(xy)

3x²y² + cos(xy)

2x³y + ycos(xy)

Để tìm đạo hàm riêng theo y, ta coi x là hằng số và lấy đạo hàm theo y. ∂/∂y (x³y²) = 2x³y. ∂/∂y (sin(xy)) = cos(xy) * x (theo quy tắc chuỗi). Cộng lại ta được 2x³y + xcos(xy).

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 3: Cho hàm số z = f(x, y) với x = rcosθ, y = rsinθ. Sử dụng quy tắc chuỗi, biểu thức ∂z/∂r là gì?

(∂z/∂x)sinθ + (∂z/∂y)cosθ

(∂z/∂x)cosθ + (∂z/∂y)sinθ

(∂z/∂x)rsinθ + (∂z/∂y)rcosθ

(∂z/∂x)(-rsinθ) + (∂z/∂y)(rcosθ)

Theo quy tắc chuỗi cho z = f(x(r,θ), y(r,θ)), ta có ∂z/∂r = (∂z/∂x)(∂x/∂r) + (∂z/∂y)(∂y/∂r). Ta có ∂x/∂r = cosθ và ∂y/∂r = sinθ. Do đó, ∂z/∂r = (∂z/∂x)cosθ + (∂z/∂y)sinθ.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 4: Gradient của hàm số f(x, y, z) = x²y + yz³ tại điểm (1, 2, -1) là vector nào?

<2, 1, 3>

<4, 3, 6>

<4, 0, -6>

<4, 0, 6>

Gradient của f là vector ∇f = <∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z>. ∂f/∂x = 2xy, ∂f/∂y = x² + z³, ∂f/∂z = 3yz². Tại điểm (1, 2, -1): ∂f/∂x(1,2,-1) = 2(1)(2) = 4. ∂f/∂y(1,2,-1) = 1² + (-1)³ = 1 - 1 = 0. ∂f/∂z(1,2,-1) = 3(2)(-1)² = 6. Gradient là <4, 0, 6>.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 5: Tính đạo hàm theo hướng của hàm số f(x, y) = x²y³ - 4y tại điểm (2, -1) theo hướng của vector v = <2, -1>.

-4/sqrt(5)

12/sqrt(5)

-16/sqrt(5)

4/sqrt(5)

Trước hết, chuẩn hóa vector v: |v| = sqrt(2² + (-1)²) = sqrt(5). Vector đơn vị u = v/|v| = <2/sqrt(5), -1/sqrt(5)>. Tính gradient của f: ∇f = <∂f/∂x, ∂f/∂y> = <2xy³, 3x²y² - 4>. Tại điểm (2, -1): ∇f(2, -1) = <2(2)(-1)³, 3(2)²(-1)² - 4> = <-4, 3(4)(1) - 4> = <-4, 12 - 4> = <-4, 8>. Đạo hàm theo hướng là ∇f . u = <-4, 8> . <2/sqrt(5), -1/sqrt(5)> = (-4)(2/sqrt(5)) + (8)(-1/sqrt(5)) = -8/sqrt(5) - 8/sqrt(5) = -16/sqrt(5).

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 6: Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = x² + 2y² tại điểm (1, 1, 3).

x + 2y - z = 0

2x + 4y + z = 9

x + 2y + z = 6

2x + 4y - z = 3

Đặt F(x, y, z) = x² + 2y² - z = 0. Vector pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc là gradient của F tại điểm đó: ∇F = <∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z> = <2x, 4y, -1>. Tại điểm (1, 1, 3), ∇F(1, 1, 3) = <2(1), 4(1), -1> = <2, 4, -1>. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc có dạng A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0, với vector pháp tuyến và điểm (x₀, y₀, z₀). Thay số: 2(x - 1) + 4(y - 1) - 1(z - 3) = 0. Mở rộng: 2x - 2 + 4y - 4 - z + 3 = 0. Kết quả: 2x + 4y - z - 3 = 0.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 7: Tìm các điểm cực trị địa phương (critical points) của hàm số f(x, y) = x³ - 3x + y² - 4y.

(1, 2)

(1, 2) và (-1, 2)

(1, 2) và (-1, -2)

(0, 0)

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm riêng bằng 0 hoặc không tồn tại. ∂f/∂x = 3x² - 3. ∂f/∂y = 2y - 4. Đặt ∂f/∂x = 0 => 3x² - 3 = 0 => x² = 1 => x = ±1. Đặt ∂f/∂y = 0 => 2y - 4 = 0 => y = 2. Các điểm cực trị địa phương là (1, 2) và (-1, 2).

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 8: Cho hàm số f(x, y) = x² + y² - 2x - 4y + 5. Điểm cực trị (1, 2) của hàm số này là loại cực trị nào?

Cực tiểu địa phương

Cực đại địa phương

Điểm yên ngựa

Không phải cực trị địa phương

Điểm cực trị là (1, 2). Tính các đạo hàm riêng cấp hai: fₓₓ = 2, fyy = 2, fxy = 0. Tính định thức Hessian D(x, y) = fₓₓ fyy - (fxy)² = (2)(2) - 0² = 4. Tại điểm (1, 2), D(1, 2) = 4 > 0. Vì fₓₓ = 2 > 0, điểm (1, 2) là điểm cực tiểu địa phương.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 9: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = xy với ràng buộc x² + y² = 1.

1/2

sqrt(2)/2

Thiết lập hệ phương trình ∇f = λ∇g và g(x, y) = c. ∇f = , ∇g = <2x, 2y>. Hệ: y = λ(2x), x = λ(2y), x² + y² = 1. Từ hai phương trình đầu, y/(2x) = x/(2y) (nếu x, y ≠ 0). 2y² = 2x² => y² = x². Thay vào ràng buộc: x² + x² = 1 => 2x² = 1 => x² = 1/2 => x = ±1/sqrt(2). Nếu x = 1/sqrt(2), y² = 1/2 => y = ±1/sqrt(2). Nếu x = -1/sqrt(2), y² = 1/2 => y = ±1/sqrt(2). Các điểm ứng viên: (1/sqrt(2), 1/sqrt(2)), (1/sqrt(2), -1/sqrt(2)), (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)), (-1/sqrt(2), -1/sqrt(2)). Giá trị của f tại các điểm này: f(1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) = 1/2, f(1/sqrt(2), -1/sqrt(2)) = -1/2, f(-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) = -1/2, f(-1/sqrt(2), -1/sqrt(2)) = 1/2. Giá trị lớn nhất là 1/2.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 10: Tính tích phân kép ∫∫_R (x + 2y) dA, trong đó R là hình chữ nhật [0, 1] × [0, 2].

Tích phân có thể viết là ∫₀¹ ∫₀² (x + 2y) dy dx. Tính tích phân bên trong: ∫₀² (x + 2y) dy = [xy + y²]₀² = (x(2) + 2²) - (x(0) + 0²) = 2x + 4. Tính tích phân bên ngoài: ∫₀¹ (2x + 4) dx = [x² + 4x]₀¹ = (1² + 4(1)) - (0² + 4(0)) = 1 + 4 = 5.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 11: Miền D được giới hạn bởi các đường y = x và y = x². Viết tích phân kép ∫∫_D f(x, y) dA dưới dạng tích phân lặp theo thứ tự dx dy.

∫₀¹ ∫_x^sqrt(x) f(x, y) dy dx

∫₀¹ ∫_x²^x f(x, y) dy dx

∫₀¹ ∫_x²^x f(x, y) dx dy

∫₀¹ ∫_y^sqrt(y) f(x, y) dx dy

Để tích phân theo thứ tự dx dy, ta cần xem y là biến độc lập và x phụ thuộc vào y. Giao điểm của y = x và y = x² là x = 0 (y = 0) và x = 1 (y = 1). Với y cố định từ 0 đến 1, x chạy từ đường x = y đến đường x = sqrt(y) (vì x ≥ 0 trong miền này). Vậy tích phân là ∫₀¹ ∫_y^sqrt(y) f(x, y) dx dy.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 12: Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường y = x² và y = 2x.

4/3

8/3

3/2

Diện tích miền D được tính bằng ∫∫_D dA. Giao điểm của y = x² và y = 2x là x² = 2x => x² - 2x = 0 => x(x - 2) = 0 => x = 0 và x = 2. Trên đoạn [0, 2], đường y = 2x nằm trên đường y = x². Vậy miền D được mô tả là 0 ≤ x ≤ 2, x² ≤ y ≤ 2x. Diện tích = ∫₀² ∫_x²^2x dy dx = ∫₀² [y]_x²^2x dx = ∫₀² (2x - x²) dx = [x² - x³/3]₀² = (2² - 2³/3) - (0) = 4 - 8/3 = 12/3 - 8/3 = 4/3.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 13: Tính tích phân kép ∫∫_D x² dA, trong đó D là hình tròn đơn vị x² + y² ≤ 1.

π/2

π/4

π/8

π/3

Chuyển sang tọa độ cực. x = rcosθ, y = rsinθ, dA = r dr dθ. Miền D trong tọa độ cực là 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π. x² = (rcosθ)². Tích phân trở thành ∫₀²π ∫₀¹ (rcosθ)² r dr dθ = ∫₀²π ∫₀¹ r³ cos²θ dr dθ. Tách biến: (∫₀¹ r³ dr) (∫₀²π cos²θ dθ). ∫₀¹ r³ dr = [r⁴/4]₀¹ = 1/4. ∫₀²π cos²θ dθ = ∫₀²π (1 + cos(2θ))/2 dθ = [θ/2 + sin(2θ)/4]₀²π = (2π/2 + 0) - (0) = π. Tích phân = (1/4)(π) = π/4.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 14: Viết tích phân ba ∫∫∫_E f(x, y, z) dV dưới dạng tích phân lặp, trong đó E là vật thể nằm dưới mặt phẳng z = 1 + x + y và nằm trên hình chữ nhật [0, 1] × [0, 2] trong mặt phẳng xy.

∫₀² ∫₀¹ ∫₀^(1+x+y) f(x, y, z) dx dy dz

∫₀¹ ∫₀² ∫₀¹ f(x, y, z) dz dy dx

∫₀¹ ∫₀² ∫₀^(1+x+y) f(x, y, z) dz dy dx

∫₀¹ ∫₀² ∫_0^(1+x+y) f(x, y, z) dy dx dz

Vật thể E được mô tả bởi 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 1 + x + y. Tích phân lặp là ∫₀¹ ∫₀² ∫₀^(1+x+y) f(x, y, z) dz dy dx.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 15: Tính thể tích của vật thể E nằm trong hình trụ x² + y² = 1, nằm trên mặt phẳng z = 0 và nằm dưới mặt phẳng z = x + 2.

2π

3π/2

π/2

Vật thể E được mô tả bởi x² + y² ≤ 1 và 0 ≤ z ≤ x + 2. Đây là tích phân ba ∫∫∫_E dV. Chuyển sang tọa độ trụ: x = rcosθ, y = rsinθ, z = z, dV = r dz dr dθ. Miền D trong mặt phẳng xy là hình tròn đơn vị, nên 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π. Giới hạn của z là 0 ≤ z ≤ rcosθ + 2. Thể tích = ∫₀²π ∫₀¹ ∫₀^(rcosθ+2) r dz dr dθ. Tích phân bên trong: ∫₀^(rcosθ+2) r dz = [rz]₀^(rcosθ+2) = r(rcosθ + 2) = r²cosθ + 2r. Tích phân theo r: ∫₀¹ (r²cosθ + 2r) dr = [r³cosθ/3 + r²]₀¹ = cosθ/3 + 1. Tích phân theo θ: ∫₀²π (cosθ/3 + 1) dθ = [sinθ/3 + θ]₀²π = (0/3 + 2π) - (0 + 0) = 2π.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 16: Tính tích phân đường ∫_C (x² + y²) ds, trong đó C là đoạn thẳng nối từ (0, 0) đến (1, 0).

1/2

1/3

Tham số hóa đường cong C: r(t) = với 0 ≤ t ≤ 1. r'(t) = <1, 0>. |r'(t)| = sqrt(1² + 0²) = 1. ds = |r'(t)| dt = 1 dt. Hàm cần tích phân trên C là f(x, y) = x² + y². Trên C, x = t, y = 0, nên f(r(t)) = t² + 0² = t². Tích phân đường: ∫₀¹ t² (1) dt = ∫₀¹ t² dt = [t³/3]₀¹ = 1³/3 - 0³/3 = 1/3.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 17: Tính công sinh bởi trường vector F(x, y) = khi di chuyển một hạt dọc theo đường cong C: y = x² từ (0, 0) đến (1, 1).

9/10

3/2

7/10

Công được tính bằng tích phân đường của trường vector: W = ∫_C F . dr. Tham số hóa C: r(t) = với 0 ≤ t ≤ 1. r'(t) = <1, 2t>. Trên C, F(x, y) = F(t, t²) = = . F(r(t)) . r'(t) = . <1, 2t> = t(1) + t³(2t) = t + 2t⁴. Tích phân công: ∫₀¹ (t + 2t⁴) dt = [t²/2 + 2t⁵/5]₀¹ = (1²/2 + 2(1)⁵/5) - (0) = 1/2 + 2/5 = 5/10 + 4/10 = 9/10.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 18: Trường vector F(x, y) = <2xy, x² + 3y²> có phải là trường thế (conservative) không? Nếu có, hàm thế (potential function) φ(x, y) của nó là gì?

Không, vì ∂P/∂y ≠ ∂Q/∂x.

Có, φ(x, y) = x²y + 3y³.

Có, φ(x, y) = xy² + x²y + C.

Có, φ(x, y) = x²y + y³ + C.

Một trường vector F = là trường thế nếu ∂P/∂y = ∂Q/∂x. Ở đây, P = 2xy, Q = x² + 3y². ∂P/∂y = 2x. ∂Q/∂x = 2x. Vì ∂P/∂y = ∂Q/∂x, trường F là trường thế. Để tìm hàm thế φ, ta cần φₓ = P và φy = Q. φₓ = 2xy => φ(x, y) = ∫ 2xy dx = x²y + g(y). φy = ∂/∂y (x²y + g(y)) = x² + g'(y). Ta có φy = Q = x² + 3y². Vậy x² + g'(y) = x² + 3y² => g'(y) = 3y². g(y) = ∫ 3y² dy = y³ + C. Hàm thế là φ(x, y) = x²y + y³ + C (thường chọn C=0).

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 19: Tính tích phân đường ∫_C (2xy dx + (x² + 3y²) dy), trong đó C là đường cong bất kỳ từ (0, 0) đến (1, 1).

Không thể tính nếu không biết đường cong C cụ thể.

Trường vector F = <2xy, x² + 3y²> đã được xác định là trường thế trong Câu 18 với hàm thế φ(x, y) = x²y + y³ + C. Theo Định lý Cơ bản cho Tích phân Đường, nếu F = ∇φ, thì ∫_C F . dr = φ(điểm cuối) - φ(điểm đầu). Điểm đầu là (0, 0), điểm cuối là (1, 1). Giá trị tích phân là φ(1, 1) - φ(0, 0) = (1²(1) + 1³) - (0²(0) + 0³) = (1 + 1) - 0 = 2.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 20: Tính Curl của trường vector F(x, y, z) = . Curl F là vector nào?

<-2y - xy, -x, yz>

<x, yz, -2y - xy>

<-2y - xy, x, yz>

<yz, x, -2y - xy>

Curl F = ∇ × F = | i j k | / | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z | / | xz xyz -y² | = i(∂(-y²)/∂y - ∂(xyz)/∂z) - j(∂(-y²)/∂x - ∂(xz)/∂z) + k(∂(xyz)/∂x - ∂(xz)/∂y) = i(-2y - xy) - j(0 - x) + k(yz - 0) = <-2y - xy, x, yz>.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 21: Tính Divergence của trường vector F(x, y, z) = . Div F là hàm vô hướng nào?

2xy + z² + x

2xy + yz + x

<yz², xz, x²y>

Div F = ∇ . F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z, với F = . P = x²y, Q = yz², R = xz. ∂P/∂x = 2xy. ∂Q/∂y = z². ∂R/∂z = x. Div F = 2xy + z² + x.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 22: Sử dụng Định lý Green để tính tích phân đường ∮_C (x²y dx + x³ dy), trong đó C là biên của hình chữ nhật [0, 1] × [0, 2] theo chiều dương.

4/3

8/3

Định lý Green: ∮_C (P dx + Q dy) = ∫∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA, trong đó D là miền được bao bởi C. P = x²y, Q = x³. ∂P/∂y = x². ∂Q/∂x = 3x². ∂Q/∂x - ∂P/∂y = 3x² - x². Miền D là hình chữ nhật [0, 1] × [0, 2]. Tích phân kép: ∫∫_D (3x² - x²) dA = ∫₀¹ ∫₀² (2x²) dy dx. Tích phân bên trong: ∫₀² (2x²) dy = [2x²y]₀² = 2x²(2) - 2x²(0) = 4x². Tích phân bên ngoài: ∫₀¹ 4x² dx = [4x³/3]₀¹ = 4(1)³/3 - 4(0)³/3 = 4/3.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 23: Tính thông lượng (flux) của trường vector F(x, y) = qua đường cong kín C là đường tròn x² + y² = 1, hướng ra ngoài.

π/2

2π

Sử dụng dạng thông lượng của Định lý Green: ∮_C F . n ds = ∫∫_D div(F) dA, trong đó n là vector pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài. F = = . div(F) = ∂P/∂x + ∂Q/∂y = ∂x/∂x + ∂y/∂y = 1 + 1 = 2. Miền D là hình tròn đơn vị x² + y² ≤ 1, có diện tích là π(1)² = π. Tích phân thông lượng = ∫∫_D 2 dA = 2 * (Diện tích D) = 2π.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 24: Tính tích phân mặt ∫∫_S (x² + y² + z²) dS, trong đó S là mặt cầu đơn vị x² + y² + z² = 1.

2π

4π

π/2

Tham số hóa mặt cầu đơn vị: r(φ, θ) = với 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π. dS = |r_φ × r_θ| dφ dθ. Đối với mặt cầu bán kính R, dS = R² sinφ dφ dθ. Ở đây R=1, nên dS = sinφ dφ dθ. Trên mặt cầu, x² + y² + z² = 1². Tích phân mặt: ∫₀²π ∫₀π (1) sinφ dφ dθ = (∫₀²π dθ) (∫₀π sinφ dφ). ∫₀²π dθ = [θ]₀²π = 2π. ∫₀π sinφ dφ = [-cosφ]₀π = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2. Tích phân = (2π)(2) = 4π. (Đây chính là diện tích mặt cầu đơn vị).

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 25: Sử dụng Định lý Stokes để tính tích phân đường ∮_C F . dr, trong đó F(x, y, z) = <-y, x, z> và C là giao tuyến của mặt paraboloid z = x² + y² và mặt phẳng z = 1, hướng ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ trên xuống.

2π

4π

Định lý Stokes: ∮_C F . dr = ∫∫_S curl(F) . dS, trong đó S là một mặt bất kỳ có biên là C và hướng phù hợp. C là đường tròn x² + y² = 1 trong mặt phẳng z = 1. Ta có thể chọn S là đĩa x² + y² ≤ 1 trong mặt phẳng z = 1. Tính curl(F): F = <-y, x, z>. curl(F) = ∇ × F = | i j k | / | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z | / | -y x z | = i(∂z/∂y - ∂x/∂z) - j(∂z/∂x - ∂(-y)/∂z) + k(∂x/∂x - ∂(-y)/∂y) = i(0 - 0) - j(0 - 0) + k(1 - (-1)) = <0, 0, 2>. Mặt S là đĩa z=1, vector pháp tuyến hướng lên (phù hợp với hướng của C) là n = <0, 0, 1>. dS = n dA = <0, 0, 1> dA. curl(F) . dS = <0, 0, 2> . <0, 0, 1> dA = 2 dA. Miền D trong mặt phẳng xy tương ứng với S là hình tròn x² + y² ≤ 1, có diện tích π. Tích phân mặt: ∫∫_S 2 dS = ∫∫_D 2 dA = 2 * (Diện tích D) = 2π.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 26: Sử dụng Định lý Divergence (Gauss) để tính thông lượng của trường vector F(x, y, z) = qua mặt cầu kín S: x² + y² + z² = 1, hướng ra ngoài.

4π

12π/5

6π/5

Định lý Divergence: ∬_S F . dS = ∫∫∫_E div(F) dV, trong đó E là vật thể được bao bởi mặt kín S. S là mặt cầu đơn vị, nên E là khối cầu đơn vị x² + y² + z² ≤ 1. Tính div(F): F = . div(F) = ∂(x³)/∂x + ∂(y³)/∂y + ∂(z³)/∂z = 3x² + 3y² + 3z² = 3(x² + y² + z²). Tích phân ba: ∫∫∫_E 3(x² + y² + z²) dV. Chuyển sang tọa độ cầu: x² + y² + z² = ρ², dV = ρ² sinφ dρ dθ dφ. Miền E trong tọa độ cầu là 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π. Tích phân: ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ 3ρ² (ρ²) sinφ dρ dφ dθ = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ 3ρ⁴ sinφ dρ dφ dθ. Tách biến: (∫₀²π dθ) (∫₀π sinφ dφ) (∫₀¹ 3ρ⁴ dρ). ∫₀²π dθ = 2π. ∫₀π sinφ dφ = 2. ∫₀¹ 3ρ⁴ dρ = [3ρ⁵/5]₀¹ = 3/5. Tích phân = (2π)(2)(3/5) = 12π/5.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 27: Tìm các điểm trên mặt z² = x² + y² gần điểm (4, 2, 0) nhất.

(4, 2, 0)

(0, 0, 0)

(2, 1, sqrt(5)) và (2, 1, -sqrt(5))

(2, 1, 0)

Cần cực tiểu hóa bình phương khoảng cách từ (4, 2, 0) đến một điểm (x, y, z) trên mặt z² = x² + y². Bình phương khoảng cách là D = (x - 4)² + (y - 2)² + (z - 0)² = (x - 4)² + (y - 2)² + z². Thay z² = x² + y² vào, ta được hàm cần cực tiểu f(x, y) = (x - 4)² + (y - 2)² + x² + y². Mở rộng: f(x, y) = x² - 8x + 16 + y² - 4y + 4 + x² + y² = 2x² - 8x + 2y² - 4y + 20. Tìm điểm cực trị bằng cách lấy đạo hàm riêng và đặt bằng 0: ∂f/∂x = 4x - 8 = 0 => x = 2. ∂f/∂y = 4y - 4 = 0 => y = 1. Điểm cực trị là (2, 1). Tính z² = x² + y² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5 => z = ±sqrt(5). Các điểm trên mặt gần (4, 2, 0) nhất là (2, 1, sqrt(5)) và (2, 1, -sqrt(5)).

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 28: Tính tích phân ba ∫∫∫_E z dV, trong đó E là vật thể nằm giữa hai mặt cầu x² + y² + z² = 1 và x² + y² + z² = 4 ở góc phần tám thứ nhất (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).

15π/8

15π/32

15π/16

Chuyển sang tọa độ cầu. x² + y² + z² = ρ², z = ρcosφ, dV = ρ² sinφ dρ dθ dφ. Miền E trong tọa độ cầu: 1 ≤ ρ ≤ 2 (giữa hai mặt cầu), 0 ≤ θ ≤ π/2 (góc phần tư thứ nhất trong mặt phẳng xy), 0 ≤ φ ≤ π/2 (nửa trên của khối cầu). Tích phân: ∫₀^π/2 ∫₀^π/2 ∫₁² (ρcosφ) ρ² sinφ dρ dφ dθ = ∫₀^π/2 ∫₀^π/2 ∫₁² ρ³ cosφ sinφ dρ dφ dθ. Tách biến: (∫₀^π/2 dθ) (∫₀^π/2 cosφ sinφ dφ) (∫₁² ρ³ dρ). ∫₀^π/2 dθ = [θ]₀^π/2 = π/2. ∫₀^π/2 cosφ sinφ dφ = ∫₀^π/2 (1/2)sin(2φ) dφ = (1/2) [-cos(2φ)/2]₀^π/2 = (1/4) [-cos(π) - (-cos(0))] = (1/4) [-(-1) - (-1)] = (1/4)(1 + 1) = 2/4 = 1/2. ∫₁² ρ³ dρ = [ρ⁴/4]₁² = (2⁴/4) - (1⁴/4) = 16/4 - 1/4 = 15/4. Tích phân = (π/2)(1/2)(15/4) = 15π/16.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 29: Cho mặt S là phần của mặt paraboloid z = x² + y² nằm dưới mặt phẳng z = 4. Tính diện tích mặt S.

π(17sqrt(17) - 1)/3

π(17sqrt(17) - 1)/6

π(sqrt(17) - 1)/6

π(17sqrt(17))/6

Diện tích mặt được tính bởi ∫∫_D sqrt(1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²) dA, trong đó D là hình chiếu của S lên mặt phẳng xy. z = x² + y². ∂z/∂x = 2x, ∂z/∂y = 2y. sqrt(1 + (2x)² + (2y)²) = sqrt(1 + 4x² + 4y²). Mặt z = x² + y² cắt mặt phẳng z = 4 tại x² + y² = 4, đây là đường tròn bán kính 2. Hình chiếu D lên mặt phẳng xy là hình tròn x² + y² ≤ 4. Chuyển sang tọa độ cực trên D: x = rcosθ, y = rsinθ, dA = r dr dθ. sqrt(1 + 4x² + 4y²) = sqrt(1 + 4(x² + y²)) = sqrt(1 + 4r²). Miền D trong tọa độ cực là 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π. Diện tích = ∫₀²π ∫₀² sqrt(1 + 4r²) r dr dθ. Tính tích phân theo r: Đặt u = 1 + 4r², du = 8r dr => r dr = du/8. Khi r=0, u=1. Khi r=2, u=1+4(4)=17. ∫₀² sqrt(1 + 4r²) r dr = ∫₁¹⁷ sqrt(u) (du/8) = (1/8) ∫₁¹⁷ u^(1/2) du = (1/8) [u^(3/2) / (3/2)]₁¹⁷ = (1/8) (2/3) [u^(3/2)]₁¹⁷ = (1/12) (17^(3/2) - 1^(3/2)) = (1/12) (17sqrt(17) - 1). Tích phân theo θ: ∫₀²π (1/12)(17sqrt(17) - 1) dθ = [(1/12)(17sqrt(17) - 1) θ]₀²π = (1/12)(17sqrt(17) - 1) (2π) = (π/6)(17sqrt(17) - 1).

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 13

Câu 30: Một vật thể có khối lượng riêng δ(x, y) = xy và chiếm miền D giới hạn bởi y = x², y = sqrt(x). Tính khối lượng của vật thể này.

1/12

1/6

1/8

1/4

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Khối lượng M = ∫∫_D δ(x, y) dA. Miền D được giới hạn bởi y = x² và y = sqrt(x). Giao điểm là x² = sqrt(x) => x⁴ = x => x(x³ - 1) = 0 => x = 0, x = 1. Trên đoạn [0, 1], sqrt(x) ≥ x². Miền D là 0 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ sqrt(x). Khối lượng = ∫₀¹ ∫_x²^sqrt(x) xy dy dx. Tích phân bên trong: ∫_x²^sqrt(x) xy dy = [xy²/2]_x²^sqrt(x) = x(sqrt(x))²/2 - x(x²)²/2 = x(x)/2 - x(x⁴)/2 = x²/2 - x⁵/2. Tích phân bên ngoài: ∫₀¹ (x²/2 - x⁵/2) dx = [x³/6 - x⁶/12]₀¹ = (1³/6 - 1⁶/12) - (0) = 1/6 - 1/12 = 2/12 - 1/12 = 1/12.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 14

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 1: Xét hai vector $mathbf{u} = begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 3 end{pmatrix}$ và $mathbf{v} = begin{pmatrix} -4 \ 5 \ 1 end{pmatrix}$. Tính tích vô hướng (dot product) $mathbf{u} cdot mathbf{v}$.

$begin{pmatrix} -8 \ -5 \ 3 end{pmatrix}$

-10

$begin{pmatrix} -16 \ -14 \ 6 end{pmatrix}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích vô hướng của hai vector trong không gian 3 chiều.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 2: Cho ba điểm $A(1, 2, 0)$, $B(3, -1, 2)$, và $C(0, 1, -1)$. Tính diện tích của tam giác ABC.

$sqrt{65}$

$frac{sqrt{65}}{4}$

$frac{sqrt{65}}{2}$

$65$

Câu hỏi yêu cầu áp dụng tích có hướng (cross product) để tính diện tích tam giác được tạo bởi ba điểm. Diện tích tam giác ABC bằng một nửa độ lớn của vector $vec{AB} times vec{AC}$.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $P(1, -2, 4)$ và song song với vector $mathbf{v} = begin{pmatrix} 3 \ 0 \ -5 end{pmatrix}$.

$x = 1 + 3t, y = -2, z = 4 - 5t$

$x = 3 + t, y = -2, z = -5 + 4t$

$x = 1 - 3t, y = -2, z = 4 + 5t$

$x = 1 + 3t, y = -2t, z = 4 - 5t$

Câu hỏi kiểm tra cách viết phương trình tham số của đường thẳng khi biết điểm đi qua và vector chỉ phương.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 4: Tìm đạo hàm của hàm vector $mathbf{r}(t) = cos(t) mathbf{i} + sin(t) mathbf{j} + t^2 mathbf{k}$ tại $t = frac{pi}{2}$.

$-sin(t) mathbf{i} + cos(t) mathbf{j} + 2t mathbf{k}$

$-mathbf{i} + frac{pi}{2} mathbf{j} + pi mathbf{k}$

$-mathbf{i} + 0 mathbf{j} + pi mathbf{k}$

$-mathbf{i} + pi mathbf{k}$

Câu hỏi yêu cầu tính đạo hàm của từng thành phần của hàm vector và sau đó thay giá trị của t vào.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 5: Một vật thể chuyển động theo hàm vị trí $mathbf{r}(t) = t^2 mathbf{i} + e^t mathbf{j} + (2t+1) mathbf{k}$. Tìm vector vận tốc $mathbf{v}(t)$ và vector gia tốc $mathbf{a}(t)$ của vật thể tại thời điểm $t=1$.

$mathbf{v}(1) = 2mathbf{i} + emathbf{j} + 2mathbf{k}$, $mathbf{a}(1) = 2mathbf{i} + emathbf{j} + 0mathbf{k}$

$mathbf{v}(1) = 2mathbf{i} + emathbf{j} + 2mathbf{k}$, $mathbf{a}(1) = 2mathbf{i} + emathbf{j} + 2mathbf{k}$

$mathbf{v}(1) = mathbf{i} + emathbf{j} + 3mathbf{k}$, $mathbf{a}(1) = 2mathbf{i} + emathbf{j} + 0mathbf{k}$

$mathbf{v}(1) = mathbf{i} + emathbf{j} + 3mathbf{k}$, $mathbf{a}(1) = 2mathbf{i} + emathbf{j} + 2mathbf{k}$

Câu hỏi yêu cầu tính đạo hàm bậc nhất (vận tốc) và bậc hai (gia tốc) của hàm vector vị trí và đánh giá tại một điểm cụ thể.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 6: Tìm đạo hàm riêng $frac{partial f}{partial x}$ của hàm số $f(x, y) = x^3 y^2 + sin(xy)$.

$3x^2 y^2 + cos(xy)$

$2x^3 y + xcos(xy)$

$3x^2 y^2 + ycos(xy)$

$3x^2 y^2 + xycos(xy)$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng theo biến x, coi y là hằng số.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 7: Cho hàm số $g(x, y, z) = x e^{yz}$. Tính đạo hàm riêng $frac{partial^2 g}{partial y partial z}$.

$x y e^{yz} + x z e^{yz}$

$x e^{yz} + xyz e^{yz}$

$x z e^{yz}$

$x y e^{yz}$

Câu hỏi yêu cầu tính đạo hàm riêng bậc hai hỗn hợp. Đầu tiên tính đạo hàm theo z, sau đó tính đạo hàm kết quả theo y.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 8: Sử dụng quy tắc chuỗi (Chain Rule) để tính $frac{dz}{dt}$ cho hàm $z = x^2 ln y$, với $x = t^2 + 1$ và $y = e^t$.

$4t(t^2+1)ln(e^t) + (t^2+1)^2 frac{e^t}{e^t} = 4t^2(t^2+1) + (t^2+1)^2$

$2x ln y cdot 2t + frac{x^2}{y} cdot e^t$

$2t ln(e^t) + (t^2+1)^2$

$2t(t^2+1) + (t^2+1)^2 e^t$

Câu hỏi yêu cầu áp dụng quy tắc chuỗi cho hàm nhiều biến: $frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial x} frac{dx}{dt} + frac{partial z}{partial y} frac{dy}{dt}$.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 9: Tìm vector gradient của hàm số $f(x, y, z) = x^2 y + y^2 z + z^2 x$ tại điểm $(1, 2, -1)$.

$begin{pmatrix} 2xy + z^2 \ x^2 + 2yz \ y^2 + 2zx end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 5 \ -3 \ 6 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 3 \ -3 \ 6 end{pmatrix}$

$begin{pmatrix} 5 \ -3 \ 2 end{pmatrix}$

Câu hỏi yêu cầu tính gradient $nabla f = begin{pmatrix} frac{partial f}{partial x} \ frac{partial f}{partial y} \ frac{partial f}{partial z} end{pmatrix}$ và đánh giá tại điểm đã cho.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 10: Tính đạo hàm theo hướng của hàm số $f(x, y) = x^2 y^3 - 4y$ tại điểm $(2, -1)$ theo hướng của vector $mathbf{v} = begin{pmatrix} 2 \ 5 end{pmatrix}$.

$frac{52}{sqrt{29}}$

$52$

$frac{42}{sqrt{29}}$

$42$

Câu hỏi yêu cầu tính đạo hàm theo hướng: $D_{mathbf{u}} f = nabla f cdot mathbf{u}$, trong đó $mathbf{u}$ là vector đơn vị theo hướng $mathbf{v}$.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 11: Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt $z = x^2 + y^2$ tại điểm $(1, -1, 2)$.

$2(x-1) - 2(y+1) + (z-2) = 0$

$2(x-1) - 2(y+1) - (z-2) = 0$

$2(x-1) - 2(y+1) - (z-2) = 0 implies 2x - 2y - z = 2$

$2x - 2y + z = 2$

Câu hỏi yêu cầu sử dụng gradient để tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc: $F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z = 0$. Vector pháp tuyến là $nabla F$ tại điểm đó. Phương trình mặt phẳng là $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 12: Tìm điểm cực trị địa phương (local extremum) của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 + xy + 3x - 3y + 4$.

$(-3, 3)$

$(-3, 3)$ là điểm dừng. Tính đạo hàm riêng cấp hai và sử dụng tiêu chuẩn kiểm tra điểm cực trị.

$(3, -3)$

$(1, -1)$

Câu hỏi yêu cầu tìm điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình $frac{partial f}{partial x} = 0$ và $frac{partial f}{partial y} = 0$.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 13: Tính tích phân lặp $int_0^1 int_x^{x^2} (x+y) dy dx$.

$int_0^1 [xy + frac{y^2}{2}]_x^{x^2} dx = int_0^1 (x^3 + frac{x^4}{2} - x^2 - frac{x^2}{2}) dx = int_0^1 (x^3 + frac{x^4}{2} - frac{3x^2}{2}) dx = [frac{x^4}{4} + frac{x^5}{10} - frac{x^3}{2}]_0^1 = frac{1}{4} + frac{1}{10} - frac{1}{2} = frac{5+2-10}{20} = -frac{3}{20}$. (Lỗi trong các phương án, tính lại). Miền tích phân từ x đến x^2 trên [0,1] là miền hợp lệ. Tính lại tích phân bên trong: $int_x^{x^2} (x+y) dy = [xy + y^2/2]_x^{x^2} = (x(x^2) + (x^2)^2/2) - (x(x) + x^2/2) = x^3 + x^4/2 - x^2 - x^2/2 = x^3 + x^4/2 - 3x^2/2$. Tích phân bên ngoài: $int_0^1 (x^3 + x^4/2 - 3x^2/2) dx = [x^4/4 + x^5/10 - x^3/2]_0^1 = 1/4 + 1/10 - 1/2 = (5+2-10)/20 = -3/20$. Ah, phương án A là giá trị đúng, chỉ thiếu dấu trừ.

$-frac{1}{20}$

$frac{1}{20}$

$frac{3}{20}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân kép trên miền xác định bởi các giới hạn cho trước.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 14: Tính tích phân kép $iint_R x^2 dA$ trên miền chữ nhật $R = [1, 2] times [-1, 1]$.

$int_1^2 int_{-1}^1 x^2 dy dx = int_1^2 [x^2 y]_{-1}^1 dx = int_1^2 (x^2 - (-x^2)) dx = int_1^2 2x^2 dx = [frac{2x^3}{3}]_1^2 = frac{2(8)}{3} - frac{2(1)}{3} = frac{16-2}{3} = frac{14}{3}$.

$frac{7}{3}$

$-frac{14}{3}$

$frac{14}{3}$

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân kép trên miền chữ nhật. Có thể tính theo thứ tự bất kỳ dy dx hoặc dx dy.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 15: Chuyển tích phân kép $iint_D (x+y) dA$ sang tọa độ cực, trong đó D là miền nằm trong nửa trên của hình tròn $x^2 + y^2 = 4$.

$int_0^2 int_0^{pi} (rcostheta + rsintheta) dr dtheta$

$int_0^{pi} int_0^2 (rcostheta + rsintheta) r dr dtheta$

$int_0^{pi} int_0^2 (rcostheta + rsintheta) dtheta dr$

$int_0^2 int_0^{pi} (rcostheta + rsintheta) r dtheta dr$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng chuyển đổi tích phân kép sang tọa độ cực. $x = rcostheta$, $y = rsintheta$, $dA = r dr dtheta$. Nửa trên hình tròn bán kính 2: $0 le r le 2$, $0 le theta le pi$.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 16: Thiết lập tích phân kép để tính thể tích của vật thể nằm dưới mặt paraboloid $z = x^2 + y^2$ và phía trên miền $D$ giới hạn bởi hình tròn $x^2 + y^2 = 9$ trong mặt phẳng xy.

$int_0^{2pi} int_0^3 r^2 dr dtheta$

$int_0^3 int_0^{2pi} (rcostheta + rsintheta) r dtheta dr$

$int_0^{2pi} int_0^3 (r^2) r dr dtheta$

$int_0^{2pi} int_0^3 (r^2) dtheta dr$

Câu hỏi yêu cầu thiết lập tích phân kép để tính thể tích. Thể tích V = $iint_D f(x,y) dA$. Miền D là hình tròn bán kính 3, nên chuyển sang tọa độ cực là phù hợp.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 17: Tính tích phân bội ba $iiint_E xyz dV$, trong đó $E = [0, 1] times [-1, 2] times [0, 3]$.

$int_0^1 x dx int_{-1}^2 y dy int_0^3 z dz = [x^2/2]_0^1 [y^2/2]_{-1}^2 [z^2/2]_0^3 = (1/2)(4/2 - 1/2)(9/2) = (1/2)(3/2)(9/2) = 27/8$.

$27/4$

$9/8$

$9/4$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bội ba trên miền hộp chữ nhật. Có thể tính tích phân lặp theo thứ tự bất kỳ.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 18: Chuyển tích phân bội ba $iiint_E z dV$ sang tọa độ trụ, trong đó $E$ là vật thể nằm giữa các mặt trụ $x^2 + y^2 = 1$ và $x^2 + y^2 = 4$, phía dưới mặt phẳng $z = x + 2$ và phía trên mặt phẳng $z = 0$.

$int_0^{2pi} int_1^2 int_0^{x+2} z r dz dr dtheta$

$int_0^{2pi} int_1^2 int_0^{rcostheta+2} z dr dz dtheta$

$int_0^{2pi} int_1^2 int_0^{rcostheta+2} r dz dr dtheta$

$int_0^{2pi} int_1^2 int_0^{rcostheta+2} z r dz dr dtheta$

Câu hỏi yêu cầu chuyển đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụ. $x = rcostheta$, $y = rsintheta$, $z = z$, $dV = r dz dr dtheta$. Miền E: $1 le r le 2$, $0 le theta le 2pi$, $0 le z le x+2 = rcostheta + 2$.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 19: Chuyển tích phân bội ba $iiint_E e^{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} dV$ sang tọa độ cầu, trong đó $E$ là nửa trên của khối cầu đơn vị $x^2+y^2+z^2 le 1$ ($z ge 0$).

$int_0^{2pi} int_0^{pi/2} int_0^1 e^{(rho^2)^{3/2}} rho^2sinphi drho dphi dtheta = int_0^{2pi} int_0^{pi/2} int_0^1 e^{rho^3} rho^2sinphi drho dphi dtheta$

$int_0^{2pi} int_0^{pi} int_0^1 e^{rho^3} rho^2sinphi drho dphi dtheta$

$int_0^{2pi} int_0^{pi/2} int_0^1 e^{rho^3} drho dphi dtheta$

$int_0^{2pi} int_0^{pi/2} int_0^1 e^{rho^2} rho^2sinphi drho dphi dtheta$

Câu hỏi yêu cầu chuyển đổi tích phân bội ba sang tọa độ cầu. $x = rhosinphicostheta$, $y = rhosinphisintheta$, $z = rhocosphi$, $dV = rho^2sinphi drho dphi dtheta$. Nửa trên khối cầu đơn vị: $0 le rho le 1$, $0 le phi le pi/2$, $0 le theta le 2pi$. $x^2+y^2+z^2 = rho^2$.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 20: Tính tích phân đường $int_C xy^4 ds$, trong đó C là nửa trên của đường tròn $x^2 + y^2 = 16$.

$2048/5$

$1024/5$

$0$

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân đường loại I. Tham số hóa đường cong C: $x = 4cos t$, $y = 4sin t$, $0 le t le pi$. $ds = |mathbf{r}'(t)| dt$. $mathbf{r}'(t) = begin{pmatrix} -4sin t \ 4cos t end{pmatrix}$, $|mathbf{r}'(t)| = sqrt{(-4sin t)^2 + (4cos t)^2} = sqrt{16sin^2 t + 16cos^2 t} = sqrt{16} = 4$. Tích phân trở thành $int_0^{pi} (4cos t)(4sin t)^4 (4) dt = int_0^{pi} 4^6 cos t sin^4 t dt$. Đặt $u = sin t$, $du = cos t dt$. Khi $t=0, u=0$. Khi $t=pi, u=0$. Tích phân bằng 0.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 21: Tính tích phân đường $int_C mathbf{F} cdot dmathbf{r}$, trong đó $mathbf{F}(x, y) = begin{pmatrix} x^2 \ xy end{pmatrix}$ và C là đoạn thẳng từ $(1, 2)$ đến $(3, 4)$.

$int_0^1 (2(1+4t+4t^2) + 2(2+2t+4t+4t^2)) dt = int_0^1 (2+8t+8t^2 + 4+12t+8t^2) dt = int_0^1 (16t^2 + 20t + 6) dt = [frac{16t^3}{3} + 10t^2 + 6t]_0^1 = frac{16}{3} + 10 + 6 = frac{16}{3} + 16 = frac{16+48}{3} = frac{64}{3}$.

$64$

$32/3$

$32$

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân đường loại II. Tham số hóa đoạn thẳng C: $mathbf{r}(t) = (1-t)begin{pmatrix} 1 \ 2 end{pmatrix} + tbegin{pmatrix} 3 \ 4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1+2t \ 2+2t end{pmatrix}$, $0 le t le 1$. $mathbf{r}'(t) = begin{pmatrix} 2 \ 2 end{pmatrix}$. $mathbf{F}(mathbf{r}(t)) = begin{pmatrix} (1+2t)^2 \ (1+2t)(2+2t) end{pmatrix}$. Tích phân là $int_0^1 mathbf{F}(mathbf{r}(t)) cdot mathbf{r}'(t) dt = int_0^1 left( (1+2t)^2 cdot 2 + (1+2t)(2+2t) cdot 2 right) dt$.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 22: Xác định xem trường vector $mathbf{F}(x, y) = (2xy + y^2) mathbf{i} + (x^2 + 2xy) mathbf{j}$ có phải là trường thế (conservative field) hay không. Nếu có, tìm hàm thế (potential function) $f(x, y)$ sao cho $nabla f = mathbf{F}$.

Không phải trường thế.

Là trường thế, $f(x, y) = x^2 y + xy^2 + C$. ($P = 2xy+y^2, Q = x^2+2xy$. $P_y = 2x+2y, Q_x = 2x+2y$. $P_y=Q_x$, nên là trường thế. Tích phân P theo x: $int (2xy+y^2) dx = x^2y + xy^2 + g(y)$. Đạo hàm theo y: $x^2 + 2xy + g'(y) = Q = x^2+2xy$. Suy ra $g'(y) = 0$, $g(y) = C$.)

Là trường thế, $f(x, y) = x^2 y^2 + x^2 y + C$.

Là trường thế, $f(x, y) = xy + x^2 y + C$.

Câu hỏi kiểm tra điều kiện để trường vector là trường thế ($P_y = Q_x$) và kỹ năng tìm hàm thế bằng cách tích phân.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 23: Áp dụng Định lý Green để tính tích phân đường $oint_C (x^2 y) dx + (x y^2) dy$, trong đó C là biên của hình vuông đơn vị $[0, 1] times [0, 1]$ theo chiều dương.

$int_0^1 int_0^1 (x^2 - y^2) dx dy$

$int_0^1 int_0^1 (x^2 + y^2) dx dy$

$int_0^1 int_0^1 (y^2 - x^2) dx dy = int_0^1 [frac{y^3 x}{3} - frac{x^3 y}{3}]_0^1 dy = int_0^1 (frac{y^3}{3} - frac{y}{3}) dy = [frac{y^4}{12} - frac{y^2}{6}]_0^1 = frac{1}{12} - frac{1}{6} = frac{1-2}{12} = -frac{1}{12}$.

$1/3$

Câu hỏi yêu cầu áp dụng Định lý Green: $oint_C P dx + Q dy = iint_D (frac{partial Q}{partial x} - frac{partial P}{partial y}) dA$. $P = x^2 y$, $Q = xy^2$. $frac{partial Q}{partial x} = y^2$, $frac{partial P}{partial y} = x^2$. Tích phân kép trên hình vuông đơn vị.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 24: Tính tích phân mặt $iint_S z dS$, trong đó S là phần của mặt trụ $x^2 + y^2 = 4$ nằm giữa các mặt phẳng $z = 0$ và $z = 3$.

$12pi$

"$18pi$. ($int_0^{2pi} [z^2]_0^3 d

heta = int_0^{2pi} (9) d

heta = 18pi$.)"

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân mặt loại I. Tham số hóa mặt trụ: $mathbf{r}( heta, z) = begin{pmatrix} 2cos heta \ 2sin heta \ z end{pmatrix}$, $0 le heta le 2pi$, $0 le z le 3$. Vector pháp tuyến $mathbf{r}_ heta imes mathbf{r}_z = begin{pmatrix} -2sin heta \ 2cos heta \ 0 end{pmatrix} imes begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2cos heta \ 2sin heta \ 0 end{pmatrix}$. $|mathbf{r}_ heta imes mathbf{r}_z| = sqrt{(2cos heta)^2 + (2sin heta)^2} = 2$. $dS = 2 dA = 2 d heta dz$. Tích phân là $iint_R z (2) dA = int_0^{2pi} int_0^3 z (2) dz d heta$.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 25: Cho trường vector $mathbf{F}(x, y, z) = y mathbf{i} - x mathbf{j} + z mathbf{k}$. Tính curl của $mathbf{F}$, ký hiệu là $nabla times mathbf{F}$.

$-2mathbf{k}$

$0$

$2mathbf{k}$

$mathbf{i} - mathbf{j} + mathbf{k}$

Câu hỏi yêu cầu tính curl của trường vector 3 chiều. $nabla times mathbf{F} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \ frac{partial}{partial x} & frac{partial}{partial y} & frac{partial}{partial z} \ y & -x & z end{vmatrix} = (frac{partial z}{partial y} - frac{partial (-x)}{partial z}) mathbf{i} - (frac{partial z}{partial x} - frac{partial y}{partial z}) mathbf{j} + (frac{partial (-x)}{partial x} - frac{partial y}{partial y}) mathbf{k} = (0-0)mathbf{i} - (0-0)mathbf{j} + (-1-1)mathbf{k} = -2mathbf{k}$.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 26: Cho trường vector $mathbf{F}(x, y, z) = x^2 mathbf{i} + y^2 mathbf{j} + z^2 mathbf{k}$. Tính divergence của $mathbf{F}$, ký hiệu là $nabla cdot mathbf{F}$.

$2x mathbf{i} + 2y mathbf{j} + 2z mathbf{k}$

$0$

$2x + 2y + 2z$

$x^3/3 mathbf{i} + y^3/3 mathbf{j} + z^3/3 mathbf{k}$

Câu hỏi yêu cầu tính divergence của trường vector 3 chiều. $nabla cdot mathbf{F} = frac{partial}{partial x}(x^2) + frac{partial}{partial y}(y^2) + frac{partial}{partial z}(z^2) = 2x + 2y + 2z$.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 27: Áp dụng Định lý Divergence (Định lý Gauss) để tính thông lượng (flux) của trường vector $mathbf{F}(x, y, z) = x mathbf{i} + 2y mathbf{j} + 3z mathbf{k}$ ra khỏi hình hộp chữ nhật $E = [0, 1] imes [0, 1] imes [0, 1]$.

"$iiint_E 6 dV = 6 cdot

ext{Thể tích}(E) = 6 cdot (1 cdot 1 cdot 1) = 6$."

$1$

$0$

Câu hỏi yêu cầu áp dụng Định lý Divergence: $iint_S mathbf{F} cdot dmathbf{S} = iiint_E
abla cdot mathbf{F} dV$. $
abla cdot mathbf{F} = frac{partial x}{partial x} + frac{partial (2y)}{partial y} + frac{partial (3z)}{partial z} = 1 + 2 + 3 = 6$. Tích phân bội ba của divergence trên miền E.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 28: Tính tích phân đường $int_C (x^2 + y) dx - x dy$, trong đó C là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ đi ngược chiều kim đồng hồ.

$pi$

$2pi$

$-pi$

$-2pi$

Câu hỏi có thể giải trực tiếp bằng tham số hóa hoặc dùng Định lý Green. Dùng Green: $P = x^2+y, Q = -x$. $frac{partial Q}{partial x} = -1, frac{partial P}{partial y} = 1$. $frac{partial Q}{partial x} - frac{partial P}{partial y} = -1 - 1 = -2$. Miền D là hình tròn đơn vị $x^2+y^2 le 1$. Tích phân kép $iint_D -2 dA = -2 cdot text{Diện tích}(D) = -2 cdot (pi cdot 1^2) = -2pi$.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 29: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 2y$ trên miền tam giác với các đỉnh $(0, 0), (2, 0), (0, 2)$.

Min: -2, Max: 0. (Điểm dừng: $nabla f = begin{pmatrix} 2x-2 \ 2y-2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix} implies (1, 1)$. Điểm này nằm trong tam giác. $f(1,1) = 1+1-2-2 = -2$. Biên: 3 đoạn thẳng. Đoạn OA (y=0, 0<=x<=2): $g(x) = x^2-2x$, $g'(x)=2x-2=0 implies x=1$. $f(1,0)=-1$. Các đỉnh: $f(0,0)=0, f(2,0)=4-4=0, f(0,2)=4-4=0$. Đoạn AB (y=2-x, 0<=x<=2): $h(x) = x^2+(2-x)^2-2x-2(2-x) = x^2+4-4x+x^2-2x-4+2x = 2x^2-4x$. $h'(x)=4x-4=0 implies x=1$. $y=2-1=1$. Điểm (1,1) đã xét. Đoạn OB (x=0, 0<=y<=2): $k(y) = y^2-2y$, $k'(y)=2y-2=0 implies y=1$. $f(0,1)=-1$. So sánh các giá trị: 0, -2, -1. Min: -2, Max: 0.)

Min: -1, Max: 0

Min: -2, Max: 4

Min: -1, Max: 4

Câu hỏi yêu cầu tìm cực trị tuyệt đối trên miền đóng và bị chặn. Cần xét các điểm dừng bên trong miền và các điểm cực trị trên biên của miền.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 14

Câu 30: Áp dụng Định lý Stokes để tính tích phân đường $oint_C mathbf{F} cdot dmathbf{r}$, trong đó $mathbf{F}(x, y, z) = -y mathbf{i} + x mathbf{j} + (x^2 + y^2) mathbf{k}$ và C là đường tròn giao tuyến của mặt nón $z = sqrt{x^2 + y^2}$ và mặt phẳng $z = 1$, hướng ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ trên xuống.

$pi$

$2pi$

$4pi$

$0$

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi yêu cầu áp dụng Định lý Stokes: $oint_C mathbf{F} cdot dmathbf{r} = iint_S (nabla times mathbf{F}) cdot dmathbf{S}$, trong đó S là mặt giới hạn bởi C. Giao tuyến là đường tròn $x^2+y^2=1$ trên mặt phẳng z=1. Ta chọn S là đĩa $x^2+y^2 le 1, z=1$ với vector pháp tuyến hướng lên $mathbf{n} = mathbf{k}$. Tính curl F: $nabla times mathbf{F} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \ frac{partial}{partial x} & frac{partial}{partial y} & frac{partial}{partial z} \ -y & x & x^2+y^2 end{vmatrix} = (2y-0)mathbf{i} - (2x-0)mathbf{j} + (1-(-1))mathbf{k} = 2ymathbf{i} - 2xmathbf{j} + 2mathbf{k}$. Tích phân mặt: $iint_S (2ymathbf{i} - 2xmathbf{j} + 2mathbf{k}) cdot mathbf{k} dS = iint_S 2 dS$. S là đĩa đơn vị bán kính 1, diện tích là $pi$. Tích phân bằng $2pi$.

Bạn đã sẵn sàng chưa? 45 phút làm bài bắt đầu!!!

Bạn đã hết giờ làm bài! Xem kết quả các câu hỏi đã làm nhé!!!

Trắc nghiệm Giải tích 3

Trắc nghiệm Giải tích 3 - Đề 15

1 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 1: Cho hàm số hai biến $f(x, y) = x^3y - 2xy^2 + 3x$. Tính đạo hàm riêng cấp hai $frac{partial^2 f}{partial x partial y}$.

$3x^2 - 4y$

$3x^2 - 4y^2$

$6xy - 4y$

$6xy - 4$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp. Cần tính đạo hàm riêng theo y trước, sau đó lấy đạo hàm riêng kết quả theo x.

2 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 2: Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong $z = x^2 + y^2$ tại điểm (1, 2, 5) có phương trình là:

$2x + 4y - z = 5$

$x + 2y - z = 0$

$2x + 4y - z = 5$

$x + 2y + z = 8$

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng đạo hàm riêng để tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc. Cần tính gradient của hàm số tại điểm đã cho và sử dụng nó làm vector pháp tuyến.

3 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 3: Tính tích phân lặp $int_{0}^{1} int_{x}^{2x} (x^2 + y) , dy , dx$.

$frac{7}{12}$

$frac{5}{6}$

$frac{11}{12}$

$frac{13}{12}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân lặp hai lớp. Cần tính tích phân bên trong theo y trước, sau đó tính tích phân bên ngoài theo x.

4 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 4: Chuyển tích phân $iint_{D} f(x, y) , dA$ sang tọa độ cực, với $D$ là hình tròn tâm gốc bán kính $R$. Biểu thức nào sau đây là đúng?

"$int_{0}^{2pi} int_{0}^{R} f(rcos

heta, rsin

heta) , r , dr , d

heta$"

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về chuyển đổi tọa độ trong tích phân hai lớp. Nhận biết Jacobian cho chuyển đổi sang tọa độ cực là $r$.

5 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 5: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt phẳng $z=0$, $z=x+y$ và hình trụ $x^2 + y^2 = 1$.

$pi$

$frac{pi}{2}$

$2pi$

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng tích phân kép để tính thể tích. Thiết lập tích phân trên miền hình tròn đơn vị và hàm số là $x+y$.

6 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 6: Trường vector $mathbf{F}(x, y, z) = langle 2x, 2y, 2z rangle$ là trường vector:

Bảo toàn (Conservative)

Không bảo toàn (Non-conservative)

Vô hướng (Scalar)

Ống (Solenoidal)

Câu hỏi kiểm tra khái niệm về trường vector bảo toàn và hàm thế vị. Nhận biết trường gradient là trường bảo toàn.

7 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 7: Tính tích phân đường $int_{C} (x^2 + y^2) , ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 4$.

$8pi$

$16pi$

$32pi$

$64pi$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường theo độ dài cung. Tham số hóa đường tròn và tính độ dài vi phân $ds$.

8 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 8: Cho trường vector $mathbf{F}(x, y) = langle -y, x rangle$ và đường cong $C$ là đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ. Tính $oint_{C} mathbf{F} cdot dmathbf{r}$.

$pi$

$0$

$2pi^2$

$2pi$

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng định lý Green hoặc tính trực tiếp tích phân đường vector. Nhận biết đây là dạng tích phân đường tính công dọc theo đường cong đóng.

9 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 9: Tính diện tích bề mặt của phần mặt paraboloid $z = x^2 + y^2$ nằm dưới mặt phẳng $z = 1$.

$frac{pi}{6} (5sqrt{5} - 1)$

$frac{pi}{3} (2sqrt{2} - 1)$

$pi sqrt{2}$

$frac{pi}{2} (sqrt{5} - 1)$

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng tích phân mặt để tính diện tích bề mặt. Thiết lập tích phân trên miền hình tròn đơn vị và tính yếu tố diện tích bề mặt.

10 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 10: Cho trường vector $mathbf{F}(x, y, z) = langle x, y, z rangle$. Tính divergence của $mathbf{F}$ tại điểm bất kỳ.

$langle 1, 1, 1 rangle$

$3$

$x + y + z$

$langle x, y, z rangle$

Câu hỏi kiểm tra định nghĩa và kỹ năng tính divergence của trường vector. Áp dụng công thức divergence cho trường vector đã cho.

11 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 11: Cho trường vector $mathbf{F}(x, y, z) = langle -y, x, 0 rangle$. Tính curl của $mathbf{F}$ tại điểm bất kỳ.

$langle 1, -1, 0 rangle$

$0$

$langle 0, 0, 2 rangle$

$langle -y, x, 0 rangle$

Câu hỏi kiểm tra định nghĩa và kỹ năng tính curl của trường vector. Áp dụng công thức curl cho trường vector đã cho.

12 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 12: Phát biểu nào sau đây là định lý Divergence?

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về định lý Divergence. Nhận biết định lý liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân thể tích của divergence.

13 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 13: Phát biểu nào sau đây là định lý Stokes?

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về định lý Stokes. Nhận biết định lý liên hệ giữa tích phân đường và tích phân mặt của curl.

14 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 14: Tìm cực trị địa phương của hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$.

Không có cực trị

Cực đại tại (0, 0)

Cực tiểu tại (1, 1) và điểm yên ngựa tại (0, 0)

Cực tiểu tại (0, 0) và điểm yên ngựa tại (1, 1)

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm cực trị địa phương cho hàm hai biến. Cần tìm điểm dừng và sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai.

15 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x, y) = xy$ trên miền $D = {(x, y) mid x^2 + y^2 leq 1}$.

$frac{1}{2}$

$1$

$sqrt{2}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm giá trị lớn nhất trên miền đóng và bị chặn. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange hoặc xét biên và điểm trong.

16 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 16: Tính tích phân bội ba $iiint_{E} z , dV$, với $E$ là khối trụ $x^2 + y^2 leq 1, 0 leq z leq 2$.

$pi$

$2pi$

$4pi$

$8pi$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bội ba. Sử dụng tọa độ trụ để đơn giản hóa tích phân.

17 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 17: Chuỗi nào sau đây hội tụ?

$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$

$sum_{n=1}^{infty} frac{n}{n+1}$

$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n$

$sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n}$

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về chuỗi số và tiêu chuẩn hội tụ. Áp dụng các tiêu chuẩn như tỷ lệ, căn hoặc so sánh.

18 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 18: Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!}$ là:

$infty$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Sử dụng tiêu chuẩn tỷ lệ hoặc căn để xác định bán kính hội tụ.

19 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 19: Khai triển Taylor của hàm số $f(x, y) = e^{xy}$ tại điểm (0, 0) đến bậc 2 là:

$1 + x + y + rac{x^2}{2} + rac{y^2}{2} + xy$

$1 + xy + O((x^2+y^2)^{3/2})$

$1 + x + y + x^2 + y^2 + xy$

$1 + x + y + O((x^2+y^2)^{3/2})$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng khai triển Taylor cho hàm hai biến. Tính các đạo hàm riêng cần thiết và thay vào công thức khai triển Taylor.

20 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 20: Cho hàm số $f(x, y) = begin{cases} frac{xy}{x^2 + y^2} & ext{nếu } (x, y)
eq (0, 0) 0 & ext{nếu } (x, y) = (0, 0) end{cases}$. Hàm số này có liên tục tại (0, 0) không?

Liên tục

Liên tục theo x nhưng không liên tục theo y

Không liên tục

Chỉ liên tục trên các đường thẳng đi qua gốc

Câu hỏi kiểm tra khái niệm về tính liên tục của hàm hai biến. Xét giới hạn của hàm số khi (x, y) tiến đến (0, 0) theo các đường khác nhau.

21 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 21: Tính tích phân đường $int_{C} y , dx + x , dy$, với $C$ là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).

$1$

$0$

$2$

$frac{1}{2}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân đường vector. Tham số hóa đoạn thẳng và tính tích phân.

22 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 22: Cho hàm số $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Tính gradient của $f$ tại điểm (1, 2, 3).

$14$

$langle 1, 2, 3 rangle$

$langle 2, 4, 6 rangle$

Câu hỏi kiểm tra định nghĩa và kỹ năng tính gradient của hàm ba biến. Áp dụng công thức gradient cho hàm số đã cho.

23 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 23: Tính tích phân mặt $iint_{S} 1 , dS$, với $S$ là mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.

$frac{4}{3}pi R^3$

$4pi R^2$

$pi R^2$

$2pi R^2$

Câu hỏi kiểm tra ứng dụng tích phân mặt để tính diện tích bề mặt. Tính diện tích bề mặt của mặt cầu bán kính R.

24 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 24: Cho trường vector $mathbf{F}(x, y) = langle P(x, y), Q(x, y) rangle$. Điều kiện để $mathbf{F}$ là trường bảo toàn là:

$frac{partial P}{partial x} = frac{partial Q}{partial y}$

$frac{partial P}{partial y} = frac{partial Q}{partial x} = 0$

$frac{partial P}{partial y} = frac{partial Q}{partial x}$

$frac{partial P}{partial x} + frac{partial Q}{partial y} = 0$

Câu hỏi kiểm tra điều kiện cần và đủ để trường vector phẳng là trường bảo toàn. Nhận biết điều kiện liên quan đến đạo hàm riêng chéo.

25 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 25: Tính tích phân $int_{-infty}^{infty} e^{-x^2} , dx$.

$1$

$0$

$sqrt{pi}/2$

$sqrt{pi}$

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tích phân suy rộng và tích phân Gauss. Nhận biết đây là tích phân Gauss kinh điển.

26 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 26: Cho hàm số $f(x, y) = ln(x^2 + y^2)$. Tính $
abla^2 f = frac{partial^2 f}{partial x^2} + frac{partial^2 f}{partial y^2}$.

$frac{2}{x^2 + y^2}$

$0$

$frac{-4}{(x^2 + y^2)^2}$

$frac{4}{(x^2 + y^2)^2}$

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính toán Laplacian của hàm hai biến. Tính đạo hàm riêng cấp hai và cộng lại.

27 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 27: Phương trình $x^2 + y^2 - z^2 = 1$ biểu diễn mặt gì trong không gian?

Mặt cầu

Paraboloid

Hyperboloid một tầng

Hyperboloid hai tầng

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về các loại mặt bậc hai. Nhận biết dạng phương trình của hyperboloid một tầng.

28 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 28: Hệ tọa độ nào phù hợp nhất để tính tích phân bội ba trên một hình nón?

Tọa độ Descartes

Tọa độ trụ

Tọa độ cầu

Tọa độ cong

Câu hỏi kiểm tra lựa chọn hệ tọa độ phù hợp cho tích phân bội ba. Nhận biết tọa độ cầu hoặc trụ phù hợp với hình nón.

29 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 29: Cho hàm số $f(x, y)$ có đạo hàm riêng liên tục. Hướng nào sau đây là hướng tăng nhanh nhất của $f$ tại điểm $(x_0, y_0)$?

Câu hỏi kiểm tra ý nghĩa của gradient vector. Nhận biết gradient chỉ hướng tăng nhanh nhất và độ lớn của gradient là tốc độ tăng nhanh nhất.

30 / 30

Category: Trắc nghiệm Giải tích 3

Tags: Bộ đề 15

Câu 30: Ứng dụng nào sau đây *không phải* là ứng dụng của tích phân bội ba?

Tính thể tích vật thể trong không gian

Tính khối lượng của vật thể có mật độ thay đổi

Tính mômen quán tính của vật thể

Tính diện tích bề mặt cong

Xem kết quả

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Nhận kết quả

Xảy ra lỗi

Bước 1: Vào google.com rồi gõ từ khóa:
Copy nhanh thanh-tim-kiem

Bước 2: Trong kết quả tìm kiếm Google, hãy tìm website giống hình bên dưới

Nếu trang 1 không có hãy tìm ở trang 2, 3, 4... nhé trang-google

Bước 3:

Cuộn xuống cuối bài viết rồi bấm vào nút GIỐNG HÌNH DƯỚI và chờ 1 lát để lấy mã:

luot-xem

Nếu tìm không thấy mã bạn có thể Đổi nhiệm vụ để lấy mã khác.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về ứng dụng của tích phân bội ba. Loại trừ ứng dụng không phù hợp với tích phân bội ba.

Đề trắc nghiệm liên quan:

Đề Thi Thử Trắc Nghiệm Online – Môn Quản Trị Giao Nhận Và Vận Chuyển Hàng Hóa Quốc Tế
Đề Thi Thử Trắc Nghiệm Online – Môn Kế Toán Tài Chính 2
Đề Thi Thử Trắc Nghiệm Online – Môn Tài Chính Doanh Nghiệp
Đề Thi Thử Trắc Nghiệm Online – Môn Luật Doanh Nghiệp
Đề Thi Thử Trắc Nghiệm Online – Môn Phân Tích Chính Sách Đối Ngoại

Đề 01

Đề 02

Đề 03

Đề 04

Đề 05

Đề 06

Đề 07

Đề 08

Đề 09

Đề 10

Đề 11

Đề 12

Đề 13

Đề 14

Đề 15

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quảbạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Đề trắc nghiệm liên quan:

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha

Bạn ơi!!! Để xem được kết quả
bạn vui lòng làm nhiệm vụ nhỏ xíu này nha